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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2 . 某技术小组有 12 人,他们的性别和职称如下,现要产生一名幸运者；试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率： 1女性；2工程师；3女工程师,4女性或工程师；并说明几个运算结果之间有何关系？序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 性别男男男女男男女男女女男男职称工程师技术员技术员技术员技术员工程师工程师技术员技术员工程师技术员技术员解: 设 A女性, B工程师, AB女工程师, A+B 女性或工程师1PA4/12 1/3 2PB4/12 1/3 3PAB 2/12 1/6 4PA+B PA PB PAB1/3 1/3 1/
2、6 1/2 3. 向两个相邻的军火库发射一枚导弹,假如命中第一个和其次个军火库的概率分别是 0.06 、0.09 ,而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸；试求炸毁这两个军火库的概率有多大；解：此题考查互斥大事的概率,是一个基础题, 解题的关键是看清晰军火库只要一个爆炸就可以,所以知军火库爆炸是几个大事的和大事4. 某项飞碟射击竞赛规定一个碟靶有两次命中时机即答应在第一次脱靶后进行其次次射击；某射击选手第一发命中的可能性是 80,其次发命中的可能性为 50；求该选手两发都脱靶的概率；解:设 A第 1 发命中； B命中碟靶；求命中概率是一个全概率的运算问题；再利用对立事件的概率
3、即可求得脱靶的概率；PBPAPB|AP AP B|A或解法二 ：P脱靶 P第 1 次脱靶 5. 已知某产品的合格率是 而对不合格品进行检查时,98%,现有一检查系统, 它能以 0.98 的概率精确的判定出合格品,有 0.05 的可能性判定错误, 该检查系统产生错判的概率是多少？6. 有一男女比例为51:49 的人群,始终男人中5%是色盲,女人中0.25%是色盲,现随机抽中了一个色盲者,求这个人恰好是男性的概率？解：A 1抽到男性,A 2抽到女性；B抽到色盲PBPA1PBA1PA2PBA20.510.050.490.00250. 026725PA1B PA1PBA10.510.050.95416
4、3PB0.0267257. 消费者协会经过调查发觉,某品牌空调器有重要缺陷的产品数显现的概率分布如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 依据这些数值,分别运算：1有 2 到 5 个包括 2 个与 5 个在内空调器显现重要缺陷的可能性；2只有不到 2 个空调器显现重要缺陷的可能性；3有超过 5 个空调器显现重要缺陷的可能性；解： 离散型随机变量的概率分布8. 已知某地区男子寿命超过55 岁的概率为84,超过 70 岁以上的概率为63%；试求任一刚过 55 岁生日的男
5、子将会活到70 岁以上的概率为多少？解:设 A活到 55 岁, B活到 70 岁；所求概率为：P B|A P ABP B0.630.75P AP A 0.849. 某企业决策人考虑是否采纳一种新的生产治理流程；据对同行的调查得知,采纳新生产治理流程后产品优质率达 95的占四成,优质率维护在原先水平即 80%的占六成；该企业利用新的生产治理流程进行一次试验,所生产 5 件产品全部到达优质；问该企业决策者会倾向于如何决策？解:这是一个运算后验概率的问题；设 A优质率达95, A 优质率为80, B试验所生产的5 件全部优质；PA 0.4,P A 0.6,PB|A5, PB| A 5,所求概率为：P
6、A|BPAPPAPB|AB|A0.309510 . 6115B|APAP0. 50612决策者会倾向于采纳新的生产治理流程；10. 某公司从甲、 乙、丙三个企业选购了同一种产品,选购数量分别占总选购量的25、30和 45；这三个企业产品的次品率分别为 试问：1抽出次品的概率是多少？的概率是多少？4、5、3；假如从这些产品中随机抽出一件,2假设发觉抽出的产品是次品,问该产品来自丙厂解: 令 A1、A2、A3 分别代表从甲、 乙、丙企业选购产品, B 表示次品； 由题意得： PA10.25,PA20.30, PA30.45； PB|A10.04,PB|A20.05,PB|A3 0.03；因此,所求
7、概率分别为：1P BP A 1PB|A 1P A 2P B|A 2P A 3P B|A 3 2P A 3 | B 0.25 0.0400.30 . 45 00.05 . 030.45 0.0300 .013503850 . 350611. 某人在每天上班途中要经过 3 个设有红绿灯的十字路口；设每个路口遇到红灯的大事是相互独立的, 且红灯连续 24 秒而绿灯连续 36 秒；试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差；解: 据题意,在每个路口遇到红灯的概率是 p 24/24+36 0.4；设途中遇到红灯的次数X ,因此, X B3,0.4；其概率分布如下表：名师归纳总结 - -
