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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高名师精编优秀资料中数学基本学问 基本思想 基本方法一、集合与简易规律 1.必需弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值？仍是因变量 的取值？仍是曲线上的点？；2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角 坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题,关键要看能否判定真假,陈述句、反诘问句都是 命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判定命题的真假要以真值表为依据；原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,一真俱真, 一假俱
2、假, 当一个命题的真假不易判定时,可考虑判定其等价命题的真假；5.判定命题充要条件的三种方法： （1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判定,如 A B,就 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；如 A=B ,就 A 是 B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系 A B B A 判定,对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题,一般运用等价法；6.（1）含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n,真子集（非空子集）个数为 2 n1；（2）A B A B A A B B ;（3）C I A B C I A C I B , C I A B C I A C I B ;二、函数 : 争论
3、函数的问题肯定要留意定义域优先的原就；1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 如已知 fx 的定义域为a,b,其复合函数 fgx的定义域由不等式agxb 解出即可；如已知fgx 的定义域为 a,b,求fx 的定义域,相当于 xa,b时,求 gx的值域（即（2）复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定；2.函数的奇偶性（1）如 fx 是偶函数,那么fx=f x=f x; fx 的定义域）；名师归纳总结 （2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；fx 1（fx第 1 页,共 17 页（3）判定函数奇偶性可用定义的等价形式：fx f-x=0 或f x - - - - - - -精选学
4、习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料 0）; 4如所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判定其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）1证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像 C1 与 C2的对称性, 即证明 C1 上任意点关于对称中心 （对称 轴）的对称点仍在 C2上,反之亦然；（3）曲线 C1：fx,y=0, 关于 y=x+ay=x+a的对称曲线 C2 的方程为 fya,x+a=0或 fy+a,x+a=0; （4）曲线
5、C1:fx,y=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2 方程为：f2ax,2by=0; （5）如函数 y=fx 对 xR 时, fa+x=fax恒成立,就 y=fx图像关于 直线 x=a 对称；（6）函数 y=fx a与 y=fbx的图像关于直线 x=a2b对称；4.函数的周期性 1y=fx 对 xR 时,fx +a=fx a 或 fx2a =fx a0恒成立 ,就 y=fx 是周期为 2a 的周期函数；（2）如 y=fx 是偶函数,其图像又关于直线x=a 对称,就 fx 是周期为 2a的周期函数；（3）如 y=fx 奇函数,其图像又关于直线x=a 对称,就 fx 是周期为 4a的周期函数；（4
6、）如 y=fx 关于点 a,0,b,0对称,就 fx 是周期为 2ab的周期函数；（5）y=fx 的图象关于直线 x=a,x=ba b对称,就函数 y=fx 是周期为2ab的周期函数；f1,就 y=fx 是周期（6）y=fx 对 xR 时, fx+a=fx 或 fx+a= x 为 2 a 的周期函数；名师归纳总结 5.方程 k=fx 有解kDD 为 fx 的值域 ；第 2 页,共 17 页6.afx a fx max,; afx a fx min; 7.（1）logabloganbna0,a 1,b0,nR +; 2 l og a N=logbN a0,a 1,b0,b 1; logba- -
7、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料3 l og a b 的符号由口诀“ 同正异负” 记忆 ; 4 a log a N= N a0,a 1,N0 ; 8.能娴熟地用定义证明函数的单调性,求反函数,判定函数的奇偶性；9.判定对应是否为映射时, 抓住两点：（1）A 中元素必需都有象且唯独；（2）B 中元素不肯定都有原象,并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；10.对于反函数,应把握以下一些结论： （1）定义域上的单调函数必有反函 数；（2）奇函数的反函数也是奇函数； （3）定义域为非单元素集的偶函数 不存在反函数 ;（4）周期函数不存在反
8、函数； （5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性； 5 y=fx 与 y=f-1x互为反函数, 设 fx 的定义域为 A,值域为 B,就有 ff-1x=xx B,f-1fx=xx A. 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求 最值问题用 “ 两看法” ：一看开口方向； 二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法： （1）分别参数法；（2）转化为一元二次方程的 根的分布列不等式 组求解；13.依据单调性, 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：f u yg x uh x 0 或0）aubxfa0 或 0fa0 0；fbfb14
9、.把握函数axbabac bac0 ;ycc0 的图象和性质；xcxcx函yxaa0）axbabacy数xcxcxb ac 0 定,0 ,0,cc,义域值,a a ,2a2a,域奇偶非奇非偶函数奇函数性名师归纳总结 单当 b-ac0时: 在,a,a,上第 3 页,共 17 页分别在单调递增；,c,c,上单调调递减；在a ,0 , 0 ,a上单调当 b-ac0时: 递增；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性分别在c,名师精编优秀资料,c,上单调递增；图Y=a y X=-c X y x 象o o 三、数列1.由 Sn求 an,an=S 1nS n1n2,n
