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1、第16题 对数函数一题源探究黄金母题已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由【解析】（1）由，得，函数的定义域为（2）根据（1）知：函数的定义域为 函数的定义域关于原点对称又，是上的偶函数【试题来源】人教版A版必修一第75页B组第4题【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断与的关系，进而判定
2、二考场精彩真题回放【2020年全国卷理数】设函数，则f(x)A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D【命题意图】本题考查函数奇偶性和单调性的判断。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在
3、实际生活中的应用【学科素养】数学运算、数学抽象【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难三理论基础解题原理考点一 对数与对数的运算性质（1）对数的定义如果（且），那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数（2）几种常见对数对数形式特点记法一
4、般对数底数为，且常用对数底数为10自然对数底数为2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：，（2）对数的运算法则：如果，且，那么：1；2；3 （2）换底公式：（均为大于零且不等于1，）；利用换底公式推导下面的结论（1）推广（2），特例：考点二 对数函数的定义函数，且叫做对数函数，其中是自量，函数的定义域是注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：，且考点三 对数函数图象与性质图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）当时，即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0，+）
5、上为增函数（5）在（0，+）上为减函数注：确定图中各函数的底数与1的大小关系提示：作一直线，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，四题型攻略深度挖掘【考试方向】1通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等考向1 对数运算性质的应用【2015高考安徽卷】_【答案】【解析】解法一：原式解法二：【温馨提醒】进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化
6、成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的考向2 求对数型函数的定义域、值域求下列函数的定义域、值域： （1）；（2） 【解析】（1） 所以函数的定义域为 所以函数的值域为（2） 或 所以函数的定义域为因为，即能取遍一切正实数，所以所以函数的值域为【温馨提醒】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数；（4）零次幂的底数不等于0考向3 对数函数的奇偶性【2015高考新课标理】若函数为偶函数，则_【答案】1【解析】由题知是奇函数，所以 ，解得【温馨提醒】此类试题主要表现为已知函
7、数的单调性求相关的参数，其思考方向：（1）利用定义域的对称性建立方程求参数；（2）利用定义或建立方程求参数；（3）若函数为奇函数，且在有定义，则利用求参数考向4 对数型函数的单调区间（单调性）【2018湖北省武汉调研】函数（）的单调递增区间是（ ）A B C D【答案】D【解析】由函数得，得或，根据题意，设，则，图象开口向上，因函数为单调增函数，由得： 也是增函数，又因在上是增函数，故的取值范围是，故选D【技能方法】复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数。考虑对数式函
8、数的单调性要注意函数的定义域。考向5 对数函数的单调性的应用若，则A B C D【答案】B【解析】，又，综上，选B【技能方法】比较两个对数值大小方法：（1）如果同底数或可转化为同底数的两个对数值的比较，只须确定其对应函数的单调性，利用真数的大小即可比较；（2）如果底数不同且不能转化为同底数的两个对数值，则此时可考虑引入一个中间数，间接比较这两个对数值的大小考向6 对数函数的最值（值域）函数的最小值为_【答案】【解析】，所以，当，即时，取得最小值【技能方法】与对数相关的函数的最值（值域）的常见三种求法：（1）对形如的函数的最值（值域）问题，可通过换元，然后配方求解，但需注意新的变量范围；（2）直
9、接利用对数函数的单调性求解，但需注意底数与单调性的关系；（3）形如可考虑利用基本不等式求解考向7 对数函数的图象过定点函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于0，则的最小值为（ ）A2B4C8D16【答案】C【解析】根据题意，有，所以有，所以 ，故选C【技能方法】指数函数恒过定点，则函数所过的定点可令求得横坐标，而纵坐标为，由此可得定点坐标考向8 对数型函数的图象识别【2020】海南海南中学、文昌中学下学期联考】函数满足，那么函数的图象大致是（ ）A B C D【答案】C【解析】函数的定义域为，可知选项为C【技能方法】对对数函数的图象识别考查主要有两种题型：（1）根据对数函数的图象确定
10、相关参数的值或函数的解析式；（2）根据函数的解析式确定对应的函数的图象考向9 对数函数图象的应用函数的零点个数为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】的零点，即为方程的根，亦即为函数与函数的交点横坐标，因此在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象可知零点个数为2个，选B【技能方法】在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要利用数形结合的思想来解决考向10 对数方程的解法【2017重庆上学期第一次诊断模拟】已知函数有两个不同的零点求的最值；证明： 【答案】（1），无最小值 （2）见解析【解析】 ， 有两个不同的零点， 在内必不单调，故，此时在上单增， 上单减，
11、无最小值 由题知，两式相减得，即故要证，即证，即证不妨设，令，则只需证设，则设，则 在上单减， 在上单增，即在时恒成立，原不等式得证【技能方法】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明五限时训练*提升素养1.【2020年全国卷理数】已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则AabcBbacC
12、bcaDcab【答案】A【解析】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.2.【2020年新高考全国卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着的增大而增大C若，则H(X)随着n的增大而增大D若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有
13、可能的取值为，且（）.由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC3.化简的结果是（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】原式.故选：C.4.（2020安徽省阜阳市）已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以故选：C5.（2020云南省昆明市高二上学期期末）函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】B【解析】当时，函数有意义，可排除A；当时，函数无意义，可排除D；又当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.6.（2020广东省高一期中）函数y=loga（x+4）-1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均
14、大于0，则的最小值为（）A2B6CD10【答案】C【解析】函数yloga（x+4）1（a0且a1）的图象恒过定点A，当x+41时，即x3，y1，则A（3，1），3mn+10，3m+n1，（3m+n）（）55+25+2，当且仅当nm时取等号，故最小值为5+2，故答案为:C7.（2020四川省江油市）已知函数，则（ ）A在单调递增B在单调递减C的图象关于直线对称D的图象关于点对称【答案】C【解析】对于函数，解得，则函数的定义域为，且，由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为增函数，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，A、B选项均错；，所以，函数的图象关于直线对称，C选项正
15、确；由上可知不恒为零，所以，函数的图象不关于点对称，D选项错误.故选：C.8.（2021届甘肃省甘谷县）设， ，则（ ）A2B2C4D4【答案】A【解析】设，定义域为，则，故，故，因为，故故选：A9.（2020江西省赣州市）函数，则函数的最大值与最小值的和为_.【答案】【解析】，令，设，其中，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值，即.当或时，函数取得最大值，即.因此，函数的最大值和最小值之和为.故答案为：.10.（2021辽宁省辽阳市高三联考）已知函数.（1）设函数，求的单调递减区间；（2）若函数的值域为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），令，解得或，则的定义域为函数(或)的增区间为，函数在定义域内是减函数，由复合函数的单调性得的单调递减区间为（2）的值域为，则的值域要包含.又，所以，得，即.