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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 导数学问点总结 考试内容：导数的背影导数的概念 多项式函数的导数利用导数讨论函数的 单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）明白导数概念的某些实际背景 （2）懂得导数的几何意义 （3）把握函数, y=cc 为常数 、y=xnn N+的导数公式,会求多项式函 数的导数（ 4）懂得极大值、微小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、微小值及闭区间上的最大值和最小值（ 5）会利用导数求某些简洁实际问题的最大值和最小值学问要点：导数的概念 导数的几何意义、 物理意义导导数的运算常见函数的导数数导数的运算法就函数的单调
2、性导数的应用 函数的极值函数的最值名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 是函数yfx 定义域的一点,如 果 自变 量 x 在 x 处 有 增 量 x , 就函 数值 y 也 引起 相应 的增 量y f x 0 x f x 0 ；比值 y f x 0 x f x 0 称为函数 y f x 在点 x 到x xx0 x 之间的平均变化率； 假如极限 lim ylim f x 0 x f x 0 存在,就x 0 x x 0 x称函数 y f x 在点 x 处可导,并把这个极限叫做 y f
3、x 在 x 处的导数,记作 f x 0 或 y | x x 0,即 f x 0 = limx 0 yx limx 0 f x 0 xx f x 0 . 注： x是增量,我们也称为“ 转变量” , 由于 x 可正,可负,但不为零 . 以知函数 y f x 定义域为 A ,y f x 的定义域为 B ,就 A与 B 关系为A B . 2. 函数 y f x 在点 x 处连续与点 x 处可导的关系：函数 y f x 在点 x 处连续是 y f x 在点 x 处可导的必要不充分条件. 名师归纳总结 可以证明,假如yfx在点x 处可导,那么yfx点x 处连续 . x0fx 0.事实上,令xx0x,就xx
4、 0相当于x0. 于是lim x x 0fx lim x0fx0xlim x 0fxx0fx 0fx0lim x 0fx0xfx 0xfx0lim x 0fx0x fx0lim x0lim x0fx0fx00fxx假如yfx点x 处连续,那么yfx在点x 处可导,是不成立的 . 例：fx |x|在点x00处连续,但在点x00处不行导,由于y|x|,xx当x0 时,y1；当x 0 时,y1,故lim x0y不存在 . xxx第 2 页,共 5 页注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
5、3. 导数的几何意义：函数yfx 在点x 处的导数的几何意义就是曲线x0,yfx在点x 0,fx 处的切线的斜率,也就是说,曲线yfx 在点 P fx 处的切线的斜率是f x 0,切线方程为yy0fxxx0.4. 求导数的四就运算法就：uvuvuyf1xf2x.fnxyf1xf 2x .f nxuvvuvvcv cvcvcv（c为常数）uvu2uv0vv注： u, 必需是可导函数 . 如两个函数可导,就它们和、差、积、商必可导；如两个函数均不可导,就它们的和、差、积、商不肯定不行导. 在x0处均不行导,例如：设fx 2sinx2,gx cosx2,就fx ,gx xx但它们和fx g x y
6、uuxsinxcosx在x0处均可导 . 5. 复合函数的求导法就：f xxfux或yx复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数fyfx在某个区间内可导,假如f x0,就yfx 为增函数；假如 x0,就yfx为减函数 . 常数的判定方法；名师归纳总结 假如函数yfx 在区间 I 内恒有f x =0,就yfx为常数 . 第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：fx0是 f（x）递增的充分条件, 但不是必要条件, 如y2 x3在 , 上并不是都有 f x 0,有一个点例外即 x=0
7、时 f （x） = 0,同样 f x 0 是 f （x）递减的充分非必要条件 . 一般地,假如 f （x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正（或负）,那么 少）的 . f （x）在该区间上仍然是单调增加（或单调减7. 极值的判别方法：（极值是在 x 邻近全部的点,都有 f x f x 0 ,就 f x 0 是函数 f x 的极大值,微小值同理）当函数 f x 在点 x 处连续时,假如在 x 邻近的左侧 f x 0,右侧 f x 0,那么 f x 0 是极大值；假如在 x 邻近的左侧 f x 0,右侧 f x 0,那么 f x 0 是微小值 . 也就是说 x 是极值点的充分条件是 x 点
8、两侧导数异号,而不是f x =0 . 此外,函数不行导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念, 极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同）. 注： 如点 x 是可导函数 f x 的极值点, 就 f x =0. 但反过来不肯定成立. 对于可导函数, 其一点 可导,就导数值为零 . x 是极值点的必要条件是如函数在该点例如：函数yfxx3,x0使f x =0,但x0不是极值点 . 例如：函数yfx |x|,在点x0处不行导,但点x0是函数的微小值点. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - -
9、 - - - - 8. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较 . 注：函数的极值点肯定有意义 . 9. 几种常见的函数导数：名师归纳总结 I.C0（ C 为 常 数 ）sinx cosx第 5 页,共 5 页arcsinx 11x2cosxsinxxnnxn1（nR）arccosx11x2logax1logaeII. lnx1xxarctanxx11axaxlna2exexarccotx x11a2.xan两边同取自然对2III. 求导的常见方法：常用结论：ln|x|1. x形如yxa1xa2.xan或yxa 1xxb 1xb 2.xbn数,可转化求代数和形式. xx取自然对数之后可变形为无理函数或形如yxx这类函数,如ylnyxlnx,yyxxlnxxx. 对两边求导可得ylnxx1yylnxyx- - - - - - -