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1、6.3.2 二项式系数的性质 1. 能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.1二项式定理(ab)n_ (nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有_项(3)二项式系数：各项的系数_ (k0,1,2，n)叫做二项式系数CanCan1bCan2b2CankbkCb
2、nn1 ；C2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第_项叫做二项展开式的通项，记作Tk1_.k1 ；Cankbk3. 二项式系数的性质（1）.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Cnm=Cnn-m.（2）.增减性与最大值 当kn+12时,Cnk随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值;当n是奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等,且同时取得最大值.（3）.各二项式系数的和Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.1. 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为.2. A=Cn0+Cn2+Cn4+与B=
3、Cn1+Cn3+Cn5+的大小关系是()A.ABB.A=BC.ABD.不确定 一、 问题探究探究1：计算a+bn展开式的二项式系数并填入下表二项式系数:Cn0,Cn1, Cn2,Cnk, ,Cn0.通过计算、填表、你发现了什么规律？na+bn的展开式的二项式系数 111 2121 31331 414641 515101051 61615201561将上表写成如下形式：a+b2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1a+b1a+b3a+b4a+b5a+b6思考：通过上表和上图，能发现什么规律？对于a+bn展开式的二项式
4、系数Cn0,Cn1, Cn2,Cnk, ,Cn0.我们还可以从函数的角度分析它们。Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是0,1,2,n我们还可以画出它的图像。例如，当n=6时，函数fr=Cnr(r0,1,2,n)的图像是7个离散的点，如图所示。探究2.已知1+xn =Cn0+Cn1x+.+Cnkxk+.+Cnnxn ，求Cn0+Cn1+Cn2+Cnn二、典例解析例3.求证:在a+bn的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用
5、赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=f(1)-f(-1)2.跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.求二项展开式中系数的最值的方法(1)若二项
6、展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.(2)若二项展开式的系数为f(k)=Cnkmg(k)的形式.如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,An+1,且第k+1项系数最大,应用Ak+1Ak+2,Ak+1Ak解出k,即得系数最大的项.跟踪训练2.已知x+2x2n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的个数;(2)求该展开式中系数最大的项.1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为()A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项2.已知Cn0+2Cn1+2
7、2Cn2+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64 B.32 C.63 D.31 3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212 B.211 C.210 D.294.已知14+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为.5.已知12+2xn,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数. 参考答案：知识梳理1.解析:因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为C84a4b4=70a4b4.因为(a+b)9
8、的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C94a5b4=126a5b4,C95a4b5=126a4b5.答案:1.70a4b4126a5b4与126a4b52. 解析:(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n,(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-+(-1)nCnn=0,Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1,即A=B.答案:B 学习过程一、 问题探究探究2. 令x=1 得1+1n=Cn0+Cn1+.+Cnn=2n所以，a+bn的展开式的各二项式系数之和为2n二、典例解析例3.证明:在展开式a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnk
9、an-kbk+.+Cnnbn中，令a=1,b=-1，得1-1n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+.+(-1)nCnn即0=(Cn0+Cn2+.)-(Cn1+Cn3+.)因此Cn0+Cn2+.=Cn1+Cn3+.即在a+bn的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.跟踪训练1. 解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9.(1)二项式系数之和为C90+C91+C92+C99=29=512.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-a9=
10、59,又a0+a1+a2+a9=-1,将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=59-12=976 562,即所有奇数项系数之和为976 562. 例4.解:T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,依题意有Cn525=Cn626,解得n=8.在(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C84(2x)4=1 120x4.设第k+1项的系数最大,则有C8k2kC8k-12k-1,C8k2kC8k+12k+1,解得5k6.k=5或k=6(k0,1,2,8).系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.跟踪训练2.解:(1)由题意可知n2+1=6,n=10.Tk+1=
11、C10kx10-k22kx-2k=C10k2kx10-5k2(0k10,且kN),要求该展开式中的有理项,只需令10-5k2Z.k=0,2,4,6,8,10.有理项的个数为6.(2)设第Tk+1项的系数最大,则C10k2kC10k-12k-1,C10k2kC10k+12k+1,即2k111-k,110-k2k+1,解不等式组得193k223.kN,k=7.展开式中系数最大的项为T8=C10727x-252=15 360x-252.达标检测1. 解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.答案:C2 解析:由已知(1+2)n=3
12、n=729,解得n=6.则Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B 3.解析:因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10,所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为12210=29.答案:D 4.解析:由Cn0+Cn1+Cn2=37,得1+n+12n(n-1)=37,解得n=8(负值舍去),则第5项的二项式系数最大,T5=C84144(2x)4=358x4,该项的系数为358.答案:3585.解:Cn4+Cn6=2Cn5,n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数为C7312423=352,T5的系数为C7412324=70;当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为C14712727=3 432.