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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 基本学问篇一、集合与简易规律1.争论集合问题,肯定要抓住集合的代表元素,如：x|ylgx与y|ylgx及x ,y|ylgx2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题,关键要看能否判定真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判定命题的真假要以真值表为依据；原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判定时,可考虑判定其等价命题
2、的真假；5.判定命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判定,如 A B,就 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；如 A=B ,就 A 是 B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系 A B B A 判定,对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题,一般运用等价法；6.（ 1）含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n ,真子集（非空子集）个数为 2 n 1；（2）A B A B A A B B ;（3）C I A B C I A C I B , C I A B C I A C I B ;二、函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：如已知 f
3、x 的定义域为 a,b,其复合函数 fgx 的定义域由不等式 agxb 解出即可；如已知 fgx 的定义域为 a,b, 求 fx 的定义域,相当于xa,b时,求 gx的值域（即 的原就；fx 的定义域）；争论函数的问题肯定要留意定义域优先（2）复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定；2.函数的奇偶性 x; （1）如 fx 是偶函数,那么fx=f x=f（2）如 fx 是奇函数, 0 在其定义域内,就（3）判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f00（可用于求参数） ；fx f-x=0 或fx 1（fx 0）; f x 4 如所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判定其奇偶性；（5）奇函数在对称的单
4、调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）1 证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像 C1 与 C2的对称性,即证明 C1 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 C2 上,反之亦然；（3）曲线 C1：fx,y=0, 关于 y=x+ay=-x+a 的对称曲线 C2的方程为 fy a,x+a=0 或 f y+a,x+a=0; （4）曲线 C1:fx,y=0 关于点（ a,b）的对称曲线C2方程为： f2ax,2by=0; 名师归纳总结 （5）如函数 y=fx 对 xR 时, fa
5、+x=fa x 恒成立,就y=fx 图像关于直线x=a 对称；第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （6）函数 y=fx a与 y=fb x的图像关于直线x=a2b对称；4.函数的周期性1y=fx 对 xR 时, fx +a=fx a 或 fx 2a =fx a0 恒成立 ,就 y=fx 是周期为 2a 的周期函数；（2）如 y=fx 是偶函数, 其图像又关于直线（3）如 y=fx 奇函数,其图像又关于直线x=a 对称,就 fx 是周期为 2a的周期函数；x=a 对称,就 fx 是周期为 4a的周期函数；（4）如 y=fx 关于点 a
6、,0,b,0 对称,就 fx 是周期为 2ab的周期函数；ab的周期函（5） y=fx 的图象关于直线x=a,x=ba b对称,就函数y=fx 是周期为 2数；（6）y=fx 对 xR 时,fx+a= fx 或 fx+a= f1,就 y=fx 是周期为 2 a 的周期函x数；5.方程 k=fx 有解kDD 为 fx 的值域 ；a fx min; 6.afx 恒成立a fx max,; afx 恒成立n7.（ 1）log a b log a n b a0,a 1,b0,nR+; 3 l og a b 的符号由口诀“ 同正异负” 记忆 ; 4 a2 l og a N= log b N a0,a 1
7、,b0,b 1; log b a log a N = N a0,a 1,N0 ; 8.能娴熟地用定义证明函数的单调性,求反函数,判定函数的奇偶性；9.判定对应是否为映射时,抓住两点：（1）A 中元素必需都有象且唯独；（2）B 中元素不肯定都有原象,并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；10.对于反函数,应把握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数； （ 3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 ;（ 4）周期函数不存在反函数； （5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；5 y=fx 与 y=f-1x 互为反函数,设 fx 的定义域为 A,值
8、域为 B,就有 ff-1x=xx B,f-1fx=xx A. 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“ 两看法” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法： （1）分别参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式 组求解；13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：f u g x uh x 0或0 aub af a 0（或f a 0）；0）f b 0f b 014.把握函数yax bab ac x cb ac0;yxa0的图象和性质；x cx函数yaxbabacb ac 0 yxa
