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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问专题三 数列与极限一、挑选题共 10 小题,每题 3 分,共 30 分1假如 -1 ,a, b,c ,-9 成等比数列,那么Ab=3, ac=9 B. b=-3, ac=9 C. b=3, ac=-9 D. b=-3, ac=-9 2在等差数列a n 中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13 ,就 a 4 +a 5 +a 6 等于3 06 广东卷 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,就其公差为A.5 B.4 C. 3 D. 2 a3 bc10,就 a4假设互不相等的实数a b c 成等差数列,c
2、a b 成等比数列,且A4 B2 C 2 D 4 a 1OAa 200OC,且 A、5 06 江西卷 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,假设O BB、C三点共线该直线不过原点O,就 S200A100 B. 101 6理科做 06 湖南卷数列 a 满意 :a 11, 且对于任意的正整数m,n 都有a m na ma ,3就lim na 1a2a n 3也是等比数列,就S 等A.1 2 B.2 C.32文科做 在等比数列a n中,a 12,前 n 项和为S ,假设数列a n1于A.n 212B. 3nC. 2nD. 3n180, 就7 设a n是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 ,
3、假 设a 1a 2a 315,a a a 3a 11a 12a 13A120 B 105 C 90 D 758 06 全国 II 设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,假设S31 3,就S6S6S12A.3B.1C.1D.110389a 、1b ,9已知等差数列an 中,a2+a8=8,就该数列前9 项和 S9 等于 A.18 B.27 C.36 1006 天津卷 已知数列a n、b n都是公差为1 的等差数列,其首项分别为名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 且a 1b 15,a 1,b 1N*设cnab nnN*
4、,就数列c n的前 10 项和等于 A55 B70 C85 D100 二、填空题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分1106 广东在德国不来梅举办的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“ 正三棱锥”形的展品, 其中第 1 堆只有 1 层,就一个球；第 2,3,4,堆最底层第一层分别按图4 所示方式固定摆放,从其次层开头,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第 n层就放一个乒乓球,以f n 表.f n _答案用 n表示 .示第 n 堆的乒乓球总数,就f3_；12假设数列an满意：a1,1an12an.n1,2,3 . 就a 1a2an1306 江苏对正整数 n,
5、设曲线yxn 1x在 x2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为a ,就数列 an 的前 n 项和的公式是n 1114理科做 数列2的前 n 项和为 Sn,就4n1nlim Sn_ 文科做 设S 为等差数列a n的前 n 项和,S 14,S10S 30,就 S9. 15 06浙江 设S 为等差数列an的前 n 项和,假设S 510 ,S 105,就公差为用数字作答 ；16 在数列 an中,假设 a1=1,an+1=2an+3 n1,就该数列的通项 an=_. 三、解答题共 4 小题,每题 4 分,共 24 分17假设 S 是公差不为 n 0 的等差数列 a n 的前 n项和,且 S S S 成等比数
6、列 1 2 4求数列 S S S 的公比；S =4,求 a n 的通项公式；1806 四川 数列 a n 的前 n 项和记为 S a 1 1, a n 1 2 S n 1 n 1求 a n 的通项公式； 等差数列 nb 的各项为正, 其前 n 项和为 T ,且 T 3 15,又 a 1 b a 2 b a 3 b 3成等比数列,求 T n1906 湖北 已知二次函数 y f x 的图像经过坐标原点,其导函数为 f 6 x 2,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列 a n的前 n 项和为S ,点 , n S nnN均
7、在函数yf x 的图像上；、求数列 a n的通项公式；N都、设b n11,T 是数列 b n的前 n 项和,求使得T nm对全部n20a a n成立的最小正整数m；an .20 理 科 做 06江 西 已 知 数 列 an 满 足 ： a1 3 2, 且2a3na n1（n1 n 1n2,nN）（1）求数列 an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,不等式 a1.a2. an 2.n！文科做06 福建 已知数列a n满意a 11,a 23,a n23a n12annN*I证明：数列a n1a n是等比数列；II求数列a n的通项公式；II假设数列nb满意4b 114b 21 .4b n1a
