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1、2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二下学期3月联考数学试题一、单选题1已知函数，则（）ABCD【答案】B【分析】求出，代值计算可得的值.【详解】因为，则，故.故选：B.2在等比数列中，则（）ABCD【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及题干条件，可得q值，根据，代入计算，即可得答案.【详解】由题意得，又，所以故选：A3设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）ABCD【答案】C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】.故选：C.4某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一半再落下，则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为（）A31米
2、B31.5米C47米D63米【答案】C【分析】记第n次落地到第次落地之间球运动的路程为米，则是从第二项起公比为的等比数列，利用等比数列的前n项和公式计算即可.【详解】记第n次落地到第次落地之间球运动的路程为米，则，是从第二项起公比为的等比数列，所以第6次着地时球所运动的路程之和.故选：C.5已知函数，则函数的图象可能是（）ABCD【答案】B【分析】根据函数的奇偶性，排除A；结合，排除C、D选项，利用导数求得函数的单调性的变换趋势，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以不是偶函数，排除A选项又由，排除C、D选项当时，可得，则，令，可得， 当时，的切线斜率越来越大；当时，的切线斜率越来越小故选：
3、B6已知数列的前n项和为，则（）ABC1025D2049【答案】B【分析】根据题意得，进而根据得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】解：因为数列的前n项和为满足， 所以当时，解得，当时，即所以，解得或，因为，所以.所以，所以当时，所以，即所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以故选：B7若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；【详
4、解】法一：由题意，对于，当，即时，在上单调递增，所以，即，因此；当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，不妨设，则上，上，上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由此，.由，则，同理可得，所以，则，解得，与矛盾.综上，.法二：由题意得：，.当时，即，所以；，又，即，所以.综上，即，得.故选：B.8函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（）ABCD【答案】D【分析】构造新函数并研究其单调性即可.【详解】令则由所以函数在上单调递增所以令则由所以函数在上单调递减所以故选：D二、多选题9设等差数列的前n项和是，若（，且），则必定有（）ABCD【答案】AD【分析】根据等差数列求和公式即可
5、判断.【详解】，,故选：AD.10对于函数，下列说法中正确的是（）A存在有极大值也有最大值B有三个零点C当时，恒成立D当时，有3个不相等的实数根【答案】CD【分析】利用导数分析的单调性，针对每个选项结合单调性分析函数的极值、最值以及零点个数，即可判断和选择.【详解】因为，故可得，由得，易知当和时，单调递减；当时，单调递增，且当趋近于负无穷时，趋近于正无穷，对，由上述分析可知，有极大值但无最大值，故错误；对：由得，故该函数只有两个零点，故错误；对：当时，故正确；对：因为，且当趋近于负无穷时，趋近于正无穷，当趋近于负无穷时，趋近于，故正确故选：11已知函数R则下列判断正确的是（）A函数的图象关于y
6、轴对称B函数在上单调递增C函数的最小值为2，无最大值D不等式的解集为【答案】ACD【分析】根据给定函数逐一分析各选项中的条件即可判断作答.【详解】函数，则函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，A正确；当时，则，函数在上单调递增，而为偶函数，则函数在上单调递减，B错误；因函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最小值为2，无最大值，C正确；不等式，于是得，即，解得，D正确.故选：ACD12设函数数列满足，则（）A当时，B若为递增数列，则C若为等差数列，则D当时，【答案】AD【分析】分，四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：时，时，时，时，因此，有时，时，对于选项A，故A正确
7、；对于选项B，为递增数列时，则，当时，则，不符题意，当时，则，所以且，综上且，故B错误；对于选项C，为等差数列时，则，（d为常数），当时，则，符合题意，当时，则，要使为常数，则，所以，综上或（其中，时，为常数列），故C错误；对于选项D，有，所以，则，因为，所以，即，所以，故D正确.故选：AD三、填空题13已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则_.【答案】1【分析】由题设得显然有不合题设，知：，根据极大值有求，再将所求代入原函数验证处是否取得极大值.【详解】由题设，当时，则递增，无极大值，与题设矛盾，此时，要使在处取得极大值，可得或.当时，则当得或，即上递增；当得，即上递减；为极大值点，符合题
