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1、2 . 某技术小组有12 人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：1女性； 2工程师；3女工程师，4女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 性别男男男女男男女男女女男男职称工程师技术员技术员技术员技术员工程师工程师技术员技术员工程师技术员技术员解: 设 A女性， B工程师， AB女工程师， A+B 女性或工程师1P(A)4/12 1/3 2P(B)4/12 1/3 3P(AB)2/12 1/6 4P(A+B) P(A) P(B) P(AB)1/3 1/3 1/6 1/2 3. 向两个相
2、邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是0.06 、0.09 ， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。解：此题考查互斥事件的概率，是一个基础题， 解题的关键是看清楚军火库只要一个爆炸就可以，所以知军火库爆炸是几个事件的和事件4.某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中时机即允许在第一次脱靶后进行第二次射击 。某射击选手第一发命中的可能性是80，第二发命中的可能性为50。求该选手两发都脱靶的概率。解:设 A第 1 发命中。 B命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。)|()(
3、)|()()(ABPAPABPAPBP 或解法二 ：P(脱靶 )P(第 1次脱靶 ) 5. 已知某产品的合格率是98%， 现有一检查系统， 它能以 0.98 的概率准确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有 0.05 的可能性判断错误，该检查系统产生错判的概率是多少？6. 有一男女比例为51:49 的人群，一直男人中5%是色盲，女人中0.25%是色盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率？7. 消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下：954163.0026725.00.050.51P(B)A()P(A)P(A026725.00.00250.49
4、0.050.51)A()P(A)A()P(AP(B)111221121BPBBPBPBAA抽到色盲抽到女性。抽到男性，解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 根据这些数值，分别计算：1有 2到 5 个包括2 个与 5 个在内空调器出现重要缺陷的可能性。2只有不到2 个空调器出现重要缺陷的可能性。3有超过5 个空调器出现重要缺陷的可能性。解： 离散型随机变量的概率分布8. 已知某地区男子寿命超过55 岁的概率为84，超过70 岁以上的概率为63%。试求任一刚过 55
5、岁生日的男子将会活到70 岁以上的概率为多少？解:设 A活到 55 岁， B活到 70 岁。所求概率为：()()0.63(|)0.75()()0.84P ABP BP BAP AP A9. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95的占四成，优质率维持在原来水平即80%的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产 5 件产品全部到达优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？解:这是一个计算后验概率的问题。设 A优质率达95，A优质率为80， B试验所生产的5 件全部优质。P(A) 0.4，P(A)0.6，P(B|A5， P(B
6、|A5，所求概率为：6115.050612.030951.0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP决策者会倾向于采用新的生产管理流程。10. 某公司从甲、 乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25、30和 45。这三个企业产品的次品率分别为4、5、3。如果从这些产品中随机抽出一件，试问： 1抽出次品的概率是多少？2假设发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少？解: 令 A1、 A2、 A3分别代表从甲、 乙、丙企业采购产品， B 表示次品。 由题意得： P(A1)0.25，P(A2)0.30， P(A3)0.45； P(B|A1)
7、0.04，P(B|A2)0.05，P(B|A3) 0.03；因此，所求概率分别为：1)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP23506.00385.00135.00.030.450.050.300.040.2503.045.0)|(3BAP11. 某人在每天上班途中要经过3 个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的， 且红灯持续24 秒而绿灯持续36 秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。解: 据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p 24/(24+36) 0.4。设途中遇到红灯的次数X，因此， X B(3，0.