8、n1b nnN*,证明b n是等差数答案与点拨：1 B 解：由等比数列的性质可得 相同,故 b 3,选 B ac 1 9 9,b b9 且 b 与奇数项的符号2 B 解：在等差数列a n中,已知a 12, a 2a 313, d=3, a5=14,a 4a 5a =3a5=42,6选 B. 3 D 解：5 a 1 20 d 15d 3,应选 C. 5 a 1 25 d 304 D 解：由互不相等的实数 a b c 成等差数列可设 abd,cbd,由 a 3 b c 10 可得 b2,所以 a 2d,c2d,又 c a b 成等比数列可得 d6,所以 a 4,选 D 5 A 解：依题意, a1a
9、2001,应选 A 6 理 A 解 析 ： 数 列 a n 满 足 : a 1 1, 且 对 任 意 正 整 数 m, n 都 有3a m n a m a n a 2 a 1 1 a 1 a 1 1,a n 1 a n a 1 1a ,数列 a n 是首项为 1 ,公比9 3 3名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为1 的等比数列；3lim na1a2an1a 1q1,选 A. 2文 C 解：因数列 a n 为等比,就 a n 2 q n 1,因数列 a n 1 也是等比数列,2 2 a n 1 1 a n 1 a n
10、 2 1 a n 1 2 a n 1 a a n 2 a n a n 2 a n a n 2 2 a n 1就a n 1 q 2 2 0 q 1即 a n 2,所以 S n 2 n ,故挑选答案 C；7 B 解：a n 是公差为正数的等差数列,假设 a 1 a 2 a 3 15,a a a 1 2 3 80,就 a 2 5,aa 1 3 5 d 5 d 16, d=3,a 12 a 2 10 d 35,a 11 a 12 a 13 105 ,选 B. 8 A 解:由等差数列的求和公式可得 S 3 3 a 1 3 d 1, 可得 a 1 2 d 且 d 0S 6 6 a 1 15 d 3所以 S
11、 6 6 a 1 15 d 27 d 3,应选 A S 12 12 a 1 66 d 90 d 10点评：此题主要考察等比数列的求和公式 ,难度一般9 a 1 a 9 9 C 解： 在等差数列 an 中, a2+a8=8,a 1 a 9 8,就该数列前 9 项和 S9= =36,2选 C 10 C 解：数列 a n 、 b n 都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为 a 、 1 b ,且 a 1 b 1 5,* *a 1, b 1 N 设 c n a b nn N,就 数 列 c n 的 前 10 项 和 等 于a b 1 a b 2 a b 10 = a b 1 a b 1 1 a b
12、1 9,a b 1 a 1 b 1 1 4,a b 1 a b 1 1 a b 1 9= 4 5 6 13 85 ,选 C. n n 1 n 2 11 f 3 10,f n 6n12 2 1 解：数列 a n 满意：a 1 1, a n 1 2 a n , n 1,2,3 ,该数列为公比为 2 的等n比数列,a 1 a 2 a n 2 12 n1 . 2 113 2 n+1-2 点拨：此题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前 n 项和的公式解：yn nx1 nn 1 x ,曲线 y=xn1-x 在 x=2 处的切线的斜率为k=n2n-1-n+12n名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 切点为 2, -2n,所以切线方程为y+2n=kx-2, 令 x=0 得 an=n+12n,令 bn=an12n. 数列nan1的前 n 项和为 2+2 2+23+ +2n=2n+1-2 n解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时,要第一判定所经过的点为切点；否就简单出错；14 理12 解：a n4n 121（2n ）（1 1. 2n ）1 （12 2n 112n 11）故 S n a 2 a n （ 11 1） （1 11） 1（11）2 3 2 3 5 2 2n1 2n1 （ 11 111 11）2 3 3
14、 5 2n1 2n1 （ 12 12n 11）limS n nlim n 12（ 2n 11）12文解： 设等差数列 a n 的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4 a 1 4 4 1 d 14 ,210 10 1 7 7 1 9 9 1 10 a 1 d 7 a 1 d 30,联立解得 a1=2,d=1 ,所以 S99 2 1 542 2 215 1 点拨： 此题考查等差数列的前 n 项和,基础题；解：设首项为 a ,公差为 d ,由题得5 a 1 10 d 10 a 1 2 d 29 d 4 d 1 4 d 110 a 1 45 d 5 2 a 1 9 d 1反思： 数学问题解决的本质是
