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1、第五章作业题解正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300、标准差是7Go.使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数加2U0至忖400之间的概率.解:设每毫升血液中含白细胞数为,依题意得,E(X) = 7300 , o二 ylVar(X) = 700 由切比雪夫不等式,得产(5200 X9400 )=P(|X-7300 |1,7002=1 s 22100 25.1 设随机变量X服从参数为人 的泊松分布、使用切比雪夫不等式证明九一1P0 X -X解:因为 X Pg，所以 H = E(X)=入。o 2=Var(X)=X 故由切比雪夫不等式,得02X.P(0X2X) = P(
2、|X-X|1- = 1 -18 2大 2 X不等式得证.5.2 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量、期望是 0千克、方差是0.1千羽.求 10Q袋这种大米的总重量在99G至 1010千克之间的概率.解:设第i袋大米的重量为X； (i =1,2,J00)，那么10Q袋大米的总重量为X =七X 。 i/=1因为 E(X ) = 10 , Var(X ) = 0.1 ，/i所以 E(X) = 100 X 10 = 1000 , V(X) = 100x01 =10由中心极限定理知,X舞近似服从/V(0,1)V10故 P(990 X 1010) =P(|X- 1000 |10)= P(IX-10
3、00 P (10/疝)VS (10/如)而p( V-100(10/7l2)720 0 .387)=1 -P=1 -PV-100 1 0 5 0.3 4 8一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概 率为0.1,为了使整个系统起作用，至少要有85个部件正常工作.求整个系统起作用的概率解：设正常工作的部件数为X,因为部件正常工作的概率为p = 1 - 0 .1 = 0 .9 ,所以 X- 5(100 ,0.9),有石(X) = 100 x 0.9 = 90 , Var (X) = 90 x 0.1 = 9V _ QQ由中心极限定理知，近似服从N(OJ)3故所求的
4、概率为X 905P ( X 85 ) = 1 - P(X85) = 1 - P( -)3355=1 -(D(-_)= 0( _)=O(1 .67) = 0.9525335.6银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金.这批债券共发放了500张，每张债券 到期之日需付本息1000元.假设持券人(一人一张)于债券到期之日到银行领取本息的概率为 04问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9%的把握满足持券人的兑换？解：设领取本息的人数为X,那么XB (500 ,0 .4 ) o有E(X) = 500 x0.4 = 200 , Vfzr ( X) = 200 x 0 .6 = 120由中心极限定理
5、知，二等一近似服从N(O,1) V120又设要准备现金x元，那么满足兑换的概率为P(1000Xx) = P(X3 .1解之得 x (3.1-J120 + 200 )x 1000 = 233958 .8()故应准备234000元的现金。第五章大数定律和中心极限定理定义、定理、公式小结及补充:切比雪 夫不等 式设随机变量X有期望E(X)=|i和方差O(x)=o2,那么对于任给右O 20,伺 P|X-|1| .8 2(1)大数定律切比雪 夫大数 定律设随机变量X ,X , X相互独立，均具有启限方差，且被同 12 n一常数C所界：V(X )(i=l,2,)，那么对于任意的正数s, i有lim P|一
6、x - - 2L E(X ) = 1.1 n几i,、/=ii=i7特殊情形：假设X,X, X具有相同的数学期望 12E(X)=日，i=i,2,，那么上式成为 ilim P Z, X -|Li 一 8尸.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设x,x, x是相互独立同分布的随机变量序歹U, 12n(X )= |i,z = 1,2,，那么对于任意的正数有lim P(1 I _ t X -|i/I .设随机变量X ,X , X相互独立，服从同一分布，且具I 2 有相同的数学期望和方差:E(X ) = N,D(X ) = 02 wo(4=1,2,),那么随机变量 kk的分布函数F (x)对任意的实数x,有 n此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗一拉普 拉斯定 理设随机变量X为具有参数n任意实数x,有n,p(Opl)的二项分布,那么对于X 一切- p)00).C nN超几何分布的极限分布为二项分布。4)泊松定理右二!8时、 0 ,那么XkC kp k(l _ p) ,1 一e-九(n - 00 ).k其中k=0, b 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。