10、N*留意验证 a1 是否包含在后面 an 的S n1公式中,如不符合要单独列出； 一般已知条件中含 均可考虑用上述公式；an与 Sn的关系的数列题2.等差数列ananan1dd为常数）n2anan1nan1 nn2,nN*ananbs nAn2Bn；Naa 1q1-;3.等比数列anan2an-1an1n2,4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题,转化为解不等式an100或an100解决；aann5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 前 n 项和公式时,勿忘分类争论思想；n 项和公式,在用等比数列6.等差数列中 , am=an+ nmd, dama
11、n; 等比数列中, an=amq n-m; mnq=nman; am7.当 m+n=p+q（m、n、p、qN）时,对等差数列 an有：am+an=ap+aq；对等比数列 an有： aman=apaq；8.如an 、b n 是等差数列,就 ka n+bbnk 、b、a 是非零常数 是等差数列；名师归纳总结 如a n 、b n 是等比数列,就 kan、anbn 等也是等比数列；第 4 页,共 17 页9.等差（或等比）数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列”（如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a
12、8+a9 ）仍是等差（或等比）数列；10.对等差数列 an,当项数为 2n 时,S 偶S 奇nd；项数为 2n1 时, S 奇S偶a中（nN* ）；11.如一阶线性递归数列an=kan1+b（k 0,k 1）,就总可以将其改写变形成如下形式 :ankb1kan1kb1n2,于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；四、三角函数 弧度制 长度等于半径的弧的弧所对的圆心角的大小是 量角的制度叫做弧度制；1 弧度,这种以弧度作单位来度 弦长、圆心角、半径的关系 扇形圆心角的弧度数为 0 0,b0时要符合“ 一正二定三相等”；留意均值不等式的一些变形,如a22b2a2b2;aba2b2；七、直线和圆的方
13、程 1.设三角形的三个顶点是A（x1,y1）、Bx 2,y2、C（x3,y3）,就ABC 的重心G 为（x 1x2x 3,y 1y 2y 3）；332.直线 l1:A 1x+B1y+C1=0 与 l 2: A 2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A 1A2+B1B2=0；3.两条平行线 Ax+By+C 1=0 与 Ax+By+C 2=0 的距离是dC12C22；2AB4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件：A=C 0 且 B=0 且 D2+E4AF0；5.过圆 x 2+y2=r2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为： x0x+y0y=r2; 6.以 Ax 1,y
14、2、Bx 2,y2为直径的圆的方程是 xx1xx2+yy1yy2=0; 7.求解线性规划问题的步骤是： （1）依据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域,写出目标函数； （3）确定目标函数的最优位置,从而获 得最优解；八、圆锥曲线方程2 2 1. 双曲线 x 2 y 2 1（a0,b0）的渐进线方程为 a b2.抛物线焦半径公式：设 P（x0,y0）为抛物线 y2 2 x 2 y 2 0；a b 2=2pxp0上任意一点, F为焦点,就 PF x 0 p；y 2=2pxp0上任意一点, F 为焦点,就2pPF x 0；23.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；4.共渐进线 y ba x
15、的双曲线标准方程为 xa 22b y2 2 为参数, 0）；5.运算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,一般地,如斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB, A、B 两点分别为 Ax 1,y1、Bx 2,y2,就弦长名师归纳总结 AB1k2x2x 1 1k2x1x224x 1x2第 8 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料1 12 y 2 y 1 1 12 y 1 y 2 2 4 y 1 y 2 ,这里表达明白析几何“ 设k k而不求” 的解题思想；6.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 2 b 2,焦准距为 p= b 2 ,
16、抛物线的通径a c2 2为 2p,焦准距为 p; 双曲线 x2 y2 1（a0,b0）的焦点到渐进线的距离a b为 b; 7.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax 2+Bx 21；8.抛物线 y 2=2pxp0的焦点弦（过焦点的弦）为 AB ,A（x 1,y1）、Bx 2,y2,2就有如下结论：（1） AB x1+x2+p;（2）y1y2=p 2,x1x2= p ; 429.对于 y 2=2pxp 0抛物线上的点的坐标可设为（y 0 ,y0）,以简化运算 ; 2 p10.处理椭圆、 双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 Ax 1,y1、2 2Bx 2,y2为椭圆 x
17、2 y2 1（ab0）上不同的两点, Mx 0,y0是 AB 的中点,a b就 K ABK OM= b ；对于双曲线 2 x2 y2 1（a0,b0）,类似可得：2 2a a b2K AB.K OM= b2；对于 y 2=2pxp 0抛物线有 K AB2 pa y 1 y 211.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 Fx,y0,是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先依据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法） ：如动点 Px,y依靠于另一动点 Qx
18、1,y1的变化而变化,并且 Qx1,y1又在某已知曲线上,就可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某已知曲线的定义,就可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将 x、y 均用一中间变量 （参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程；九、直线、平面、简洁几何体1.从一点 O 动身的三条射线 OA、OB、OC,如AOB= AOC,就点 A 在名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - -
19、- - - - - - - 名师精编 优秀资料平面 BOC 上的射影在 BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角 M AB N 中, AE M,BFN,EAB=1,ABF=2,异面直线 AE 与 BF 所成的角为,就coscos1cos2;3.立平斜公式：如图, AB 和平面所成的角是1,AC 在平面内, AC 和 AB的射影 AB 成2,设 BAC=3,就 cos1cos2=cos3；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中挑选一特殊点,线；作另一条的平行（2）补形法： 把空间图形补成熟识的或完整的几何体,如正方体、平行六 面体、长方体等,其目的在于简洁发觉两条异面直
20、线间的关系；5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的 垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影；通常通过斜线上某个特殊点作 出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要仔细观看图形的特性；（2）三垂线法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两 个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与
21、棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式 S射S原 cos ,其中 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角；特殊:对于一类没有给出棱的二面角,应先延长两个半平面,使之相交出 现棱,然后再选用上述方法（特殊要考虑射影法）；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离, 高考要求是给出公垂线, 所以一般先利用垂直 作出公垂线,然后再进行运算；（2）求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离, 一是用垂面法, 借助面面垂直的性质来作, 因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利 用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记
22、为,就 S侧cos =S 底；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料,因此9.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为2 有 cos2 +cos2 +cos=1; 如长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,就有 cos 22 +cos2 +cos=2; 十、排列组合和概率1.排列数公式 :m A =nn-1n-2 n-m1=nn .mn,m、nN*, 当 m=nm时为全排列n A =nn-1n-2 3.2.1; m311（mn）,C0Cn1；2.组合数公式：Cmm A n
23、mn n1mnnnnm .m12 23.组合数性质：CmCnm;CrCr1Cr1；nnnnn4.常用性质： n.n.=n+1.-n.; 即nA n nA n n1A n n;C r rC r r1C n rC r r1;（111rn）; 5.二项式定理：（1）把握二项绽开式的通项：T r1Cranrbrr,1,0 2 ,.,n ;n（2）留意第 r1 项二项式系数与第 r1 系数的区分；6.二项式系数具有以下性质：1 与首末两端等距离的二项式系数相等；2 如 n 为偶数,中间一项（第 n 1 项）的二项式系数最大； 如 n 为奇数,2中间两项（第 n 1 和 n 11 项）的二项式系数最大；2
24、 2（3）C n 0C 1n C n 2C n n 2 n ; C n 0C n 2C 1n C n 3 2 n 1 ;7.Fx=ax+b n 绽开式的各项系数和为 f1;奇数项系数和为1 f 1 f 1 ；偶数项的系数和为 1 f 1 f 1 ；2 28.等可能大事的概率公式： （1）P（A）n ；（2）互斥大事分别发生的概m率公式为： PA+B=PA+PB ；（3）相互独立大事同时发生的概率公式为PAB PAPB；（4）独立重复试验概率公式Pnk=Ckpk 1p nk;5n假如大事 A、B 互斥,那么大事 A 与 B 、A 与 B 及大事 A 与 B 也都是互斥名师归纳总结 - - - -
25、 - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料大事；（6）假如大事 A、B 相互独立,那么大事A、B 至少有一个不发生的概率是 1P（AB） 1PAPB；（6）假如大事 A、B 相互独立,那么大事 A、B 至少有一个发生的概率是1P（ AB ）1P A P B ；十一、极限1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数 nn0 kn0时成立； 2假设 n=k 时成立,从而证明当n=k+1 时命题也成立,（3）得出结论；数学归纳法是一种完全归纳法,其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础,其次步是
26、递推的依据,二者缺一不行；其次步证明时要一凑假设,二凑结论；2. 数列极限（ 1）把握数列极限的直观描述性定义； （2）把握数列极限的四就运算法就,留意其适用条件：一是数列anb n 的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和（或积）,应先求和（或积） ,再求极限；（3）常用的几个数列极限：nlim C C（ C为常数）；limn 1n 0,limn q n0（ a 1,q 为常数） ; 4无穷递缩等比数列各项和公式 S n lim S n1 a 1 （0q q 1）; lim1 n 1n ne十、复数1.懂得复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数
27、的概念和复数的几何表示；2.娴熟把握、 敏捷运用以下结论： 1a+bi=c+di a=c且 c=da,b,c,dR;2复数是实数的条件： z=a+biR b=0 a,bR;zR z=z ;zR z 20; 3.复数是纯虚数的条件 : z=a+bi 是纯虚数 纯虚数 z z 0（z 0）;z 是纯虚数a=0 且 b 0a,bR; z 是 z 20; 4.解答复数问题,要学会从整体的角度动身去分析和求解（整体思想贯穿 整个复数内容）；假如遇到复数就设 z=a+bia,bR,就有时会给问题的解答 带来不必要的运算上困难,如能把握住复数的整体性质,充分运用整体思 想,就能事半功倍；5.复数的代数形式及
28、其运算： （1）复数的加、减、乘、除运算按以下法就 进行,设 z1= a + bi , z2 = c + di a,b,c,dR ; z 1z2 = a + b c + di. z1.z2 = a+bic+di（ ac-bd）+ ad+bcI ; z1 z2 = ac 2 bd 2 bc 2 ad 2 i z2 0 ; c d c d6.几个重要的结论：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1z 1z 22z 1z 222 z 12z 22名师精编z优秀资料3 如z 为虚数,就z2z2;2zz2z2;6.运算律仍旧成立：（1）z mz nz m n; 2 z