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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学数列试题精选以及具体答案【例 1】求出以下各数列的一个通项公式其通项公式为2n1,而前1 1 4,3,5,7,9,81632642 2 3,4,6,8,18356331,1,1,1,3815244 1 2, ,9, ,2522解1所给出数列前5 项的分子组成奇数列,5 项的分母所组成的数列的通项公式为2 2n,所以,已知数列的通项公式为：an= 2n n+1 212 从所给数列的前四项可知,每一项的分子组成偶数列,其通项公式为2n,而分母组成的数列3,15,35,63, 可以变形为1 3,3 5, 5 7,7 9, 即每一项可以看成序号
2、n 的2n1与 2n1 的积,也即 2n12n1,因此,所给数列的通项公式为：3 从所给数列的前an2n2nn1 1,而分母所组成的数列1 25 项可知, 每一项的分子都是3,8,15,24, 35, 可变形为1 3,2 4,3 5,4 6,5 7, ,即每一项可以看成序号n 与 n2 的积,也即nn 2各项的符号,奇数项为负,偶数项为正因此,所给数列的通项公式为：名师归纳总结 an1 n12第 1 页,共 6 页n n4 所给数列可改写为1,4,9,16,25, 分子组成的数列为222221,4,9,16,25, 是序号n 的平方即 n2,分母均为2因此所给数列的通项公式为an2 = n2-
3、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】求出以下各数列的一个通项公式12,0,2,0,2,21, ,1, ,1, ,1, ,35737,77, 777,7777,77777,解 1所给数列可改写为 11, 11, 11, 11, 可以看作数列 1,1,1,1, 的各项都加 1,因此所给数的通项公式 an 1n+11所给数列亦可看作2,0,2,0 周期性变化,因此所给数列的2 n 为奇数 通项公式 a n = 这一题说明白数列的通项公式不唯独0 n 为偶数 2 所给数列 , ,1, ,1, ,1, 可以改写成 1,0,1,3 5 7 1 2 30 1
4、0 1, 分母组成的数列为 1, , , , , , , 是自然4 5 6 7数列 n,分子组成的数列为 1,0,1,0,1, 0, 可以看作是 2,n 11 1 10, , , , , 的每一项的 构成为,因此所给数列的通2 2n 1项公式为 a n 1 12 n73 所给数列 7,77,777,7777,77777, 可以改写成9,97 7 7 799,999,9999,9 9 9 97 7 71001,10001,9 9 97因此所给数列的通项公式为 a n =94 所给数列, 可以改写799999 ,可以看作101,97100001,1000001,910 n1名师归纳总结 成2 90
5、.9,20.99,20.999,20.9999,20.99999, 可以看9999作2 910.1,210.01,210.001,210.0001,299990.00001, 因此所给数列的通式公式为a =2 9 111n 10第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 说明1用归纳法写出数列的一个通项公式,表达了由特别到一般的思维规律对于项的结构比较复杂的数列,可将其分成几个部分分别考虑,然后将它们按运算规律结合起来2对于常见的一些数列的通项公式如：自然数列,an=n；自然数的平方数列, ann2；奇数数列, an 2n1；偶数数列, a
6、n=2n；倒数数列,a n1 n要很熟识,由联想将较复杂的数列通过合理的转化归纳出数列的通项公式3要把握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法,将其转化为常见的一些数列【例3】已知数列2,5,2 2,11, 就2 5 是这个数列的第几项解 由所给数列的前 4 项 2,5,2 2,11 可归纳得通项公式为 a n= 3n 1此时运用方程的思想问题转化为 2 5 3 n 1 解关于正整数 n的方程,解得 n ,即 2 5 是该数列的第 7 项【例 4】已知下面各数列 a n的前 n 项和 Sn 的公式,求数列的通项公式1Sn2n23n 2Snn21 3Sn2n3 4Sn1n+1
7、n 解 1当 n=1 时, a1=S1 1；当 n2 时,an SnSn-1=2n23n 2n 123n1 4n5,由于a1也适合此等式,因此 an=4n 52 当 n1 时, a1S1=112；当 n2 时, anSnSn-1=n21n1212n1,由于 a1 不适合于此等式,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,a =2 1 n = 1N *2nn 且 3 当 n1 时, a1=S123=5；当 n2 时, an=SnSn-12n32n-1 3 2n-1,由于 a1 不适合于此等式,因此,an5 n = 1N*
8、2 n 1 n 且 4 当 n1 时, a1S1=121=1；当 n2 时,anSnSn-1=1n+1 n1n n1= 1n+12n1,由于 a1 也适可于此等式,因此an1n+12n1, nN* 说明已知 Sn 求 an 时,要先分 n1 和 n2 两种情形分别进行运算,然后验证能否统一【例5】已知an= an 1nn11 n2,a1 ,11 写出数列的前5 项；2 求 an解 1由已知a = a n n 111 n2,a = 1 1 得n na45a21211 35 22a 3331291263151217343312124a571713694544202052 由第 1小题中前 5 项不
9、难求出名师归纳总结 an2n1或an21第 4 页,共 6 页nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 6】数列 an中,a11,对全部的 n2,都有 a1 a2 a3 ann21 求 a3a5；2562 是此数列中的项吗？225解 由已知： a1 a2a3 ann2得a na a1 1a a2 2a a3 3 a an n1 n2, n N *2na n 2, n 2 n 1 由于 a 1 不适合于此等式因此 11 n = 1 2a n = n2,n 且 N * n 1 2 23 5 611a 3a = 2 22 4 162256 n2 令 2,解
10、方程可得 n = 16225 n 1 256 n 16N *,是此数列的第 16 项225说明 1“ 知和求差”、“ 知积求商” 是数列中常用的基本方法2 运用方程思想求 此数列中的项n,假设 nN* ,就 n 是此数列中的项,反之,就不是【例 7】已知数 an=a21n3 2na= 1是递增数列,试确定a 的取值范畴解法一数列 an 是递增数列,an+1anan+1ana2 1n 13 2n1 a21n32n a21n132n1n32n a213n23n1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - a213n23n1 0 又 nN* , 3n23n1=3nn 110 a2 10,解得 a 1 或 a1解法二a n是递增数列,a1a2即：a2112a2 18 4 化简得 a210 a 1 或 a1 说明此题从函数的观点动身,利用递增数列这一已知条件,将求取值范围的问题转化为解不等式的问题名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页