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1、定积分的概念与性质定积分的概念与性质 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.2(1)分割分割(3)求和求和(4)取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2)取近似取近似表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.某时刻的速度某时刻的速度 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质9二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f(x
2、)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入若干个分点中任意插入若干个分点定义定义4.1把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点作乘积作乘积并作和并作和记记如果不论对如果不论对a,b(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:2)方法一样方法一样;1)量具有可加性量具有可加性,3)结果形式一样结果形式一样.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质10被被积积函函数数被被积积表表达达式式记为记为怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间上点上点的取法的取法,只要当只要当和和S总趋于确定的极限总趋
3、于确定的极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的 定积分定积分.积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分变变量量a,b积分区间积分区间 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质怎样怎样积积分分和和11(2)结构和上、下限结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数的定积分数值只依赖于被积函数的有关有关;注注无关无关.而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质12定理定理4.14.1定理定理4
4、.24.2或或记为记为 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)三、三、关于函数的可积性关于函数的可积性上上可积可积.且只有有限个且只有有限个可积可积.当函数当函数 f(x)在区间在区间a,b上的定积分存在时上的定积分存在时,可积可积.黎曼可积黎曼可积,间断点间断点,称称 f(x)在区间在区间a,b上上设设 f(x)在在a,b上连续上连续,则则 f(x)在在a,b设设 f(x)在在a,b上有界上有界,则则 f(x)在在a,b上上充分条件充分条件 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质13曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1.几何意义几何意义四、
5、定积分的几何意义和物理意义四、定积分的几何意义和物理意义 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质14各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f(x)的图形及两条的图形及两条直线直线 x=a,x=b之间的之间的在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积几何意义几何意义 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质15例例解解2.物理意义物理意义t=b 所经过的路程所经过的路程 s.oxyv=v(t)作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t=a 到时刻到时刻定积分定积分表示以变速表示以变速 4.1
6、 定积分的概念与性质定积分的概念与性质16解解例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线 x=1和和小区间小区间的长度的长度取取 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质17 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质18对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明五、定积分的基本性质五、定积分的基本性质在下面的性质中在下面的性质中,假定定积分都存在假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质4.14.1用定积分定义用定积分定义,即可证得即可证得.19证证
7、(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质4.2()4.2()4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质20证证性质性质4.2()4.2()性质性质4.2()4.2()和和性质性质4.2()4.2()称为称为线性性质线性性质.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质21 补充补充例例 (定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质4.34.3 假设假设不论不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质22证证性质性质4.44.4 如果在区间如果在区间a,
8、b上上则则 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以因为因为因为因为所以所以所以所以23性质性质4.44.4的推论的推论1 1证证如果在区间如果在区间a,b上上则则于是于是性质性质4.44.4 如果在区间如果在区间a,b上上 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以因为因为所以所以24证证性质性质4.44.4的推论的推论2 2由由性质性质4.44.4的推论的推论1 1 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质25解解 令令于是于是比较积分值比较积分值和和的大小的大小.例例 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以因为因为所以所以26证证(此性质可用于估计
9、积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质4.5 4.5(估值性质估值性质)设设M和和m分别是函数分别是函数f(x)在区间在区间a,b上上最大值及最小值最大值及最小值,则则 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以因为因为27解解估计积分估计积分例例 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质28解解估计积分估计积分 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质29证证由闭区间上连续函数的介值定理由闭区间上连续函数的介值定理:性质性质4.6 4.6(定积分中值定理定积分中值定理)如果函数如果函数f(x)在在则在积分区间则在积分区间a,b上至少存上至少存 使下式成立
10、使下式成立:积分中值公式积分中值公式至少存在一点至少存在一点 使使即即在在a,b上上闭区间闭区间a,b上上连续连续,4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质在一点在一点 所以所以因为因为30积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释在区间在区间a,b上至少存在一点上至少存在一点 使得以区间使得以区间a,b为底边为底边,以曲线以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为的一个矩形的面积的一个矩形的面积.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质31定理用途定理用途 注注a,b上上连续连续,使下式成立使下式成立:无论从几何上无论从几何上
11、,还是从物理上还是从物理上,都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值平均值要用到要用到.如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值.就是就是 f(x)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质4.6 4.6(定积分中值定理定积分中值定理)若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间则在积分区间则在积分区间a,b上至少存在一点上至少存在一点 32解解例例定积分几何意义定积分几何意义求电动势求电动势在一个周期上的在一个周期上的平均值平均值 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质33例例证证 由由积分中值定理积分
12、中值定理有有(a为常数为常数).4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质343.定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用)4.典型问题典型问题(1)估计积分值估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.六、小结六、小结1.定积分的实质定积分的实质:特殊和式的极限特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限.思想思想方法方法 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质35思考题思考题证证 夹逼定理夹逼定理即得即得定积分性质定积分性质 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质36作业作业习题习题4.1(934.1(93页页)4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质37