8、- - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - xi0 1 2 3 PX= xi 期望值均值1.2次,方差 0.72,标准差 0.8485次12. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000 人,据测算被保险人一年中的死亡率为万分之 5；保险费每人50 元；假设一年中死亡,就保险公司赔付保险金额：50000 元；试求未来一年该保险公司将在该项保险中这里不考虑保险公司的其它费用1至少获利50 万元的概率；2亏本的概率；3支付保险金额的均值和标准差；解:设被保险人死亡数X,XB20000 ,0.0005 ； 1收入 20000 50元 100 万元；要获
9、利至少50 万元,就赔付保险金额应当不超过 50 万元,等价于被保险人死亡数不超过10 人；所求概率为：PX 10 0.58304 ；2当被保险人死亡数超过 PX201PX20 人时,保险公司就要亏本；所求概率为：3支付保险金额的均值50000 EX 50000 20000 0.0005元 50万元支付保险金额的标准差50000 X 50000 20000 0.99951/2158074元13. 对上述练习题的资料,试问：1可否利用泊松分布来近似运算？2可否利用正态分布来近似运算？3假设投保人只有5000 人,可利用哪种分布来近似运算？解: 1可以； 当 n 很大而 p 很小时, 二项分布可以
10、利用泊松分布来近似运算；本例中, = np=20000 0.0005=10,即有 XP10 ；运算结果与二项分布所得结果几乎完全一样；2也可以；尽管p 很小,但由于n 特别大, np 和 np1-p都大于 5,二项分布也可以利用正态分布来近似运算；本例中, np=20000 0.0005=10,np1- p=20000 1- 0.0005=9.995 ,即有 X N10,9.995；相应的概率为：PX 10.5 , PX20.5 0.853262；可见误差比较大这是由于 P 太小,二项分布偏斜太严峻；【注】 由于二项分布是离散型分布,而正态分布是连续性分布,所以,用正态分布来近似运算二项分布的
11、概率时,通常在二项分布的变量值基础上加减 0.5 作为正态分布对应的区间点,这就是所谓的“连续性校正 ” ；3由于 p0.0005,假设 n=5000,就 np2.53=1-PX 3=1-PX=0+PX=1+PX=2+PX=3 16. 某企业生产的某种电池寿命近似听从正态分布,且均值为 200 小时,标准差为 30 小时；假设规定寿命低于 150 小时为不合格品； 试求该企业生产的电池的： 1合格率是多少？ 2电池寿命在 200 左右多大的范畴内的概率不小于 0.9 ；解: 1P X 150 P Z 150 200 P Z 1 . 6667 30合格率为 1- 0.95221 或 95.221
12、 ；2 设所求值为K,满意电池寿命在200 K 小时范畴内的概率不小于0.9 ,即有：P|X200 |KP |Z |X200 |K0.93030即：P ZK0.95,K/30 5, 故 K49.3456；3017.某公司打算对职员增发“ 销售代表” 奖,方案依据过去一段时间内的销售状况对月销售额最高的 5%的职员发放奖金； 已知这段时间每人每月的平均销售额元听从均值为4000、方差为 360000 的正态分布,那末公司应当把“ 销售代表” 奖的最低发放标准定为多少？解：18. 一个具有 n 64 个观看值的随机样本抽自于均值等于 给出 x 的抽样分布重复抽样的均值和标准差20、标准差等于16
13、的总体； 描述 x 的抽样分布的外形；你的答复依靠于样本容量吗？ 运算标准正态z 统计量对应于x15.5的值； 运算标准正态z 统计量对应于x23的值；解: 已知 n=64,为大样本,=20, =16,在重复抽样情形下,x 的抽样分布的均值为a. 20, 2 b. 近似正态c. -2.25 d. 1.50 19. 参考练习 18 题求概率； x 23； x 25； . x 落在 16 和 22 之间； x 14；解: a. 0.0228 b. 0.0668 c 20. 一个具有 n 100 个观看值的随机样本选自于 30 、16 的总体；试求以下概率的近似值：解: a. 0.8944 b. 0
14、.0228 c 名师归纳总结 21. 一个具有n900个观看值的随机样本选自于100 和10的总体；第 4 页,共 6 页 你估计 x 的最大值和最小值是什么？ 你认为 x 至多偏离多么远？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为了答复 b 你必需要知道 吗？请说明；解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必22. 考虑一个包含 x 的值等于 0,1,2, ,97,98,99 的总体；假设 x 的取值的可能性是相同的；就运用电脑对下面的每一个 n 值产生 500 个随机样本,并对于每一个样本运算 x ；对于每一个样本容量,构造 x 的 500 个值的相
