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1、精选优质文档-倾情为你奉上排列组合及二项式定理【基本知识点】1.分类计数和分步计数原理的概念2排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列3排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示4排列数公式：（）5.阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定6排列数的另一个计算公式：= 7.组合概念：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合8组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的
2、组合数用符号表示9.组合数公式：或10.组合数的性质1：规定：；11.组合数的性质2：+ Cn0+Cn1+Cnn=2n12.二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn13二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，定义域是，（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元
3、素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）（2） （3）二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高考资源网 （4）五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种（5）3位男生和
4、3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 种高考资源网 其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288 三相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种（7） 书
5、架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： （8）马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。（9）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵
6、只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高考资源网 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. （10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高考资源网 （11） 6个不同的元素排成前后两排，每排
7、3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种（12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A）（B） （C）（D） （13）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】 ：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.高考资源网 （2）答案：C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.六定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限
8、制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.（14）五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）高考资源网 【解析】 ：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种（15）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？高考资源网 【解析】 ：法一： 法二：七标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.（16） 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均
9、不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种高考资源网 【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.（17）编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B八不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法（18）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高考资源网 （1） 分成1本、2本
10、、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3） 分成每组都是2本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5） 分给5人每人至少1本。【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）（19） 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.九相同元素的分配问题隔板法：（20）把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个
11、盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。高考资源网 （21）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.高考十排数问题（注意数字“0”）高考资源网 （22）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种【解析】
12、：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.十一染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;高考资源网 （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。（23）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。(2)若恰用四种
13、颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。(3)若恰用五种颜色染色，有种染色法高考资源网 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.十二 几何中的排列组合问题:（24）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有： 12 个 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有 ，其中平行于坐标轴的有14条
14、 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60【练习】1、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（A）12种 （B）24种 （C）30种 （D）36种【解析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。总的赠送方法有种。【答案】B2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A20B15C12D10【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的
15、两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.3、的展开式中的常数项是 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：令，于是展开式中的常数项是故选C4、已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则 【答案】解：的通项为，的展开式中的系数是,的通项为，的展开式中的系数是 ，.5、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正
16、整数，故只能取1。6、若，则 的值为 答案47、已知，则= -8 8、对任意的实数，有，则的值是（ B ）A3 B6 C9 D219、设是的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足 8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( C )A48 B96 C144 D19210、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有A.120个 B.8
17、0个 C.40个 D. 20个【答案】C11、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A24种 B30种 C36种 D48种【答案】D12、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A24 B30 C36 D42 【答案】C13.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ;【答案】11214、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
18、（A）（B）（C）（D）误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法，选A.错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即，故选B.15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案.错因分析：显然这里有重复计算.如：班先派去了甲工厂，班选择时也去了甲工厂，这与班先派去了甲工厂，班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：种方案.排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.专心-专注-专业