8、设.当时，则当得或，即上递增；当得，即上递减；为极小值点，不合题设.综上，.故答案为：114在等差数列中，当取得最小值时，_.【答案】7【分析】根据等差中项的性质得到，把化为关于公差的关系式，进而得到时取得最小值，进而求出答案.【详解】由题意得：，则；，所以：当时，取得最小值.此时故答案为：715已知，直线与曲线相切，则的最小值是_【答案】【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为，所以，所以，因为所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.故答案为：16已知数列的通项公式是
9、，数列的前n项和为，且那么_【答案】【分析】求出数列的通项公式，然后将展开，裂项求和即可得答案.【详解】数列的前n项和为，且,则 ，当时， ，故 ,故 ， 故答案为：四、解答题17已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出函数的导数并求出在点e处的导数值，再利用导数的几何意义即得；(2)由(1)的信息，设出切点坐标，写出切线方程并将代入计算即可得解.【详解】（1）由求导得：，当时，由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程；（2）由题意知，点不在曲线上，设切点为，由(1)知曲线在点B处切线斜率为，切线方程为，
10、即，而切线过点，即，解得，于是得所求切线方程为，所以曲线过原点的切线方程为.18已知数列的前项和为，在，这两个条件中任选一个，并作答.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选，则先求出，再当时，由，得，两式相减化简可得数列是以2为公比，3为首项的等比数列，从而可求出，若选，则先求出，再由可得，两式相减可求出通项，（2）由（1）可得，从而可得，然后利用错位相减法求【详解】(1)若选，则当时，得，当时，由，得，所以，得，所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列，所以若选，则当时，当时，由可得，两式相减，即，满足上式，所以(2)由（1）得，所以，所以，
11、所以，所以所以19已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)当时，函数 在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【分析】（1）对函数，求导得出，对进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.（2）由题意可知，函数的零点个数转化为函数与图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.【详解】(1)函数的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.(2)令，得.令，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单
12、调递减.所以；当时，当时，所以，所以函数的图象如图所示，由图可得，当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.20如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化，设ABM的面积为S(单位：m2).（1）以AON=(rad)为自变量，将S表示成的函数；（2）求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积.【答案】（
13、1）S=5000sin (1cos )(0)；（2）当点A距路边的距离为150 m时，绿化面积最大，最大面积为m2.【分析】(1)由题意可得四边形ABMO是直角梯形，利用给定条件求出BM，AB即可计算作答；(2)利用(1)的结论，利用导数求解最大绿化面积及A点位置.【详解】(1)依题意，四边形ABMO是直角梯形，其中，(0)， 于是得BM=100sin ，AB=100+100cos ，则，所以(0)；(2)由(1)知(0)，则，因0，则，由得，即，当时， ，当时，因此，在上单调递增，在上单调递减，则当时，此时AB=150，所以当点A距路边的距离为150 m时，绿化面积最大，最大面积为m2.21
14、设数列满足，数列的前项和为，且(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，；(2)或.【分析】（1）结合与的关系用即可证明为常数；求出通项公式后利用累加法即可求的通项公式；（2）裂项相消求，判断单调性求其最大值即可.【详解】(1)当时，得到，当时，是以4为首项，2为公差的等差数列当时，当时，也满足上式，.(2)令，当，因此的最小值为，的最大值为对任意正整数，当时，恒成立，得，即在时恒成立，解得t0或t3.22设函数的零点为，的零点为，其中，均大于零.(1)若，求实数的取值范围；(2)当时，求证：.参考数据：，.
15、【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意，问题等价于在上有解，求出函数的值域即可得答案；（2）由题意，将函数中替换为，构造函数，则函数的零点为，利用导数判断函数在上存在零点，且，再构造函数，利用单调性即可证明不等式.【详解】(1)解：由题意，在上有解，即在上有解，因为在上单调递增，且时，时，所以，即实数的取值范围；(2)证明：当时，由（1）问知，将替换为，构造函数，则函数的零点为，其中，又，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，即，函数在上单调递减，当时，即，函数在上单调递增，又，且函数在上单调递减，所以在上无零点，由参考数据，可得，所以在上存在零点，且，构造函数，因为，所以在上单调递减，所以，即，整理得.【点睛】关键点点睛：本题（2）问的解题关键是将函数中替换为，构造函数，利用导数研究函数的零点.第 18 页 共 18 页