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1、|第四章作业题解4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:XYX 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1Y 0 1 2 3P 0.3 0.5 0.2 0如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 1.32.14.0)( XE9053Y因为 ，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较)(好。4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的最大编号，求E(X ).解：X 的可能取值为 3,4,5.因为 ； ；1.0)3(5
2、CP 3.01)4(352CXP6.)(3524所以 5.40.1.0XE4.3 设随机变量 X 的概率分布 其中 是个常数，1(0,2),()kaPX 0a求 ()解: ，下面求幂级数 的和函数，1121 1()()()k kk kaaE:1kx易知幂级数的收敛半径为 ，于是有R1 2()(),1()kkxx x|根据已知条件， ，因此 ，所以有0a1a.221()()EX:4.4 某人每次射击命中目标的概率为 , 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, p求射击次数的期望.解：因为 的可能取值为1,2,。依题意，知 的分布律为XX1(),12,kPqk 所以 )()()()( 111
3、 qppkEkkq)(224.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期望能得到多少分？解：设 4 次射击中命中目标的子弹数为 X，得分为 Y，则 XB(4,0.6)因为 0256.4.60)(4CXP13.131.)2(2445606.313CXP29.)(4所以 Y 的分布律为Y 0 15 30 55 100P 0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296故期望得分为 1296.03456.03456.0156.26
4、.)( E= 44.644.6 设随机变量 X 的概率分布为 说明 的期望不132()(1,),kPX X存在。|解:级数 发散,不符合离散型随机变量期望定义的要11 132()kkkkxp求,从而 的期望不存在.X4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为 X，依题意，知 XB(3,0.4) 故 2.1403)(E4.8 设随机变量X的概率密度函数为, 求,()2120,xf其 他 ().EX解：31212320101()()()().xEXxfdxdx4.9 设随机变量 X 的概率
5、密度函数为,2,()40,axfbc其 他又 ,求常数 的值.3()21EXP,abc解： 由 ，得 (fxd2402()xdx 126cba因为 xf420)()() 6358所以，由 ，得 XE6358cba又 dxdxP221)()31( cba25由 ，得 44c解联立方程，得 ， ，a1b4.10 设随机变量X的概率密度函数为 说明 的期望不2(),1)fxxX|存在.解:积分 ,显然,积分发散,根据连续型随机220()(1)1xxxfddd变量期望的定义, 的期望不存在.X4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分, 96
6、分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.解：设 ，依题意得，),(2NX72)(E又 ，则023.%.96P )2(9.06XP即有 所以 得 )(7(91所以 1,2NX故所求的概率为 )|127(|)|72(|)8460( XPXPP68.013.2)4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算 .22()(54)EX、解： 1.03.3.014.0)(22 E45)(54.13 设随机变量X的概率密度函数为, ,0()xef分别计算 的期望和 的期望2Y2XYe解：因为 ，其中 ，所以 )(EX11)(E故 2)(23)( 002 dxexed
7、xfeX4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间 内, 求球体积的均值.()ab|解：设球的直径测量值为 ，体积为 ，则有 .显然 的概率密度函数为XV316X1,()0axbfxb其 他因此,球体积的均值为.23311()()64baabEVXxd4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且 , 求06XU该游客等候时间的期望.解: 用随机变量 表示游客的等候时间 (单位: 分钟), 则 ,其函数关系为Y()Yg5,05,22(),66.xyg由于 ,根据随机变量函
