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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 重点高中生数学建模名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作者：日期：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速的关系的争论1. 问题的提出水车又称 孔明车,是我国最古老的农业浇灌工具,是先人们在战胜世界的过程中制造出来的精湛劳动技艺,是宝贵的历史文化遗产； 相传为汉灵帝时华岚造出雏形, 经三国时孔明改造完善后在 蜀国 推广使用,隋唐时广泛用于农业浇灌,至今已有
2、1700 余年历史；现代,水车作为一种古老而独具聪明的艺术品显现在我们的生活 中,人们在惊奇古老聪明的同时,是否想过它身上所包蕴的数学问 题？图 1 比如：水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系？由 图 1 可知,水车的高度具有肯定的周期性,故,此模型应为研 究周期现象的模型； 在争论过程中, 不考虑其他影响水车转速或水流 速的因素；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为了更好地学习数学学问, 并将它充分运用到实际生活中,我对此问题想做进一步的争论； 2. 问题的分析问题的条件有两点： 1. 题目中要求建立数学模
3、型来争论水车上一点距离水面的高度与水流速的关系,属于周期现象；2. 争论过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响；3. 模型的假设与符号说明假设水流速为恒定值；符号 说明h 水车上一点距离水面的高度v 水流速w 水车的角速度r 水车的半径t 时间b 水车圆心与水面的距离4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 水车上一点转过的角度 4. 模型建立图 2 如图 2,水车半径为 r ,其中心 O距离水面距离为 b,规定水流速为 v,向左为正方向,任意一点P点距离水面的高度为h；求 h 与 v 的函数解析式； 5. 模型求
4、解5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 水流速即可看为水车的线速度,就由已知可得水车的角速度w=v/r. 为了便利,不妨从当 OP与水面平行时开头计时, 即从 ON处开头计时,在 t 时刻水车转动的角度 =wt=vt/r 如图 2 所示,过点 P向水面作垂线,交 ON于点 Q,交水面于点 A,PA即为点 P距离水面的高度； h=PA=PQ+QA=PQ+OM PQ=OP sin 把式,式代入式得： h=r sin （t v/r ）+b 这就是水车上任意一点距离水面高度 6. 结果分析h 与水流速 v 的函数解析式；争论
5、函数 h= r sin （t v/r ）+b 的性质（1）：确定周期 T=2 /w=2 / （t/r ）=2 r/t （2）：确定频率6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - f=1/T=t/2 r （3）：争论性质当 vt/r 【2k - /2,2k + /2 】（kZ）,即 v【2k r/t- r/2t ,2k r/t+ r/2t 】（kZ）时,函数递增；当 vt/r 【2k + /2 ,2k +3 /2 】（kZ）,即 v【2k r/t+ r/2t ,2k r/t+3 r/2t 】（kZ）时,函数递减； 7. 争论
6、拓展假如雨季河水上涨或旱季河流水量削减,将造成水车中心 O与水面距离的转变, 而使函数解析式中所加参数b 发生变化；水面上涨时参数 b 减小,水面回落时参数 b 增大；假如水流速度加快,将使周期T 减小,转速减慢时就使周期 T 增大； 8. 方案评判 1. 本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题,建立模型思路清楚合理； 2. 简化了水车模型,运算起来更加简便； 3. 将争论结果进行拓展,增强了有用价值7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）. 但在实际运用中仍应考虑自然因素对水流速的影响,依据实际情形进行敏捷转变；（5）. 面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能,通过这个问题的争论,我更加娴熟的把握了把问题供应的“ 条件” 逐条地“ 翻译” 成“ 数学语言” ；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页