8、4)。其概率分布如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页xi0 1 2 3 P(X= xi) 期望值均值1.2次，方差 0.72，标准差 0.8485次12. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000 人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之 5。保险费每人50 元。假设一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000 元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中这里不考虑保险公司的其它费用：1至少获利50 万元的概率；2亏本的概率；3支付保险金额的均值和标准差。解:设被保险人死亡数X，XB(20000 ，0.0005
9、) 。 1收入 2000050元 100 万元。要获利至少50 万元，则赔付保险金额应该不超过 50 万元，等价于被保险人死亡数不超过10 人。所求概率为：P(X 10) 0.58304 。2当被保险人死亡数超过20 人时，保险公司就要亏本。所求概率为：P(X20)1P(X3支付保险金额的均值50000E(X) 5000020000 0.0005元 50万元支付保险金额的标准差50000 (X) 50000(20000 0.9995)1/2158074元13. 对上述练习题的资料，试问：1可否利用泊松分布来近似计算？2可否利用正态分布来近似计算？3假设投保人只有5000 人，可利用哪种分布来近
10、似计算？解: 1可以。 当 n 很大而 p 很小时， 二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中， = np=20000 0.0005=10，即有 XP(10) 。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。2也可以。尽管p 很小，但由于n 非常大， np 和 np(1-p)都大于 5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。本例中， np=200000.0005=10，np(1- p)=20000 (1- 0.0005)=9.995，即有 X N(10,9.995)。相应的概率为：P(X 10.5) ， P(X 20.5) 0.853262。可见误差比较大这是由于P 太小，二项分布偏斜太严重。【注
11、】 由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5 作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正 ” 。3由于 p0.0005，假设 n=5000，则 np2.53)=1-P(X 3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 16. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200 小时，标准差为30 小时。假设规定寿命低于150 小时为不合格品。 试求该企业生产的电池的： 1 合格率是多少？ 2电池寿命在200 左右多大的范围内的概率不小于0.9 。解: 1)6667.1(
12、)30200150()150(ZPZPXP合格率为1- 0.95221 或 95.221 。(2) 设所求值为K，满足电池寿命在200K 小时范围内的概率不小于0.9 ，即有：|200 |(|200 |)|0.93030XKPXKPZ 即：0.9530KP Z，K/30 5, 故 K49.3456。17.某公司决定对职员增发“销售代表”奖，计划根据过去一段时间内的销售状况对月销售额最高的5%的职员发放奖金。 已知这段时间每人每月的平均销售额元服从均值为4000、方差为 360000 的正态分布，那末公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为多少？解：18. 一个具有64n个观察值的随机样本抽自
13、于均值等于20、标准差等于16 的总体。 给出x的抽样分布重复抽样的均值和标准差 描述x的抽样分布的形状。你的答复依赖于样本容量吗？ 计算标准正态z统计量对应于5.15x的值。 计算标准正态z统计量对应于23x的值。解: 已知n=64，为大样本，=20， =16，在重复抽样情况下，x的抽样分布的均值为a. 20, 2 b. 近似正态c. -2.25 d. 1.50 19. 参考练习18 题求概率。x23； x25； .x落在 16 和 22 之间；x14。解: a. 0.0228 b. 0.0668 c 20. 一个具有100n个观察值的随机样本选自于30、16的总体。试求以下概率的近似值：解
14、: a. 0.8944 b. 0.0228 c 21. 一个具有900n个观察值的随机样本选自于100和10的总体。 你预计x的最大值和最小值是什么？ 你认为x至多偏离多么远？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页 为了答复 b 你必须要知道吗？请解释。解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必22. 考虑一个包含x的值等于0，1，2，97，98，99 的总体。假设x的取值的可能性是相同的。则运用电脑对下面的每一个n值产生 500 个随机样本，并对于每一个样本计算x。对于每一个样本容量，构造x的 500 个值的相对频
