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1、|大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）1. 若 ，则 _。021503x2若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足 。 0321x3已知矩阵 ，满足 ，则 与 分别是 阶矩阵。nsijcCBA)(， CBA4矩阵 的行向量组线性 。321a5 阶方阵 满足 ，则 。nA0E1A二、判断正误（正确的在括号内填“” ，错误的在括号内填“” 。每小题 2 分，共 10 分）1. 若行列式 中每个元素都大于零，则 。 （ ）DD2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。 （ ） 3. 向量组 中，如果 与 对应的分量成比例，则向量组 线性相关
2、。ma， 21 1ma sa， 21（ ）4. ，则 。 （ ）01AA15. 若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 。 ( )1三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题 2 分，共 10 分) 1. 设 为 阶矩阵，且 ，则 （ ） 。An2AT 421n12n2. 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ ） 。， 21 中任意两个向量都线性无关s， 21 中存在一个向量不能用其余向量线性表示s， | 中任一个向量都不能用其余向量线性表示s， 21 中不含零向量s， 3. 下列命题中正确的是( )。 任意 个 维向量线性相关n1 任意 个 维向量
3、线性无关 任意 个 维向量线性相关 任意 个 维向量线性无关4. 设 ， 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是( )。AB 若 ， 均可逆，则 可逆 若 ， 均可逆，则 可逆BAABAB 若 可逆，则 可逆 若 可逆，则 ， 均可逆5. 若 是线性方程组 的基础解系，则 是 的（ 4321， 043210） 解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题 ( 每小题 9 分，共 63 分)1. 计算行列式 。xabcdx解 3)(01)(1)( xdcbaxxdcbdcbaxdcbxdcbax dcbaxcbxddcxbax 2. 设 ，且 求 。BA2,4103B解. ，E)2( 12)2(1
4、EA 3245)2(1AE|3. 设 且矩阵 满足关系式 求 。,101B20134C(),XCBE4. 问 取何值时，下列向量组线性相关？ 。a12312,aa5. 为何值时，线性方程组 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多23321x解时求其通解。 当 且 时，方程组有唯一解；12当 时方程组无解当 时，有无穷多组解，通解为 100221c6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余.7103 , ,3192 ,0441 向量用该极大无关组线性表示。7. 设 ，求 的特征值及对应的特征向量。102AA五、证明题 (7 分)若 是 阶方阵，且 证明 。其中 为单位矩阵。n，I，
5、10IAI|大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 1ns，5. EA3二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. | 3)(01)(1)( xdcbaxxdcbdcbaxdcbxdcbax dcbaxcbxddcxbax 2.，ABE)2( 12)2(1E 3245)2(1AEB3. 120011200123401)(02134 BCEXBCBC，4. 当 或 时，向量组 线性)2()12812321 aaa， 1a321a，相关。5. 当 且 时，方程组有唯一解；12当 时方程组无解|当 时，有无穷多组
6、解，通解为1 100221c6. 012 1306247130427130942)(321aa，则 ，其中 构成极大无关组，34321aar， 321a， 3214aa7. 0)1(20013AE特征值 ，对于 11， ，特征向量为321 021AE10lk五、证明题 IIAIAI ， 020一、选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设 ， 为 n 阶方阵，满足等式 ，则必有（ ）AB0AB(A) 或 ; (B) ； （C） 或 ; (D) 。000BA|2、 和 均为 阶矩阵，且 ，则必有（ ）ABn22()ABB(A)
7、； (B) ； （C） . (D) 。EEAB3、设 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是（ ）m0x(A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；（C） 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵 为奇异矩阵的充要条件是（ ）nA(A) 的秩小于 ； (B) ；n0A(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 的行列式 ， 是 A 的伴随矩阵，则 = 。A5 A6、 为 阶矩阵，且 ，则 。n20E1(2)E7、已知方程组 无解，则 。431213xaa8、二次型 是正定
8、的，则 的取值范围是 2231313(,)fxtxt。三、计算题（本题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分）9、计算行列式 11xDy10、计算 阶行列式n121233nn nxxD四、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组 线性相关，向量组 线性无关。证明：13,234,(1) 能有 线性表出；12,|(2) 不能由 线性表出。4123,12、设 是 阶矩方阵， 是 阶单位矩阵， 可逆，且 。AnEnEA1()(fAEA证明（1） ；()(2Ef（2） 。A五、解答题（本题共 3 小题，每小题 12 分，满分 32 分。解答应写出文字说明
9、或演算步骤）13、设 ，求一个正交矩阵 使得 为对角矩阵。203AP1A14、已知方程组 与方程组 有公共解。04231xax 1231ax 求 的值。a15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 ， ， 是它的三个解向量，123且，543214321求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题|5、-125; 6、 ； 7、-1； 8、 。253t三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得： 011xDy第二列减第一列，第四列减第三列得： （4 分）01xy按第一行展开得 10xDy按第三列展开得。 （4 分）201xyy10
10、、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子 ，再通过行列式的变换nix13化为上三角形行列式（4 分）2123nni nxxDx103nix|（4 分）13nix四、证明题11、证明：(1)、 因为 线性无关，所以 线性无关。 ，32,， 32，又 线性相关，故 能由 线性表出。 (4 分)31， 1，123()r， ，（2） 、 （反正法）若不，则 能由 线性表出，4,，不妨设 。3214kk由（1）知， 能由 线性表出，不妨设 。321t所以 ，324)(kk这表明 线性相关，矛盾。 432,，12、证明 （1） 1()()()EfAEAEA（4 分）) ()2EA（2） 1()()fff由（1）得： ，代入上式得1)2EAE1()()()()()22f AEAEA （4 分）12五、解答题13、解：（1）由 得 的特征值为 ， ， 。 （4 分）0EA1235