9、axcxcx定义 域,cc,0 0 ,aa,2a2a,值域奇偶非奇非偶函数奇函数性名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 单调当 b-ac0 时:分别在,c,c,上单调递在,a,a,上单调递性减；,c,c,上单调递增；a ,0 , ,0a上单调递减；当 b-ac0,b0时要符合“ 一正二定三第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相等” ；留意均值不等式的一些变形,如a22b2a2b2;aba2b2；七、直线和圆的方程1.设三角形的三顶点是y2A（x 1,y1）、B
10、x 2,y2、C（x3,y3）,就 ABC 的重心 G 为（x 1x 2x3,y 1y3）；332.直线 l1:A 1x+B 1y+C 1=0 与 l2: A 2x+B 2y+C 2=0 垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0；3.两条平行线Ax+By+C 1=0 与 Ax+By+C 2=0 的距离是dC12C22；2+E24AF0 ；AB4.Ax 2+Bxy+Cy5.过圆 x 2+y 2=r2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为：A=C 0 且 B=0 且 D x 0x+y 0y=r 2; 6.以 Ax 1,y2、Bx 2,y2为直径的圆的方
11、程是xx1xx 2+y y 1y y2=0; 7.求解线性规划问题的步骤是：（1）依据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域,写出目标函数； （3）确定目标函数的最优位置,从而获得最优解；八、圆锥曲线方程2 21.椭圆焦半径公式： 设 P（x0,y0）为椭圆 x2 y2 1（ab0）上任一点,焦点为 F1-c,0,F 2c,0,a b就 PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0（e 为离心率）；2 22.双曲线焦半径公式：设 P（x 0,y0）为双曲线 x2 y2 1（a0,b0）上任一点,焦点为a bF1-c,0,F 2c,0,就:（1）当 P 点在右支上时,PF 1 a
12、ex 0 , PF 2 a ex 0；（2）当 P 点在左支上时,PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0；（e 为离心率）；2 2 2 2另：双曲线 x2 y2 1（a0,b0）的渐近线方程为 x2 y2 0；a b a b3.抛物线焦半径公式：设 P（x 0,y0）为抛物线 y 2=2pxp0 上任意一点, F 为焦点,就PF x 0 p；y 2=2pxp 0上任意一点, F 为焦点,就 PF x 0 p；2 24.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线 y b x 的双曲线标准方程为 x 22 y2 2 为参数, 0）；a a b6.运算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,
13、一般地,如斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB , A、 B 两点分别为 Ax 1,y 1、2 2 2Bx 2,y2,就弦长 AB 1 k x 2 x 1 1 k x 1 x 2 4 x 1 x 2 1 1 21 2 y 2 y 1 1 2 y 1 y 2 4 y 1 y 2 ,这里表达明白析几何“ 设而不求” 的k k解题思想；名师归纳总结 7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 2 b 2,焦准距为 p= b 2,抛物线的通径为 a c 2 2 为 p; 双曲线 x 2 y 2 1（a0,b0）的焦点到渐进线的距离为 b; a b2p,焦准距第 5 页,共 8 页8.中心在原点,坐标
14、轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线 y2=2pxp0 的焦点弦（过焦点的弦）为AB ,A（x1,y1）、Bx 2,y2,就有如下结论：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1） AB x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=p2,x1x2=p2; AB2 ae x 1x2,过右410.过椭圆x2y21（ab0）左焦点的焦点弦为AB ,就a2b2焦点的弦 AB 2 a e x 1 x 2 ；211.对于 y2=2pxp 0抛物线上的点的坐标可设为（y 0 ,y0）,以简化运算 ; 2 p12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问
15、题常用代点相减法,设 Ax 1, y1、Bx 2,y2为椭2 2 2圆 x2 y2 1（ab0）上不同的两点,Mx 0,y0是 AB 的中点,就 KAB KOM = b2；对于a b a2 2 2双曲线 x2 y2 1（a0,b0）,类似可得： K AB.K OM= b2；对于 y2=2pxp 0抛物线有a b aK AB2 py 1 y 213.求轨迹的常用方法：（1）直接法： 直接通过建立x、y 之间的关系, 构成 Fx,y 0,是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先依据条件列出 所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可
16、；（3）代入法（相关点法或转移法）：如动点 Px,y 依靠于另一动点Qx 1,y1的变化而变化,x1、y1,再将 x1、y1 带入并且 Qx 1,y1又在某已知曲线上,就可先用x、y 的代数式表示已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某已知曲线的定义,就可由曲线的定义直接 写出方程；（5）参数法：当动点 P（ x,y）坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程；九、直线、平面、简洁几何体1.从一点 O 动身的三条射线OA 、OB 、OC,如 AOB= AOC ,就点 A 在平面 B
17、OC 上的射影在 BOC 的平分线上；2. 已知 :直二面角 M AB N 中,AE M ,BF N,EAB= 1,ABF= 2,异面直线AE 与 BF 所成的角为,就 cos cos 1 cos 2 ;3.立平斜公式： 如图,AB 和平面所成的角是 1,AC 在平面内, AC 和 AB 的射影 AB 成 2,设 BAC= 3,就 cos 1cos 2=cos 3；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中挑选一特殊点,作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟识的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于简洁发觉两条异面直线间的关系；5.直线与平面
