2022年统计学第三章.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 集中量教学目的 : 通过本章学习,同学们应懂得集中量 .算术平均数 .中位数 .众数 .几何平均数等基本概念, 明白各种集中量指标的优缺点和用途,标的运算方法；并娴熟把握各种集中量指统计表和统计图只是简明 .概括.直观的反映了一组数据的分布特点,这对于 统计分析仍是不够的； 为了进一步分析讨论, 比较精确地把握一组数据的分布特征,仍需运算出反映一组数据分布特点的统计量,【如】：集中量 .差异量等；集中量：是表示一组数据典型水平或集中趋势的量；集中量是一组数据整体水平的代表量； 不同群体间同学成果比较时,需要用集中量指标； 常用的集中量指

2、标有算术平均数 .中位数 .众数 .加权平均数 .几何平均数和调和平均数；第一节 算术平均数一、算术平均数的概念1.算术平均数 ：是一组数据的总和除以数据的总个数所得之商,简称为平均数或均值,一般用X 表示；.31XX NX 表示一组数据的总和, N 表示数据的个数；2.算术平均数有以下几个特点：1一组数据的总和等于该组数据的个数与该组数据平均数的乘积；由XX,很简单得出XNXN2各个数据与平均数的离差和等于零,即1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - XX0XXXXXNXXX03假设一组数据由假设干个部分组成,就这

3、组数据的平均数可由各部分平均数合并而得；XNNaNbXaXbbXbNaXaNbXbXXXaNNaNNaNb二、算术平均数的运算方法1.原始数据运算法利用定义公式运算；【如】：5 名同学的外语成果为： 79.62.84.90.71,就这 5 名同学的外语平均成果为：XX796284907177.2N52.频数分布表运算法我们以 40 名同学的数学成果频数分布表为例,说明其运算方法；分数60表40 名同学数学分数频数分布表8085657075f6 8 12 5 5 4 Xc 就Xc为各组的组中值可看作各组f 数据的平均数 .f 为各组组频数, N= f,XfXcfXc3 .2fN留意 ：公式 3.

4、2 的规律意义；表 3.1 40 个分数的平均数为：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - XfXcN662.58675.12725.577.55825.4875.73.440注： 组中值 Xc 的值一般统计表中不标出,运算时需同学们自己确定；三、算术平均数的优缺点一算术平均数的优点 1.反映灵敏；2.严密确定；3.简明易懂,运算便利；4.适合代数运算；5.受抽样变动影响较小；二算术平均数的缺点 1.易受两极端值的影响；2.某个数据模糊不清时,就无法运算算术平均数；注： 算术平均数是应用最广的一个集中量指标；其次节 中位

5、数一、中位数的概念 中位数 ：是位于按肯定大小次序排列的一组数据中心位置的那个数,在它上 下各有一半频数分布着中位数用 Md 表示；二、中位数的运算方法一原始数据运算法 利用原始数据运算时,要留意数据的个数是奇数仍是偶数；1、当数据个数N 为奇数时,中位数就是第N21那个数；【如】：81.84.89.90.93；这组数据的中位数就是 Md=89；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.当数据个数 N 为偶数时,中位数为中心位置上两个数据的平均数；即第N 与第 2N1两个数的平均数；2【如】：81,84,89,90

6、,93,95；这组数据的中位数为： Md=89+90留意 ：在运算中位数时,第一是将数据按大小次序排列；二频数分布表运算方法利用频数分布表运算中位数有两种方法：1.是按由小到大的方向运算 二者的原理是一样的,我们以由小到大的方向运算来分析；分数表50 个英语分数的频数分布表累积频数频数 f855 50 12 45 807520 33 7010 13 653 3 1确定中位数所在组表要求Md,第一由N确定Md都在的组；哪一组的累计频数略大于N,Md 就是在那一组；223 2. 中N25,75这一组的累计频数为33,略大于N,Md 就是在那一组；222确定中位数所在组所取多少个频数与频数的距离 M

7、d 的值确定大于该组的下限 Lmd,也就是 Md 的值是在 Lmd的值上再加上 肯定的数值,那么该加多少呢？i就我们从表中可知,75这一组的组频数fmd =20,这一组的起止范畴为755,假定这组的20 个数据是匀称分布的,那么每个数据所占的距离为5,用字母写成fi；20md我们知道Md位于第N处,即第25 个数据,而Md所在组的下限有13 个数据（用n 1表示）,2Md的值应为在下限Lmd 上加上（Nn 1）i2f md4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3求出中位数 从上述分析中我们可以得出：MdLmdNn

8、1fi3.32md注：.Lmd 为中位数所在组的下限；.n1 为与 Lmd相邻的那一组的累积频数；.fmd为 Md 所在组的组频数；.i 为组距；表中 50 分数的中位数为：MdLmd50Nn 1fi2md7513578220值；利用公式运算中位数时,关键是要确定 Md 所在组以及 Lmd.fmd和 n1 的2.是按由大到小的方向运算同理,我们可得出按由大到小的方向运算Md 的公式 ：MdUmdNn2fi3.42md与公式不同的是 Umd 为 Md 所在组的上限,n2 为上限 Umd以上各组频数总和；在表中, Umd=80,n2=17,fmd=20. MdUmdN 2n 2fi80（50 25

