《2023年高中数学排列组合及二项式定理知识点和练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高中数学排列组合及二项式定理知识点和练习.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、排列组合及二项式定理【基本知识点】1.分类计数和分步计数原理的概念2排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列3排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表达4排列数公式：（）5.阶乘：表达正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定6排列数的另一个计算公式：= 7.组合概念：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合8组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表达9.组合数
2、公式：或10.组合数的性质1：规定：；11.组合数的性质2：+ Cn0+Cn1+Cnn=2n12.二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn13二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以当作认为自变量的函数，定义域是，（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 【常见考点】一、可反复的排列求幂法：反复排列问题要区分两类元素：一类可以反复，另一类不能反复，把不能反复的元素看作“客”，能反复的元素看作“店”，则通过“住店
3、法”可顺利解题，在这类问题使用住店解决的策略中，关键是在对的判断哪个底数，哪个是指数（1）有4名学生报名参与数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参与争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）（2） （3）二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高考资源网 （4）五人并排站成一排，假如必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相称于4人的全排列，种（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排
4、，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 种高考资源网 其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288 三相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置规定的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，假如甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种（7） 书架上某层有6本书，新买3本
5、插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： （8）马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。（9）2023年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三
6、人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高考资源网 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采用位置分析法。 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. （10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段解决。高考资源网 （11） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种
7、数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种（12）把15人提成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A）（B） （C）（D） （13）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】 ：（1）前后两排可当作一排的两段，因此本题可当作6个不同的元素排成一排，共种，选.高考资源网 （2）答案：C（3）当作一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.六定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的
8、顺序，可用缩小倍数的方法.（14）五人并排站成一排，假如必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）高考资源网 【解析】 ：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种（15）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？高考资源网 【解析】 ：法一： 法二：七标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完毕.（16） 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6
9、种 B、9种 C、11种 D、23种高考资源网 【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的相应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.（17）编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B八不同元素的分派问题（先分堆再分派）：注意平均分堆的算法（18）有6本不同的书按下列分派方式分派，问共有多少种不同的分派方式？高考资源网 （1） 提成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲
10、、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3） 提成每组都是2本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5） 分给5人每人至少1本。【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）（19） 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.九相同元素的分派问题隔板法：（20）把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，规定每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个
11、球后还余下17个球，然后再把这17个球提成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。高考资源网 （21）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分派方案？【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额当作10个相同的小球提成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法相应着一种分派方案，故共有不同的分派方案为种.高考十排数问题（注意数字“0”）高考资源网 （22）由数字0，1，2，3，4，5组成没有反复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种【解析】：按题意，个位数字只也许是
12、0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.十一染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;高考资源网 （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。（23）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，假如只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色
13、中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以互换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。(3)若恰用五种颜色染色，有种染色法高考资源网 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.十二 几何中的排列组合问题:（24）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有： 12 个 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有 ，其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+1
14、2-14=60 答案:60【练习】1、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（A）12种 （B）24种 （C）30种 （D）36种【解析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。总的赠送方法有种。【答案】B2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A20B15C12D10【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线
15、，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有种方法，但是在这样解决的过程中刚好每一条对角线反复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.3、的展开式中的常数项是 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：令，于是展开式中的常数项是故选C4、已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则 【答案】解：的通项为，的展开式中的系数是,的通项为，的展开式中的系数是 ，.5、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。6、若，
16、则 的值为 答案47、已知，则= -8 8、对任意的实数，有，则的值是（ B ）A3 B6 C9 D219、设是的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足 8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( C )A48 B96 C144 D19210、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无反复数字的三位数，其中“伞数”有A.120个 B.80个 C.40个 D. 2
17、0个【答案】C11、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，规定有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A24种 B30种 C36种 D48种【答案】D12、假如一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点拟定的直线与具有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A24 B30 C36 D42 【答案】C13.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ;【答案】11214、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（A）（B）（C）（D）误
18、解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法，选A.错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即，故选B.15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分派方案有（ ）.（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案.错因分析：显然这里有反复计算.如：班先派去了甲工厂，班选择时也去了甲工厂，这与班先派去了甲工厂，班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不同样的情况，并且这种反复很难排除.正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：种方案.排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易犯错的地方就可以以不变应万变，把排列组合学好.