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1、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:类似地可定义类似地可定义二、概念的引入二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.1.分割分割则该点流速为则
2、该点流速为 .法向量为法向量为 .2.求和求和3.3.取极限取极限三、概念及性质三、概念及性质积分曲面积分曲面被积函数被积函数有向面积元有向面积元类似可定义类似可定义存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:性质性质:由定义可知对坐标的曲面积分具有与由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质对坐标的曲线积分相类似的性质1。可加性可加性2。反向性反向性四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式这就是把对坐标的曲面积分化成二
3、重积分的计算公式概括为概括为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）面）定号：定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号的正负号一代、二投、三定号一代、二投、三定号注注积分曲面的方程必须表示为积分曲面的方程必须表示为单值显函数单值显函数 否则分片计算，结果相加否则分片计算，结果相加确定正负号的原则：
4、确定正负号的原则：曲面取曲面取上上侧、侧、前前侧、侧、右右侧时为侧时为正正 曲面取曲面取下下侧、侧、后后侧、侧、左左侧时为侧时为负负例例1 计算计算所截得的在第一卦限的部分的前侧所截得的在第一卦限的部分的前侧解解解解例例2例例3 计算计算平面平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解解分成四个部分分成四个部分左侧左侧下侧下侧后侧后侧上侧上侧同理同理同理同理注注对坐标的曲面积分的对称性对坐标的曲面积分的对称性被积表达式具有轮换对称性，即将被积被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按表达式中的所有
5、字母按xyz顺序代换后原式不变顺序代换后原式不变积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同的符号也相同五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式例例4解解注注此例的解法具有普遍性此例的解法具有普遍性六、小结六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”思考题思考题思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.练练 习习 题题练习题答案练习题答案