15、对频率直方图；当 n值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相像性？这里 n 2 , n 5 , n 10 , n 30 和 n 50；解:趋向正态23. 美国汽车联合会 AAA 是一个拥有 90 个俱乐部的非营利联盟,它对其成员供应旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务；1999 年 5 月, AAA 通过对会员调查得知一个4 口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213 美元旅行新闻 Travel News,1999 年 5 月 11 日；假设这个花费的标准差是 15 美元,并且 AAA 所报道的平均每日消费是总体均值； 又假设选取 49 个 4 口之家, 并对其在 1999 年 6
16、 月期间的旅行费用进行记录； 描述 x 样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费的抽样分布；特殊说明 x 听从怎样的分布以及 x 的均值和方差是什么？证明你的答复； 对于样本家庭来说平均每日消费大于 213 美元的概率是什么？大于 217 美元的概率呢？在 209 美元和 217 美元之间的概率呢？24. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验；每袋的平均重量标准为 406 克、标准差为 10 . 1 克；监控这一过程的技术人者每天随机地抽取 36 袋,并对每袋重量进行测量；现考虑这 36 袋奶粉所组成样本的平均重量 x ；1描述 x 的抽样分布,并给出 x和 x的值,以及概率分布的外形；（3）假设某一
17、天技术人员观看到 x 400 8.,这是否意味着装袋过程出现问题了呢,为什么？解： a. 406, 1.68, 正态分布 b. 0.001 c. 是,由于小概率显现了25. 某制造商为击剑运发动生产安全夹克,这些夹克是以剑锋刺入其中时所需的最小力气以牛顿为单位来定级的；假如生产工艺操作正确,就他生产的夹克级别应平均 840牛顿,标准差 15 牛顿；国际击剑治理组织FIE 期望这些夹克的最低级别不小于 800牛顿；为了检查其生产过程是否正常,某检验人员从生产过程中抽取了 50 个夹克作为一个随机样本进行定级,并运算 x ,即该样本中夹克级别的均值；她假设这个过程的标准差是固定的,但是担忧级别均值
18、可能已经发生变化； 假如该生产过程仍然正常,就 x 的样本分布为何？ 假设这个检验人员所抽取样本的级别均值为 830 牛顿,就假如生产过程正常的话,样本均值 x 830 牛顿的概率是多少？ 在检验人员假定生产过程的标准差固定不变时,你对 b 部分有关当前生产过程的现状有何看法即夹克级别均值是否仍为 840 牛顿？ 现在假设该生产过程的均值没有变化,但是过程的标准差从 15 牛顿增加到了 45 牛顿；在这种情形下 x 的抽样分布是什么？当 x 具有这种分布时,就 x 830 牛顿的概率是多少？解： a. 正态 b. 约等于 0 c 26. 在任何生产过程中,产品质量的波动都是不行防止的；产品质量
19、的变化可被分成两类：由于特殊缘由所引起的变化例如,某一特定的机器,以及由于共同的缘由所引起的变化例如,产品的设计很差；一个去除了质量变化的全部特殊缘由的生产过程被称为是稳固的 或者是 在统计控制中的；剩余的变化只是简洁的随机变化；假设随机变化太大,就治理部门不能接受,但只要排除变化的共同缘由,便可削减变化Deming,1982,1986;De Vor, Chang, 和名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - Sutherland,1992；通常的做法是将产品质量的特点绘制到掌握图上,然后观看这些数值随时间如何变动；例如,为
20、了掌握肥皂中碱的数量,可以每小时从生产线中随机地抽选 n 5 块试验肥皂作为样本,并测量其碱的数量,不同时间的样本含碱量的均值 x 描画在以下图中；假设这个过程是在统计掌握中的,就 x 的分布将具有过程的均值,标准差具有过程的标准差除以样本容量的平方根,x3n；下面的掌握图中水平线表示过程均值,两条线称为掌握极限度,位于的上下x的位置；假设x 落在界限的外面,就有充分的理由说明目前存在变化的特殊缘由,这个过程肯定是失控的；当生产过程是在统计掌握中时,肥皂试验样本中碱的百分比将听从2%和1%的近似的正态分布；假设n4,就上下掌握极限应距离多么远？ 假设这个过程是在掌握中,就 x 落在掌握极限之外
21、的概率是多少？ 假设抽取样本之前,过程均值移动到 3 %,就由样本得出这个过程失控的正确的结论的概率是多少？解：b. 0.0026 c 3x这一限度更为严格的掌握极限；特殊地,当加26；肥皂公司打算设置比练习中所述的工过程在掌握中时,公司情愿接受x 落在掌握极限外面的概率是；名师归纳总结 假设公司仍想将掌握极限度设在与均值的上下距离相等之处,并且仍方案在每小时第 6 页,共 6 页的样本中使用n4个观看值,就掌握极限应当设定在哪里？现在是 3%而不是 2%；假设 a 部分中的掌握极限已付诸实施,但是公司不知道,假设n4,就 x 落在掌握极限外面的概率是多少？假设n9呢？- - - - - - -