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1、题目：积分不等式的假设干证明技巧 学 院：数学科学学院 专业班级：数学074实验班 学生姓名： 指导教师：塔实甫拉提 副教授 辩论日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处 第 11 页目 录1引言12 利用有些定义证明积分不等式1利用定积分的定义证明积分不等式1利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式23 利用函数的单调性证明积分不等式44利用微分中值定理证明积分不等式45利用积分中值定理证明积分不等式66利用一些根本不等式证明积分不等式77利用泰勒展开式证明积分不等式78利用将单积分化为重积分的方法89利用分部积分法来证明积分不等式910 结论10参考文献：11致谢11积分不等式的假设干
2、证明技巧摘要：不等式是高等数学与近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成假设干种方法，介绍有关证题的技巧与规律。关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skillsAbstracts： inequ
3、ality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus advanced mathematic
4、s synthesized and summarized in the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several
5、 ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem1引言有人曾经说过这样的话,初等数学中的符号多,高等数学中的不等号多,现代数学中的箭头多。这虽不是划分数学开展阶段的准那么,但也道出了各个数学阶段的显著特征,以及不等式在高等数学中的地位与作
6、用。在高等数学的教学中,必须重视不等式教学。下面就从一道题出发,来展示积分不等式的多种证法,以期抛砖引玉,开拓思路。2 利用有些定义证明积分不等式利用定积分的定义证明积分不等式定义2.1定积分设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。假设对任给的正数，总存在某一个正数，使得对任何分割,以及在其上任意选取的点集只要就有那么称函数在区间上可积。数称为在上的定积分。记作： 比方下面我们利用定积分的定义来解决一些问题。例1 设f(x)当时为一非负的增函数，试证：证明： 因当时为非负的增函数，既 所以 即 于是因此 利用积分与及凸函数的性质证明积分不等式首先我们看一下凸函数的定义：定义凸函数设定义在区间
7、I上，假设，恒有,那么成为凸函数。在这里我们利用凸函数的定义证明一些积分不等式。是上连续的凸函数，试证：，有证明；令，那么 2同理，令有从而 3 注意到及关于中点对称，由于3是凸函数 故由3得另外，由2，应用的凸性，引理 设在区间I上是凸的，对于任意点且不全为0，有例5 设 在上连续，且在上游定义，并有二阶导数，试证；证明将等分 记；因为为凸函数，有引力1知：及 令 取极限，使得到要证明的不等式。3 利用函数的单调性证明积分不等式利用函数的单调性能不能处理积分不等式方面的问题那么我们看一下：定理3.1(单调性定理)；设在区间I上可导，那么在区间I上递增减的充要条件.例2.在上可微，且当0,1时
8、试证：x证明：令因故只要证明在0,1内有，事实上，当故时一下证1中另一个因式也大于0.记 那么于是故当从而原不等式成立。4利用微分中值定理证明积分不等式微分学中三个根本定理为，拉格朗日中值定理。罗尔定理，柯西中值定理，利用这三个定理可以证明一些不等式。定理4.1 (Rolle定理)设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，那么至少存在一点，使得 1 定理4.2 Lagrange中值定理如函数满足如下条件：1在区间上连续；2在开区间内可导，那么在上至少存在一点，使得 。 2Cauchy中值定理:设函数与满足1.在上都连续；2.在上都可导；3.与不同时为零；4.，那么存在，使得例3 在上连续，在上
9、可微，且当0,1时 试证；x证明；令，由柯西中值定理有；存在使得即故从而原不等式成立。5利用积分中值定理证明积分不等式积分中值定理是在数学分析中很重要的一局部下面我们看一下它的定义与积分不等式方面的应用：定理5.1积分第一中值定理 : 如果函数在闭区间上连续，那么至少存在一点，使得积分第二中值定理设函数在上可积1假设在上减，且，那么存在，使得2假设在上增，且，那么存在，使得下面利用积分中值定理解决一些积分不等式：例。 4 证明不等式：其中在上可导且下凸函数。证 由题设知在上递增，我们有6利用一些根本不等式证明积分不等式利用积分不等式如Couchy不等式与schwarz不等式等可以证明另外一些不
