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1、|第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分 Rdz+QyPdx化成第一类曲线积分是)dsRcoQs(Pco，其中 为 上点 (x,y)处切 向量 的方向角。(2) 第二类曲面积分zy化成第一类曲面积分是)dscos(Pco，其中 为 上点 (x,yz)处的法 向 量的方向角10.02 计算下列曲线积分：(1) dsyxL2,其中 L为圆周 axy2解：:ax表示为参数方程:=2cosyin()02有 csa,siax y422)cos1(2a=xy2dacos+1adsx0L d4022a20sini(2) zds,其中 为曲线 tcosx， ti， tz， 0t解：
2、:csin()tyzt00xytttt222dstd20 )(d1t0x2+y2=ax0 a xya/2L|32)t(0t)2(31/20/3(3)Lxdy)a2(,其中 L为摆线 tsinax， )tcos1(ay上对应 t从 0到的一段弧。解: 20 )ti()tco1()(dsasita22020 22atdcos)tcs(int)intt(4)dzxyd)zy(2，其中 是曲线 32tz,y,tx上由 01到1t2的一段弧。解: ()()tttd2246520132d351t7105（5） Lxx dy)2cose(d)y2sine(，其中 L 为上半圆周 22ay)x(，0y沿逆时针
3、方向。解: 补直线段 OAa:(),0由格林公式 ,有DxxOALdy2dy)2cose(s)ine(区域 D 的面积a又 LOAOA2Lxx a0OAdy)cose(d)y2sine( x（6） z，其中 是用平面 z截球面 1z2所得的截痕，从 z轴的正向看去，沿逆时针方向Dyx0 2aa(x-a)2+y2=a2LA|解: yzx221， 用参数方程表示为:xtyztcosin(:)1202tdcos2tsintcod0 00 dt4cos16dt)(si61t4i8216010.03 计算下列曲面积分：（1）dszyx22，其中 是界于平面 0z及 H之间的原柱面 22Ryx解： 投影到
4、 o平面上的投影为 yzD12 其中Hz0,Ry:Dx1),z0(y:Rx),Hz0(y:yz 22z2 22zdsxdsyx1dszyx121 2222 12122200zyzRddRarctgzDHHxy(arcsin)()2RrtRarctgH()（2）dxy)(z)x(dy)z( 22，其中 为锥面2yxz,hz0的外侧。解：补平面 :1上侧（如上页下图） ，与 构成一封闭曲面： 1的外侧x0zy 1Dxyhx2+y2=h2x0zyRH(10.03 (1)图)(10.03 (2)图)|由高斯公式得:0dxy)(dzx)(dyz)(1 222 又 11故 1dxy)(dz)x(dyz)(
5、 222 20320420324h02D 2 dsinhdcos1d)sincoh( r)inr(dxy) dxy1coshi1400（3）zdxyyxdz，其中 为半球面22yxRz的上侧解: 补平面 h:1下侧,与 构成一封闭曲面：1的外侧；由高斯公式得: d)1(zdyxdz13区域 的体积 2433R又 xdyzzdxy1 0，11xdyzzdxyR2033（4） 322，其中 为曲面9)1y(62x5z2)0z的上侧。解: 补平面 0z:1下侧, 与曲面 构成一封闭曲面： 1的外侧；而xyzyzxzxyzxyz()()()()2232252222352x0zy 1RR x2+y2=R
6、2R2|由高斯公式得：1 322)zyx(dxd0d)z2y(zy25222 又xy1 D32322 dx)0()x(dd yxyD（其中196:D2y）)zx(dd1322 （5）yz，其中 为曲面 zyx22 0y,x的外侧解：方法 1:ddd上 下20123D2D2dr1cosinrdxy1xy2 )(x 5sirdcosin20103 其中： 0231023 dt)sin(tcotr令1520ti5ti1tidsn)ti1( 302 方法 2：补 )zy(,0x:,zx,y:243 由高斯公式得: xydddyxzd4343 15234drsindcosinsincor10403201
7、22 而 xyzxyz34d15210.04 证明： 2yx在整个 xOy 平面的除去 y的负半轴及原点的开区域 G内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数0 xyA(0,1)B(0,y)C(x,y)|证明：PxyQy22,x02(),xdy2在整个 oy平面除去 y 的负半轴及原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分。uxd(,)(,)201 BC2AB2yxdyxd)yxln(2 ln1)ln(1l2y10.05 设在半平面 0内有力jirkF3构成力场，其中 k 为常数，2yxr；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。证明： WPdxQyL(,)(,)kkyxd()()2
8、323又 yxy2525225225yxk33kQ故 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域: 半平面 0,有一阶连续偏导数。xPy在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。10.06 求均匀曲面22yxaz的重心的坐标解：曲 面 在 xOy 面投影为 xyD： 22a22y22x a,a22yxxz1又 是关于 yoz 面, xoz 面对称, zdsa21dsz,00又 dsaxyxyxDxy22|adxyDa区域 xy的面积 32a z32重心 0,10.07 设 ,u ,v在闭区域 D 上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线 L 为的正向边界曲线。证明：（1）dsnuvdxygrauudx
9、yvD （2）LD snv其中 nuv分别是 u 沿 L 的外法线向量 的方向导数,符号 2yx称二维拉普拉斯算子证明：令 为 x 轴正向到方向 n的转角为 x 轴正向到切线方向 的转角则 2又 dsdscoinyiunxuyi根据格林公式：dsdsdsLLcoinuxdyuydxxuyydxudxLDDD222ugradydxdunsDDL（2）由（1）知 nsuxygradxyLD同理 udduDLnTT|由上两式作差：()()undsudxyLD；证毕 。10.08 求向量 kzjyixA通过区域 ： 1x0， ， 1z0的边界曲面流向外侧的通量解：由已知条件得所求通量为： ndsivAd3的体积 310.09 求力 kxjziyF沿有向闭曲线 所作的功，其中 为平面 1zyx被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从 z轴正向看去，沿顺时针方向解：取 为平面 y10,()下侧被 围成, 的单位法向量13n即 31coscos,令 Dxy为 在 xoy 面的投影;由斯托克斯公式有： Wydxzsxzy31xyDd3ds3xy的面积 20z111yxDxy|