15、,你已知什么？从已知动身又能得出什么？完成了这些,或许水到渠成了；此题特别基础,等差数列的前 n 项和公式的运用自然而然的就得出结论；16 2 n 13 解 ： 在 数 列 a n 中 , 假 设 a 1 1, a n 1 2 a n 3 n 1, a n 1 3 2 a n 3 n 1,即 a n 3 是以 a 1 3 4 为首项, 2 为公比的等比数列,n 1 n 1 n 1a n 3 4 2 2,所以该数列的通项 na 2 3 . 217 解：设数列 a n 的公差为 d ,由题意,得 S 2 S S 4所以 2 a 1 d 2a 1 4 a 1 6 d ,由于 d 0,所以 d 2 a
16、 1,故公比 q S 2 4S 1由于 S 2 4, d 2 a S 2 2 a 1 2 a 1 4 a 1 ,所以 a 1 1, d 2,因此 a 2 a 1 n 1 d 2 n 1.点拨：此题主要考察等差、等比数列的基本学问、考查运算及推理 才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18解 ： 由a n12S n1可 得a n2S n11n2, 两 式 相 减 得a n1a n2 a a n13 a nn2b 25又a 22 S 113a 23 a 1故a n是首项为 1,公比为 3 得等比数列nan 31设nb的
17、公比为 d由T 315得,可得b 1b 2b 315,可得故可设b 15d b 35d2又a 11,a 23,a 39由题意可得5d15d953解得d 12,d210等差数列b n的各项为正,d0d2T n3 nn n12n22n2点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础学问,以及推理才能与运算才能；19 解： 设这二次函数fxax2+bx a 0 ,就 fx=2ax+b, 由于 fx=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以 fx3x 22x. 又由于点 , n S n n N 均在函数 y f x 的图像上,所以 S 3n 22n. 当 n2 时,anSnSn13n 22n（n 1 2
18、 2 n 16n5. 当 n1 时, a1S13 1 226 15,所以, an6n5 n N 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由得知bnan316n5 31 511561 1,an6n26 nn故 T nnib1 1 1 1 1 . 1 11 11. i 1 2 7 7 13 6 n 5 6 n 1 2 6 n 1因此,要使 1 11 m n N 成立的 m,必需且仅须满意 1 m ,即2 6 n 1 20 2 20m10,所以满意要求的最小正整数 m 为 10. 20理解：1将条件变为：1n1（ 1 n1）,因
19、此 1n为一个等比数列,a n 3 a 1 a n其首项为n1a 1113,公比13,从而 1a nn3 1n,据此得 ann3 n .31n 1 12证：据 1 得, a1.a2. ann！（ ）（ 1 12） （ 1n）3 3 3为证 a1.a2. an 2.n！只要证 n N 时有（ 1）（ 12） （ 1n）1 23 3 3 2明显,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n N ,有（ 1）（ 12） （ 1n） 1112 1n 33 3 3 3 3 3用数学归纳法证明 3 式：（i ）n1 时, 3 式明显成立,（ii ）设 nk 时, 3 式成立,即（ 1）（ 12） （ 1k）
20、1112 1k3 3 3 3 3 3就当 n k1 时,（ 1 1）（ . 1 12） （. 11k）（ . 1 k 11） 1112 1k.1k 113 3 3 3 3 3 3 31112 1kk 1k 1112 1k3 3 3 3 3 3 3 31112 1kk 1即当 nk1 时, 3 式也成立；3 3 3 3故对一切 n N ,3 式都成立；利用 3 得,（ 13）（ 3 12） （13 1n） 1133 12 3 1n11 （ ）311 13 n3名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11 （121）n1 （1
21、 12 3）n1322故 2 式成立,从而结论成立；列；文解： 本小题主要考查数列、不等式等基本学问,考查化归的数学思想方法,考查综合解题才能；I证明：a n 2 3 a n 1 2 a n ,a n 2 a n 1 2 a n 1 a n ,a 1 1, a 2 3,a n 2 a n 1 2 n N *.a n 1 a na n 1 a n 是以 a 2 a 1 2 为首项, 2 为公比的等比数列；n *II 解：由 I得 a n 1 a n 2 n N ,a n a n a n 1 a n 1 a n 2 . a 2 a 1 a 1n 1 n 22 2 . 2 1n *2 1 n N .
22、III 证明：4 b 1 14 b 2 1.4 b n 1 a n 1 , b4 b 1 b 2 . b n 2 nb n ,2 b 1 b 2 . b n n nb n , 2 b 1 b 2 . b n b n 1 n 1 n 1 b n 1 . ,得 2 b n 1 1 n 1 b n 1 nb n ,即 n 1 b n 1 nb n 2 0. nb n 2 n 1 b n 1 2 0. ,得 nb n 2 2 nb n 1 nb n 0,即 b n 2 2 b n 1 b n 0,*b n 2 b n 1 b n 1 b n N ,b n 是等差数列；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页