10、等式。例 6 ，在上连续，为任意实数，求证： (1)证明：1式左边第一项应用Schwarz不等式 2同理： 32+3得及式1注：在使用Schwarz不等式时,要恰当地选取函数,有时需对积分作适当变形，才能用Schwarz不等式。7利用泰勒展开式证明积分不等式利用泰勒公式证明积分不等式，该法适合于题设中有二阶与二阶以上的高阶导数，先写出比题设条件低一阶的函数的泰勒展开并恰当地选择等式两边的x及x。，根据题给高阶导数的大小或界对展开进展放缩。：泰勒定理假设函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，那么对任意给定的至少存在一点，使得 例 7例 设有设是上的任意的连续函数，试证明，对任意的有证
11、 ：本例显然可用定积分的定义求证，令用泰勒展开式证明，由泰勒公式及得 令 代入上式 那么有 并对两边从到积分得因，两边除以，既有 。8利用将单积分化为重积分的方法当积分不等式中含有两单积分乘积或可以化为两单积分乘积时，可通过化为重积分的途径来证明。定义重积分的定义:设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数。是一个确定的数，假设对人给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割当它的细度时，属于的所有积分与都有那么称在上可积，数称为函数在上的二重积分， 记作：例.8设在上连续，且均为单调下降的函数，证明证 令，那么于是由于均为单调下降的.故。，由此得证。9利用分部积分法来证明积分不等式分部积分法假设及
12、可导，不定积分存在，那么也存在，并有例9 设在上单调增加且连续可微证 ： 为正整数证：10 结论通过以上的工作，我们看到，在处理积分不等式或类似数学问题时，首先必须仔细审题，以寻找相关的尽可能行之有效的思想方法;其次，在具体使用某方法而不能奏效时，应认真分析该法失败的原因之所在，以便修正改良，最终到达目的.本文主要讨论了微分中值定理中的Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理，有些不等式，分部积分法给出了它们的定义与有关的一些例题。讨论了积分中值定理中的积分第一中值定理、积分第二中值定理及他们有关的内容等。然后对这些中值定理，定积分及凸函数的定义与性质，泰勒定力在处理
13、积分不等式中的应用技巧作了系统的总结。通过给出几个应用例子来进一步讨论了积分不等式的假设干技巧。参考文献：. 第2版.167201，290291，373374.2 华东师范大学数学系. 数学分析(上册) M. 北京：高等教育出版社，2001(2006重印).第3版. 167201，3 周民强. 数学分析习题演练M. 北京：科学出版社，2006. 第2版.7890.4 (美国)M.R.施皮格尔著编；施建兵，朱卓宇，冯玉勇等译. 微积分M. 北京：科学出版社，2002 .5556，7374.5 吴良林,毛羽辉. 数学分析习题精解(多变量局部) M. 北京：科学出版社，2003. 7481.6 ?数
14、学辞海?编辑委员会编. 数学辞海(第一卷)M. 太原：山西教育出版社、中国科学技术出版社、东南大学出版社，2002.8. 535537，547548.7 邹成. 关于积分第一中值定理的逆命题J. 思茅师范高等专科学校学报，2021(06). 3133.8 陈友朋. 柯西中值定理的反问题J. 高等数学研究，2021(05). 3537.9 赵旭波，李小平. 改良的定积分中值定理在解题中的应用J. 高等数学致谢大学四年很快就要完毕了，在这珍贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、教师与我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助与关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的教师与同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导教师，感谢对我毕业论文的细心指导，教师塔实甫拉提严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.到论文的顺利完成，有很多的可敬的教师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请承受我诚挚的谢意！再次对塔实浦拉提教师表示最诚谢意与祝福挚的！