15、率直方图。当n值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里30,10,5,2nnnn和50n。解:趋向正态23. 美国汽车联合会AAA 是一个拥有90 个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999 年 5 月， AAA 通过对会员调查得知一个4 口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213 美元 旅行新闻Travel News，1999 年 5 月 11 日 。假设这个花费的标准差是15 美元，并且AAA 所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49 个 4 口之家， 并对其在 1999 年 6 月期间的旅行费用进行记录。描述x样本家庭平
16、均每日餐饮和住宿的消费的抽样分布。特别说明x服从怎样的分布以及x的均值和方差是什么？证明你的答复；对于样本家庭来说平均每日消费大于213 美元的概率是什么？大于217 美元的概率呢？在 209 美元和 217 美元之间的概率呢？24. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为406克、标准差为1.10克。监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36 袋，并对每袋重量进行测量。现考虑这36 袋奶粉所组成样本的平均重量x。1描述x的抽样分布，并给出x和x的值，以及概率分布的形状；（3）假设某一天技术人员观察到8 .400 x， 这是否意味着装袋过程出现问题了呢，为什么？解：a. 40
17、6, 1.68, 正态分布b. 0.001 c. 是，因为小概率出现了25. 某制造商为击剑运发动生产安全夹克，这些夹克是以剑锋刺入其中时所需的最小力量以牛顿为单位来定级的。如果生产工艺操作正确，则他生产的夹克级别应平均840牛顿，标准差15 牛顿。国际击剑管理组织FIE希望这些夹克的最低级别不小于800牛顿。为了检查其生产过程是否正常，某检验人员从生产过程中抽取了50 个夹克作为一个随机样本进行定级，并计算x，即该样本中夹克级别的均值。她假设这个过程的标准差是固定的，但是担忧级别均值可能已经发生变化。如果该生产过程仍旧正常，则x的样本分布为何？假设这个检验人员所抽取样本的级别均值为830 牛
18、顿，则如果生产过程正常的话，样本均值x 830 牛顿的概率是多少？在检验人员假定生产过程的标准差固定不变时，你对 b 部分有关当前生产过程的现状有何看法即夹克级别均值是否仍为840 牛顿？现在假设该生产过程的均值没有变化，但是过程的标准差从15 牛顿增加到了45 牛顿。在这种情况下x的抽样分布是什么？当x具有这种分布时，则x830 牛顿的概率是多少？解：a. 正态b. 约等于 0 c 26. 在任何生产过程中，产品质量的波动都是不可防止的。产品质量的变化可被分成两类：由于特殊原因所引起的变化例如，某一特定的机器，以及由于共同的原因所引起的变化例如，产品的设计很差。一个去除了质量变化的所有特殊原
19、因的生产过程被称为是稳定的或者是在统计控制中的。剩余的变化只是简单的随机变化。假设随机变化太大，则管理部门不能接受，但只要消除变化的共同原因，便可减少变化Deming,1982,1986;De Vor, Chang,和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页Sutherland,1992 。通常的做法是将产品质量的特征绘制到控制图上，然后观察这些数值随时间如何变动。例如，为了控制肥皂中碱的数量，可以每小时从生产线中随机地抽选5n块试验肥皂作为样本，并测量其碱的数量，不同时间的样本含碱量的均值x描绘在以下图中。假设这个过程是
20、在统计控制中的，则x的分布将具有过程的均值，标准差具有过程的标准差除以样本容量的平方根，nx。下面的控制图中水平线表示过程均值，两条线称为控制极限度，位于的上下3x的位置。假设x落在界限的外面，则有充分的理由说明目前存在变化的特殊原因，这个过程一定是失控的。当生产过程是在统计控制中时，肥皂试验样本中碱的百分比将服从%2和%1的近似的正态分布。假设,4n则上下控制极限应距离多么远？假设这个过程是在控制中，则x落在控制极限之外的概率是多少？假设抽取样本之前，过程均值移动到%3，则由样本得出这个过程失控的正确的结论的概率是多少？解：b. 0.0026 c 26。肥皂公司决定设置比练习中所述的x3这一限度更为严格的控制极限。特别地，当加工过程在控制中时，公司愿意接受x落在控制极限外面的概率是。假设公司仍想将控制极限度设在与均值的上下距离相等之处，并且仍计划在每小时的样本中使用4n个观察值，则控制极限应该设定在哪里？假设 a部分中的控制极限已付诸实施，但是公司不知道，现在是 3% 而不是2% 。假设4n，则x落在控制极限外面的概率是多少？假设9n呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页