8、数的期望公式,可得游客等候时间的期望为0XU5255600 2570()()()()()().6EYgxdxdxdxd4.16 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)Y, 2101(,),yxfx其 他求 .2()EXYEXY解：因为，当 时，10x 30241,( xdyyxff x当 时，y )(),)dyyY 所以， 54()( 310xdxfXEX 3)(2)yyY dyxxf102,()(|213105104dxyxx又 34)()(22 fXEX5)1(102 yyyYY故 6)()(222 E4.17 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 概率密度函数分别为和2,01(),Xxf其
9、 他 5,()0yef求 .EY解： ， 32)()(10xdxf )(555yyeey6155 ye因为 X 和 Y 相互独立，所以 .432)()(YEX4.18 设二维随机向量 服从圆域 上的均匀分布,求(,)22(,):DxyR.2(EXY解: 根据二维随机向量的计算公式： 2222()(,) ,xyRxyfddxy 此积分用极坐标计算较为方便，于是有 2201()3REXYr4.19 设随机变量 X 与 Y 相互独立,并且均服从 ,求 .(0)U(max,)EXY解：由于 X 服从 ，故其分布函数为(0)U|同理，Y 服从 ，故其分布函数为0,()1,.XxFx(0,)U于是根据公式
10、 3.7.5， 的分布函数为0,(),1.Yyymax,XY求到后得密度函数2max0,()1,.zFzz 2max,0,().zzf 其 他因此 +max-2()=().3EXYfzd4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的, 求汽车的平均停车次数.解：用随机变量 表示汽车的 10 个车站总的停车次数，并记X1,0ii第 站 有 旅 游 下 车 ， 第 站 无 旅 游 下 车 ， 1,20,i显然， 均服从两点分布，且 ，于是有i 1210X2099(),(),1i
11、iPXP由此求得.20 20()().874,()1()874iEEX4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望.解：设 Xi 表示第 i 次掷出的点数(i =1,2,10)，则掷 10 次骰子的点数之和为 。10iiX因为 Xi 的分布律为 (k =1,2,6)，6)(Pi所以 27615143126)( iE|故 .1010 3527)()(iiiXE4.22 在习题4.4中, 若直到命中目标 次为止, 求射击次数的期望.n解：设 是从第 次命中目标到第 次命中目标之间的射击次数， 的分布律为k1kkX1()(,2,12,mkPXp 记随机变量 ，并且注意到随机变量 概
12、率分布相同，因12n n此 1()().Enp4.23 求习题 4.1 中随机变量 的方差.,XY解：由 T4.1 知 ， ，由 T4.12 知1)(E90)( 2)(XE又 3.10.25.3.22 故 1)()( XXVar.490.222EYY4.24 求习题 4.9 中随机变量 X 的方差解: 由 T4.1 知 ，()224223230114()()().xfdxxd故 3VarXE4.25 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)Y, 1,1,(,)40xyyf其 他求 和 .()VarX()rY解：因为，当 时，1x 214),()(1dyxdyxffX即 ),(U|所以 ，021)
13、(XE31)(12)(2XVar由对称性得 ，Y34.26 设随机变量 ,并且 X 与 Y 相互独立,求 和(0,4)()NYU()VarXY.(23)VarXY解：因为 ，,(),(所以 ，4)ar 34)0(122YVar又 X 和 Y 相互独立，故6)()()( XV.283499432 Yarrar4.27 设二维随机向量 的概率分布如下表:(,)YXY -1 0 1010.10.30.10.10.10.3求 (,).Cov解 容易求得 的概率分布为：X0.3,PX10.7,的概率分布为：Y1.4,Y2Y4PY的概率分布为：，1,0.3,1,10.3,P X010.4XYYPXYYPX
14、Y于是有 ().3.70,E，1421.4Y().3.Xov,()()0CEYX|4.28 设二维正态随机向量 的概率密度函数为(,)XY21(4)()3(,),2xyfxyexy问 与 是否互不相关?XY解：二维随机变量 具有概率密度的标准形式为：),( 221212)(212),( yxxeyxf其中 均为常数,且 ,由此得到：,21 |,0,21因为 所以 与 互不相关。()(4;30)XYN:XY4.29 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)XY, 求 .,02,(,)8xyxyf其 他 XY解：因为，当 时，0x 418),()(20 xdyffX所以 67)341)()( 020 xdxdfXE 5)()()( 202022 xfx于是 361)75)(222EXXVar由对称性得 ，67)(YVar又因为 dyxdxyf 208),(10420232 )3(81yx34)62(203