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1、中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式ht224t1则下列说法中对的的是（ ） A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同B.点火后24s火箭落于地面C.点火后10s的升空高度为139mD.火箭升空的最大高度为145m【答案】D 2. 关于二次函数 ，下列说法对的的是（ ） A .图像与 轴的交点坐标为 B.图像的对称轴在 轴的右侧C.当 时， 的值随 值的增大而减小D.的最小值为-3【答案】D3. 如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象也许是（ ） A.B.C.D.【答案】B 4.二次函数
2、 的图像如图所示，下列结论对的是( )A.B.C.D.有两个不相等的实数根【答案】C 5. 给出下列函数：y=3x+2；y= ；y=2x2；y=3x，上述函数中符合条作“当x1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ） A.B.C.D.【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A.（-3，-6）B.（-3，0）C.（-3，-5）D.（-3，-1）【答案】B 7. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，与y
3、轴交于点C，与x轴交于点A、点B（1，0），则二次函数的最大值为a+b+c；ab+c0；b24ac0；当y0时，1x3，其中对的的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B 8. 若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A.B.C.D.【答案】B 9.如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法： ； ； ； （ 为实数）；当 时， ，其中对的的是（ ）A.B.C.D.【答案】A 10.如图，二次函数
4、y=ax2+bx的图象开口向下，且通过第三象限的点P若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大体是（ ）A.B.C.D.【答案】D 11.四位同学在研究函数 （b，c是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 12.如图所示,DEF中,DEF=90,D=30,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作ABDF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大体为（ ）A.（ B.C.
5、D.（ 【答案】B 二、填空题 13.已知二次函数 ，当x0时，y随x的增大而_（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增长_m。【答案】4 -4 三、解答题 15. 如图，抛物线 （a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C ， D在抛物线上设A（t ， 0），当t=2时，AD=4（1）求抛物线的函数表达式 （2）当t为什么值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ， H
6、， 且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax（x-10）当t=2时，AD=4点D的坐标是（2，4）4=a2（2-10），解得a= 抛物线的函数表达式为 （2）由抛物线的对称性得BE=OA=tAB=10-2t当x=t时，AD= 矩形ABCD的周长=2（AB+AD）= 0当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图，当t=2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4）矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分。当平移
7、后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分。当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不也许将矩形面积平分。当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积。ABCD线段OD平移后得到线段GH线段OD的中点Q平移后的相应点是P在OBD中，PQ是中位线PQ= OB=4所以，抛物线向右平移的距离是4个单位。 16. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或
8、抛物线的函数关系式。P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 【答案】P1（4，0），P2（0，0），4-0=40，绘制线段P1P2 ， P1P2=4.P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，绘制抛物线，设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ， ，即 。 17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，假如不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=5x2+20x，请根据规定解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时
9、，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当y=15时，15=5x2+20x，解得，x1=1，x2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s（2）解：当y=0时，05x2+20x，解得，x3=0，x2=4，40=4，在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s（3）解：y=5x2+20x=5（x2）2+20，当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m 18.在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物
10、线 （ 是常数），定点为 . （1）当抛物线通过点 时，求定点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； （3）无论 取何值，该抛物线都通过定点 .当 时，求抛物线的解析式. 【答案】（1）解：抛物线 通过点 ， ，解得 .抛物线的解析式为 . ，顶点 的坐标为 .（2）解：如图1， 抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去. .抛物线解析式为 .（3）解： 如图2： 由 可知，当 时，无论 取何值， 都等于4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射
