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1、第20题 函数零点的个数问题一题源探究黄金母题求函数的零点的个数【答案】1【解析】的定义域为由零点存在性定理知有零点又在上是单调递增函数，只有一个零点【试题来源】人教版A版必修1第88页例1【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性二考场精彩真题回放【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828是自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记x0为函数在上的零点，证明：（）；（）【解析】（）因为，所以在上存在零点因为，所以当时，故函数在上单调递增，所以函数
2、以在上有唯一零点（）（）令，由（）知函数在上单调递增，故当时，所以函数在单调递增，故由得，因为在单调递增，故令，令，所以故当时，即，所以在单调递减，因此当时，由得，因为在单调递增，故综上，（）令，所以当时，故函数在区间上单调递增，因此由可得，由得【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，也可以解答题的形式出现。考查基础知识的识记、理解与应用【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如直接求解，或数形结合转化为两个函数图象的交点
3、个数问题，或借助于导数研究函数的单调性，得到函数的零点个数三理论基础解题原理考点一 零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点考点二 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提；（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续） 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个； 若，那么在不一定有零点； 若在有零点，则不一定必须异号若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一考点三 函数的零点、方程的根、两图像交点之间的联系：设函数为，则的零点即为满足方程的根，若，则方程可转变为，即
4、方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化考点四 函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理；作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内；缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形；作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的
5、函数；缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合；作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围；缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡四题型攻略深度挖掘【考
6、试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小若涉及的函数为分段函数，则难度加大考向1 由两函数图象的交点判断零点个数若函数，则函数的零点个数是（ ）A5个 B4个 C3个 D2个【答案】D【解析】如图：函数与函数有2个交点，所以选D【温馨提醒】构造合适的函数，在同一坐标系内画两个函数的图象，由两图象的交点个数判断零点个数。考向2 分段函数零点个数判断已知函数 则函数的零点个数为 个【答案】【解析】的零点个数，即是方程的根的个数，也就是与的图象的交点个数，分别作出与的图象，如图所示，由图象知与的图象有两个交点，所以函数有个零点 【温馨提醒】有关分段函数的零点，要
7、准确的画出分段函数的图象。考向3 由零点个数求参数的范围定义域为的偶函数满足对，有，且当时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）A B C D 【答案】B【解析】体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差，联想到周期性，考虑先求出的值，由为偶函数，可令，得， ， 为周期是2的周期函数已知条件中函数有三个零点，可将零点问题转化为方程即至少有三个根，所以与有三个交点先利用在的函数解析式及周期性对称性作图，通过图像可得：时，不会有3个交点，考虑的图像设，则，利用图像变换作图，通过观察可得：只需当时，的图像在上方即可，即 所以【温馨提醒】本题有以下几个亮点：（1）的周期性的判定： 可猜想与周
8、期性有关，可带入特殊值，解出，进而判定周期，配合对称性作图；（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中，的图像可做，且可通过图像变换做出考向4 由函数单调性判断零点个数设函数fx=lnx-2x+6，则fx零点的个数为（ ）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】由题意可得f(x)=1x-2=1-2xx，导数零点为x=12，所以函数f(x)在(0,12)单调递增，在（12,+?）单调递减，f(1e10)=-4-2e100,f(e2)=8-2e20,由f(1e10)f(12)0,f(12)f(e2)0，所以函数f(x)在(1e10,12),(12,e2)各有
9、一零点，所以零点个数为2个，选B【技能方法】函数数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根考向5 零点的范围【2020年高考全国卷理数】设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直（1）求B（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1【解析】（1）依题意得，即.故（2）由（1）知，.令，解得或.与的情况为：x+00+因为，所以当时，只有大于1的零点.因为，所以当时，f（x）只有小于
10、1的零点由题设可知，当时，只有两个零点和1.当时，只有两个零点1和.当时，有三个等点x1，x2，x3，且，综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.【技能方法】函数数零点问题，要用导函数判断函数的单调性。五限时训练*提升素养1.（2020河北）函数的零点个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】当时，因为，所以函数此时单调递增，而，所以此时函数有唯一零点；当时，令， 解得，此时原函数的零点为函数零点，因此当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数在和各有一个零点，所以一共有3个零点.故选：C2.（2020陕西省）的图象是连续不间断的曲线，且有如下对应值1234
11、56124357414.556.7123.6则在区间上的零点至少有（ ）A2个B3个C4个D5个【答案】B【解析】由题意的图象是连续不间断的曲线，且，所以函数在区间、上均至少含有一个零点，所以在区间上的零点至少有3个.故选：B.3.（2019安徽省）已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，当时，所以在上单调递减，且，则.又，当时，的图象与的图象没有交点，不符合题意；当时，单调递增，则，则此时，的图象与的图象没有交点，也不符合题意；当时，单调递减，因为，所以的图象与的图象在有交点，则 ，即 ，解得.综上，的取值范围为.故选:A.4.已知函数在区间内有
12、唯一零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】函数在区间单调递增，且有唯一零点，即，解得：，故选：B5.若方程的根为，方程的根为，则的取值范围为（ ）A（0，1）B（1，+）C（1，2）D1，+）【答案】A【解析】由已知，得，在同一平面直角坐标系中画出函数，及的图象，如图所示，观察图象可知，即，两式相加，得，即. 故选：A6.（2020广东海珠）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，画出函数的图象如下图所示：恰有三个零点即有三个不同交点，即有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点即 所以可得所以选A7.（20
13、20云南）已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】如图，函数恰有三个零点，等价于方程，有三个解，即函数与函数的图象有三个交点，又有为过原点的直线由图可知，当时，函数的图象与函数的图象没有有三个交点，不满足条件.当时, 当且仅当为的切线的时候，方程恰有两个解，故而，令为的切线，设切点为，则切线的方程为，由于切线过原点，所以，即，此时直线的斜率为，由题意知，即.故答案为：8.（2020江西南昌）已知函数，若方程有两个实根为且，则实数的取值范围为_ .【答案】【解析】由化简得（），此方程有两个实根为且，所以.，化简得，函数在上递减，在上递增，当或时，；当时，所以，所以，也即的取值
14、范围是.故答案为：9.已知二次函数.(1)若是的两个不同零点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(2)设,函数,存在个零点.(i)求的取值范围;(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.【答案】(1) 不存在.理由见解析；(2) (i) (ii) 【解析】解:(1)依题意可知,.假设存在实数,使成立.因为有两个不同零点，.所以,解得.由韦达定理得所以解得,而,故不存在.(2)因为,设,则,当时,;当时,.(i)作出函数的图象，如图所示,所以. (ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.由,得由,得所以因为，所以当时，取得最大值.故的最大值为.10.（2020甘谷县）已知函数（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】（1）的对称轴为，所以在上单调递减，且函数在存在零点，所以即解得故实数的取值范围为（2）由题可知函数的值域为函数的值域的子集， 以下求函数的值域：时，为常函数，不符合题意；，解得；，解得综上所述，的取值范围为