18、所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影；通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）,分别在两个半平面内作棱的垂线,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得出平面角,用定义法时,要仔细观看图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平
19、面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S 射S 原 cos,其中为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角；特殊 :对于一类没有给出棱的二面角,应先延长两个半平面,使之相交显现棱,然后再选用上述方法（特殊要考虑射影法）；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行运算；（2）求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用
20、等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,就 S侧 cos =S底；9.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 , , , 因此有2 2 2cos +cos +cos =1; 如长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为, , , 就有 cos 2 +cos 2 +cos 2 =2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式： 假如简洁多面体的顶点数为V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12.球的体积公式 V= 4 R ,表面积公式 S 4 R 2；把握
21、球面上两点 A、B 间的距离求法：3（ 1）运算线段 AB 的长,（2）运算球心角 AOB 的弧度数； 3用弧长公式运算劣弧 AB的长；十、排列组合二项式定理和概率m n .1.排列数公式 : A =nn-1n-2 n-m1= n m . mn,m、nN*, 当 m=n 时为全排列A =nn-1 2 1; nm2.组合数公式：C n m A n n n 1 n m 1（mn）, C n 0C n n 1；m . m m 1 m 2 3 2 1m n m r r 1 r3.组合数性质：C n C n ; C n C n C n 1；n n 1 n r r r r 14.常用性质： n.n.=n+
22、1.-n.; 即 nA n A n 1 A n ; C r C r 1 C n C r 1 ;（1rn）; 5.二项式定理： （1）把握二项绽开式的通项：T r 1 C n r a n r b r r 0 1, 2, ,., n ;（2）留意第 r1 项二项式系数与第 r 1 系数的区分；6.二项式系数具有以下性质：名师归纳总结 1与首末两端等距离的二项式系数相等；如 n 为奇数, 中间两项 （第第 7 页,共 8 页2如 n 为偶数, 中间一项 （第n 1 项）的二项式系数最大；2n21和n211 项）的二项式系数最大；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
23、- （3）C0C1C2n C n2n;C0C2C1C32n1;nnnnnnn7.Fx=ax+b n 绽开式的各项系数和为 f1; 奇数项系数和为 1 f 1 f 1 ；偶数项的系2数和为 1 f 1 f 1 ；28.等可能大事的概率公式：（1）P（A）n ；（2）互斥大事分别发生的概率公式为：mPA+B=PA+PB；（ 3）相互独立大事同时发生的概率公式为 PAB PAPB ；（4）独立重复试验概率公式 Pnk= C n kp k 1 p n k ; 5假如大事 A 、B 互斥,那么大事 A与 B 、 A 与 B 及大事 A 与 B 也都是互斥大事； （6）假如大事 A 、B 相互独立,那么事
24、件 A 、B 至少有一个不发生的概率是 1P（ AB ） 1PAPB ；（7）假如大事 A、B相互独立,那么大事 A、B 至少有一个发生的概率是 1 P（ A . B ）1P A P B ；十一、抽样方法、总体分布的估量与总体的期望和方差1.把握抽样的二种方法： （ 1）简洁随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；2.总体分布的估量：用样本估量总体,是争论统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估量就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；3.总体特点数的估量： （1）学会用样本平均数xin1 nx1xx21in1xn
25、12nxi去估量总体平ni1均数；（ 2）学会用样本122 x i去估量总体方差x in x2 S1x 1x 2x2x2x nx 2n1nn2 及总体标准差；十二、导数及应用名师归纳总结 1.导数的定义： fx 在点 x0 处的导数记作yxx 0fx0lim x0fx0xfx0；第 8 页,共 8 页x2.依据导数的定义,求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量yfxxfx;2求平均变化率yfxx fx ;3取极限 ,得导数fxlim x0y; xxx3.导数的几何意义：曲线yf（ x）在点 P（ x0,fx 0）处的切线的斜率是fx0.相应地,切线方程是yy0fx0xx0;4.常见函数的导数公
26、式：C0 C为常数;xmmxm-1mQ;5.导数的应用： （1）利用导数判定函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导,如果f x 0,那么 fx 为增函数；假如f x 0,那么 fx 为减函数；假如在某个区间内恒有fx0,那么 fx 为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数fx；求方程fx0的根；检验f x 在方程fx 0根的左右的符号, 假如左正右负, 那么函数 y=fx 在这个根处取得最大值；假如左负右正,那么函数y=fx 在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=fx 在a,b内的极值；将y=fx 在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值；- - - - - - -