11、线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 . ， ， . . ， . . ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .点 在直线 上， .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意， .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .点 在直线 上， .解得 （舍）， . .综上， 或 .故抛物线解析式为 或 . 19.如图，已知二次函数 的图象通过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.（1）求二次函数 的表达式； （2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标； （3）当点
12、 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积. 【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ,得 ，解得 ， 该二次函数的表达式为 （2）解：若四边形POPC是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP，则PECO，垂足为E， C（0，3）， E（0， ）, 点P的纵坐标等于 ,解得 ， （不合题意，舍去）， 点P的坐标为（ ， ）（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（m， ），设直线BC的表达式为 ，则 , 解得 .直线BC的表达式为 Q点的坐标为（m， ）， .当 ，解得 ， AO=1，AB=4， S四边形ABPC =
13、SABC+SCPQ+SBPQ= = 当 时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 20.如图1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.（1）当 时，线段 的中点坐标为_； （2）当 与 相似时，求 的值； （3）当 时，抛物线 通过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（
14、1）（ ，2）（2）解：如图1，四边形OABC是矩形，B=PAQ=90当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时， ， ，4t2-15t+9=0，（t-3）（t- ）=0，t1=3（舍），t2= ，当PAQCBQ时， ， ，t2-9t+9=0，t= ，0t6， 7，x= 不符合题意，舍去，综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是 或 （3）解：当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得： ，抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ，顶点k（ ，- ），Q（3，2），M（0，2），MQx轴，作抛物线对称轴，交MQ
15、于E，KM=KQ，KEMQ，MKE=QKE= MKQ，如图2，MQD= MKQ=QKE，设DQ交y轴于H，HMQ=QEK=90，KEQQMH， ， ，MH=2，H（0，4），易得HQ的解析式为：y=- x+4，则 ，x2-3x+2=- x+4，解得：x1=3（舍），x2=- ，D（- ， ）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使HQM= MKQ=QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y= x，则 ，x2-3x+2= x，解得：x1=3（舍），x2= ，D（ ， ）；综上所述，点D的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） 21.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴有两个交
16、点.（1）当 时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标； （2）过点 作直线 轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直线 上)，求 的范围； （3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 的面积最大时 的值. 【答案】（1）解：当m=-2时，y=x2+4x+2当y=0时，则x2+4x+2=0解之：x1= ，x2= （2）解： =（x-m）2+2m+2顶点坐标为（m，2m+2）此抛物线的开口向上，且与x轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间（不涉及点A在直线l上） 解之：m-1，m-3即-3m-1（3）解：根据(2)的条件可知-3m-1根据题意
17、可知点B（m，m-1）,A（m，2m+2）AB=2m+2-m+1=m+3SABO= m=时，ABO的面积最大。 22.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 .（1）求抛物线的解析式； （2）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求矩形 的最大面积； （3）若直线 将四边形 提成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ，求 的值. 【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0a+b-3=0解之：a=1，b=2抛物线的解析式为y-=x2+2x-3（2）解：解：x=0时，y=-3点C的坐标为（0，-3）CDX轴，
18、点D（-2，-3）A（-3,0），B（1,0）yAD=-3x-9，yBD=x-1直线 与线段 、 分别交于 、 两点 矩形的最大面积为3（3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3CDx轴S四边形ABCD= S1=4，S2=5若直线y=kx+1通过点D时，点D（-2，-3）-2k+1=-3解之：k=2y=2x+1当y=0时，x= 点M的坐标为 设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S 解之：k= 23.如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆通过点A（1，2）且与x轴相切于点B（1）当x=2时，求P的半径； （2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的
19、形状，并在图中画出此函数的图象； （3）请类比圆的定义（图可以当作是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以当作是到_的距离等于到_的距离的所有点的集合 （4）当P的半径为1时，若P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请运用图，求cosAPD的大小 【答案】（1）解：由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，圆P与x轴相切，PBx轴，即PB=y，由AP=PB，得到 =y，解得：y= ，则圆P的半径为 （2）解：同（1），由AP=PB，得到（x1）2+（y2）2=y2 ， 整理得：y= （x1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图所示；（3）点A；x轴（4）解：连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，D坐标为（1+ ，a+1），代入抛物线解析式得：a+1= （1a2）+1，解得：a=2+ 或a=2 （舍去），即PE=2+ ，在RtPED中，PE= 2，PD=1，则cosAPD= = 2