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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学必修1 各章学问点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山 2 元 素 的 互 异 性 如 ： 由 HAPPY的 字 母 组 成 的 集 合H,A,P,Y 3 元素的无序性 : 如： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3. 集合的表示： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋, 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A= 我 校 的 篮 球 队 员,B=1,2,3,4,52 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用
2、数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N R正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集1）列举法： a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大 括 号 内 表 示集 合 的方 法 ； x x-32 R| x-32 ,x| 3）语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4）Venn图: 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2=52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1. “ 包含” 关系子集留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A与 B是同一集合；反之: 集合 A 不包
3、含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记名师归纳总结 作 AB或 BA 第 1 页,共 15 页2“ 相等” 关系： A=B 5 5,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 : 假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B或 B A假如 A B, B C , 那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的
4、子集,空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合,含有 2 n个子集, 2 n-1 个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型名师归纳总结 定由全部属于A 且由全部属于集合A设 S 是一个集合, A第 2 页,共 15 页义是 S的一个子集,由属于 B 的元素所或属于集合 B 的元S中全部不属于 A的组 成 的 集 合 , 叫素所组成的集合,元素组成的集合, 叫韦做 A,B 的交集 记叫 做A,B的 并做 S中子集 A的补集（或余集）作 AB（读作A集记作：AB（读记作CSA,即作A 并 B ）,即交 B ）,即 AB=CSA= x|xS ,且 xA AB =x|xA,或 x|xA ,
5、且xB xBABABSA恩图图 1图 2示- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性AA=A AA=A CuA C uB 质A =A =A= Cu ABAB=B A AB=B ACuA CuB ABAAB= CuAB ABB ABBA C uA=U A C uA= 例题：1. 以下四组对象,能构成集合的是（）A某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2. 集合 a ,b,c 的真子集共有 个3. 如集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x 0 ,就 M与 N的关系是 . 4. 设集合 A= x 1 x
6、2,B= x x a ,如 A B,就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有 40 人,化学试验做得正确得有 31 人,两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m 2-19=0, 如7. 已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| xBC ,AC= ,求 m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数
7、fx 和它对应,那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合fx| xA 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数 的定义域；x 的集合称为函数求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零； 3对数式的真数必需大于零；.4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1. 5 假如函数
8、是由一些基本函数通过四就运算结合而成的那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .6 指数为零底不行以等于零,7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意 义. 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量 和函数值的字母无关） ；定义域一样 两点必需同时 具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑其定义域 1 观看法 2 配方法 3 代换法 3. 函数图象学问归纳 1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , xA中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px ,y 的集 合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象 C上每一点的坐 标x ,y 均满意函数关
9、系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x ,y ,均在 C上 . 2 画法 A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1 23平移变换 伸缩变换对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）区间的数轴表示5映射一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合 A 中的任意一个元素x,在集合 B中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应 f ：A B为从集合 A
10、到集合 B 的一个映射；记作“ f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f ：AB 来说,就应满意：1 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的；2 集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；3 不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6. 分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2 各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段 值域的并集补充：复合函数假如 y=fuuM,u=gxx A, 就 y=fgx=FxxA 称为 f 、g 的复合函数；二函数的性质 1. 函数的单调性 局部性质 （
11、1）增函数 设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x1,x2,当 x1x2时,都有fx1fx2 ,那么就说 fx 在区间 D上是增函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调增区间 . 假如对于区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数. 区间 D称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数, 那么说 函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左
12、到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 任取 x1,x2D,且 x11,且 n N*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0,记作n00；n 是 奇 数 时 ,nana, 当n是 偶 数 时 ,nan|a|aaa0 a0 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定：amnama0 ,m ,nN* n1,namn 1m n 1m a 0 , m ,a n a0 的正分数指数幂等于nN* n10,0 的负分数指数幂没有意义3实数
13、指数幂的运算性质（1）r a saraarsa0,r,sR ；r a rs（2）a0,r,sR ；abrarasa0,r,sR （3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念： 一般地,函数yaxa0,且a1叫R做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零 和 12、指数函数的图象和性质名师归纳总结 a1 0a14 56 70a0,a0,函数 y=a x与 y=log a-x 的图象只能是； log32; 24log23= 2. 计 算 ：log2764251log5272log52= ; 1 3702 34 3160. 750. 011 2
14、= 30. 06483. 函数 y=log12x2-3x+1 的递减区间为2名师归纳总结 4. 如函数fx log ax 0a1在区间a ,2 a 上的最大值是最小值的3 倍,就 a= 第 11 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 已知f log a1x a0 且a1,（1）求f x 的定义域（ 2）求使fx0的 x 的取1x值范畴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使f x 0 成立的实数 x 叫做函数 y f x x D 的零点；2、 函 数 零 点的 意 义： 函 数
15、 y f x 的 零 点 就 是 方程f x 0 实数根,亦即函数 y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程 f x 0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y f x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax2bxcac00有两不等实根, 二次函（1） ,方程ax2bx数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点（2） ,方程ax2bxc0有两相等实根, 二次函数的图象与 x 轴有一个交点
16、,二次函数有一个二重零点或二阶零点2（3） ,方程 ax bx c 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点5. 函数的模型收集数据画散点图不 符 合 实 际挑选函数模型求函数模型名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 检验名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页