9、md17）20783.特别情形：完全对称条件下的运算由小到大,如某一组的累计频数恰好等于N,就该组的上限就是Md；25 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三.百分位数的概念及其运算方法1.百分位数的概念百分位数 ：是指位于按大小次序排列的一组数中某一百分位置的数据；常用Pp 表示；【如】：第 80 百分位数 P80,假定 P80=78,它的含义是指在一组数据中,比 78 小的数据个数占数据总个数的 80%,而大于 78 的数据个数占数据总数的 20%中位数也是一个百分位数 ；2.百分位数的运算方法百分位数运算原理与

10、中位数相同；其运算公式为：PpLppNnip35.fPp表示百分位数, p 表示百分位, N 为总频数, Lp表 Pp所在组的下限, n 为小于 Lp 的频数总和, fp 表为 Pp 所在组的组频数, i 为组距；利于公式运算频数分布表中的百分位数的解题过程可分为：1由 pN 确定 Pp所在组；2依据 Pp 所在组确定 fp.Lp 和 n；3将 fp.Lp和 n.i 代入公式运算；【例】：求下面频数分布表的第 80 百分位数；表 60 个外语分数的频数分布表分数 6570758085f 8 14 20 10 8 cf 8 22 42 52 60 注：cf 为累计频数；解：由 80% 60=48

11、 知 P80在 80这一组；Lp=80,fp=10,n=42,i=5 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - P 80LppNn ifp80 08.604251083四、中位数的优缺点优点 ：简明易懂,运算便利,不受两极端值的影响；缺点 ：受抽样变动影响较大,反应不灵敏,不适合代数运算；第三节 众数一、众数的概念众数 ：是指一组数据中次数显现最多的那个数 用 M0 表示 ；二、众数的运算方法1.用观看法查找 M 0【如】：在 60,70,65,65,71,65,62 这组数据中, 65 是显现次数最多的一个数,因而这

12、组数的 M0=65；2.用公式求众数1皮尔逊的体会法在近似正态时：M03Md2XMd78 ,X77 .23 6.在教案表3 .3 中,表3 .3 的M03Md2X79 .62金氏插补法当频数呈偏态时可用金氏插补法；M0MLM0fafafbi组频数；fb为与M0 .7频数；fa为0所在组上限相邻那组的所在下限相邻的那组的7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用金氏公式运算表33. 的M0：M0LM0fafafbi7510577. 11014注： 表频数分布不对称,应以金氏法运算结果为准；三.众数的优缺点 优点 ：简明

13、易懂,运算便利,不受两极端值影响；缺点 ：反应不灵敏,受分组影响较大,易受抽样变动的影响；四、X、Md、M0三者的关系.三者的关系与数据的分布形状有关 1正态时：XMdM02正偏态：XMdM0调和平均数3 负偏态时：XMdM04微偏态时：XMd13XM0皮尔逊的体会公式：M03Md2X（由此而来）；第四节加权平均数几何平均数一.加权平均数 加平均数 ：是指重要性不同的数据的平均数；1.当总权数为 1 时,运算公式可表示为XWW 1X1W2X2WNXN.3 8 W 为权数 ；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例

14、题】：某校规定期中考试成果占40%,期末占 60%,同学 A 的期中成果为 90 分,期末成果为 70 分,就该生的学期总平均成果为：XWW 1X1W 2X20.49006.70782.当总权数不等于 1 时XWWX3.9.W【例】：某中学初一年级语文测验；一班 48 人的平均分为 82 分,二50 人的平均分为 79 分,就全年级的平均分为：XWW 1X1W 2X24882507980.5W 1W 24850二.几何平均数 几何平均数 ：是 N 个数据连乘积的 N 次方根；XgNX1X2XN.3 10 1.X 是原始数据中后一数据与前一个数的比；2.N 是 X 的个数,而不是原始数据的个数；

15、3、Xg是平均进展比；平均增长率,即Xg1；4、训练实践中常用的是【如】：某学校近三年的教学经费如以下图,问该学校近年来教学经费的年 平均增长率是多少？单位：元年份2000 2001 2002 经费11,000 18,000 23,000 X 解：1.求 X后一年与前一年的经费比 ,结果如上表中第行；2.求平均进展比；XgX1X2.1 641 . 281 . 459 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.X11 . 4510 . 45该学校教学经费的年平均增率为 45% 注：当 N 大于 3 时,可用对数运算参看教材 ；三、调和平均数 自学调和平均数 ：是一组数据的倒数的算术平均的倒数；XH11）1 N11N（3. 11）1（N111111、XX2XNXX为单位工作量所用时间；X2、11 X为单位工作量平均所用时间；N3、111平均单位时间的工作量；NX调和平均数一般用来求平均速度；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页