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1、数学竞赛初赛试题：平面向量与空间向量1.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2 ， 椭圆C上点A满足AF2F1F2. 若点P是椭圆C上的动点，则F1PF2A的最大值为（ ）A.32B.332C.94D.1542.设M是ABC边BC上任意一点,N为AM的中点,若AN=AB+AC,则+的值为( )A.12B.13C.14D.13.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PBPC的最小值等于（ ） A.2B.-2C.-1D.04.如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足 AE =m
2、AB ， AF =n AC ，其中m，n（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则| MN |的最小值为（ ） A.24B.33C.34D.535.设a1,a2,a3,a4R，且a1a4a2a3=1，记f(a1,a2,a3,a)4=a12+a22+a32+a42+a1a3+a2a4，则f(a1,a2,a3,a4)的最小值为A1B3C2D236.设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（）A255B22C1D637.已知向量 O
3、A ， OB 满足 |OA|=|OB|=1 ， OAOB ， OC=OA+( ， R) ，若M为AB的中点，并且 |MC|=1 ，则+的最大值是（ ）A.13B.1+2C.5D.1+38.如图，直角ABC的斜边BC长为2，C=30，且点B,C分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方设OA=xOB+yOC，（x,yR），记M=OAOC，N=x+y，分别考查M,N的所有运算结果，则AM有最小值，N有最大值BM有最大值，N有最小值CM有最大值，N有最大值DM有最小值，N有最小值9.已知直线l与椭圆C1:x28+y24=1切于点P，与圆C2:x2+y2=16交于点AB，圆C2在点AB处的切
4、线交于点Q，O为坐标原点，则OPQ的面积的最大值为A22B2C2D110.如图，在OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP=xOA+yOB，则在直角坐标平面上，实数对x,y所表示的区域在直线yx=3的右下侧部分的面积是（）A72B92C4D不能求11.已知两个不相等的非零向量a,b，两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成，记S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中（1）S有5个不同的值；（2）若ab则Smin与|a|无关；（3）
5、若a/b，则Smin与|b|无关；（4）若|b|4|a|，则Smin0；（5）若|b|=2|a|，Smin=8|a|，则a与b的夹角为4正确的是（）A（1）（2）B（2）（4）C（3）（5）D（1）（4）12.设正数1，2，3满足1+2+3=3，P1，P2，P3是以O为圆心的单位圆上的3个点，且1OP1+2OP2+3OP3=0.若M是圆O所在平面上任意一点，则1MP1+2MP2+3MP3的最小值是A2B3C22D3213.菱形ABCD中，AB=4，A=60，点P在BCD的外接圆上，若AP=mAB+nAD，则m+n的最大值是_.14.在等腰直角三角形ABC中，C=2，点P在三角形内，满足PA+2
6、PB+(22+2)PC=0，则APB=_.15.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,OAOB=0,|OP|1，则APBP+BPCP+CPAP的最大值为_16.已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA=12，B，C为圆O上任意两点，则ACBC的取值范围是_17.已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数f(x)=2x1-2x,x12-1,x=12的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=12上，且AM=MB （）求x1+x2的值及y1+y2的值（）已知S1=0，当n2时，Sn=f1n+f2n+f3n+fn-1n ， 求Sn；（）在（）的条件下，设an=2Sn ， Tn为数列an的前
7、n项和，若存在正整数c、m，使得不等式Tm-cTm+1-c成立，求c和m的值18.如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上 （1）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（2）当 BDAB = 15 时，求二面角BCDB1的余弦值19.已知向量 m =（sinx，1）， n =（cosx， 32 ），函数f（x）=（ m + n ） m （1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移 8 个单位得到函数g（x）的图象，在ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（ A2 ）= 66 ，sinB=cos
8、A，求b的值20.已知向量a=(cosx，-1)，b=(3sinx，1)，函数f(x)=(a+b)a-12.（1）求函数f（x）的单调增区间.（2）若方程3f(x)2-f(x)+m=0在x(0，2)上有解，求实数m的取值范围.（3）设g(x)=f(x+12)-12，已知区间a，b（a，bR且ab）满足：yg（x）在a，b上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的a，b中求ba的最小值.21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2，离心率e=22，（1）求椭圆C方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆交于不同的两点A,B，与圆x2+y2=23相切于点M，证明：OAOB（其中O为坐标原点）；设=|AM|BM|，求实数的取值范围.22.已知椭圆C的方程为x24+y22=1，过点Q23，0作直线与椭圆交于A，B两点.（1）求证：PAPB；（2）求|PA|PB|的最大值.23.如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直(1)求异面直线AE与BD所成角的大小；(2)在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且BMBD=x，ENEA=y，试用x，y来表示线段MN的长度；(3)在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段?