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1、精选优质文档-倾情为你奉上 题目：积分不等式的若干证明技巧 学 院：数学科学学院 专业班级：数学074实验班 学生姓名：努尔艾拉.阿西木 指导教师：塔实甫拉提 副教授 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处 专心-专注-专业目 录积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成
2、若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skillsAbstracts： inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates m
3、any methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus advanced mathematics synthesized and summarized in the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich stro
4、ng skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value t
5、heorem; Lagrange mid-value theorem。1引言有人曾经说过这样的话,初等数学中的符号多,高等数学中的不等号多,现代数学中的箭头多。这虽不是划分数学发展阶段的准则,但也道出了各个数学阶段的显著特征,以及不等式在高等数学中的地位和作用。在高等数学的教学中,必须重视不等式教学。下面就从一道题出发,来展示积分不等式的多种证法,以期抛砖引玉,开拓思路。2 利用有些定义证明积分不等式2.1利用定积分的定义证明积分不等式定义2.1（定积分）设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对任何分割,以及在其上任意选取的点集只要就有 则称函数在区间
6、上可积。数称为在上的定积分。记作： 比如下面我们利用定积分的定义来解决一些问题。例1 设f(x)当时为一非负的增函数，试证：证明： 因当时为非负的增函数，既 所以 即 于是因此 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式首先我们看一下凸函数的定义：定义2.2.1（凸函数）设定义在区间I上，若，恒有,则成为凸函数。在这里我们利用凸函数的定义证明一些积分不等式。例 2.设是上连续的凸函数，试证：，有证明；令，则 （2）同理，令有从而 （3） 注意到与关于中点对称，由于（3）是凸函数 故由（3）得另外，由（2），应用的凸性， 引理 2.2.1 设在区间I上是凸的，对于任意点且不全为0，有例5 设
7、在上连续，且在上游定义，并有二阶导数，试证；证明将等分 记；因为为凸函数，有引力1知：及 令 取极限，使得到要证明的不等式。3 利用函数的单调性证明积分不等式利用函数的单调性能不能处理积分不等式方面的问题那么我们看一下：定理3.1(单调性定理)；设在区间I上可导，则在区间I上递增（减）的充要条件.例2.在上可微，且当（0,1）时试证：x证明：令因故只要证明在（0,1）内有，事实上，已知当（故时一下证（1）中另一个因式也大于0.记 则于是故当从而原不等式成立。4利用微分中值定理证明积分不等式微分学中三个基本定理为，拉格朗日中值定理。罗尔定理，柯西中值定理，利用这三个定理可以证明一些不等式。定理4
8、.1 (Rolle定理)设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则至少存在一点，使得 （1） 定理4.2 （Lagrange中值定理）如函数满足如下条件：（1）在区间上连续；（2）在开区间内可导，则在上至少存在一点，使得 。 （2）定理4.3（Cauchy中值定理）:设函数和满足1.在上都连续；2.在上都可导；3.和不同时为零；4.，则存在，使得例3 在上连续，在上可微，且当（0,1）时 试证；（x证明；令，由柯西中值定理有；存在使得即故从而原不等式成立。5利用积分中值定理证明积分不等式积分中值定理是在数学分析中很重要的一部分下面我们看一下它的定义和积分不等式方面的应用：定理5.1（积分第一
9、中值定理） : 如果函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得。定理5.2（积分第二中值定理）设函数在上可积（1）若在上减，且，则存在，使得（2）若在上增，且，则存在，使得下面利用积分中值定理解决一些积分不等式：例。 4 证明不等式：，其中在上可导且下凸函数。证 由题设知在上递增，我们有=6利用一些基本不等式证明积分不等式利用积分不等式如Couchy不等式和schwarz不等式等可以证明另外一些不等式。例 6 ，已知在上连续，为任意实数，求证： (1)证明：（1）式左边第一项应用Schwarz不等式 （2）同理： （3）（2）+（3）得与式（1）注：在使用Schwarz不等式时,要恰当地选取函数
10、,有时需对积分作适当变形，才能用Schwarz不等式。7利用泰勒展开式证明积分不等式利用泰勒公式证明积分不等式，该法适合于题设中有二阶和二阶以上的高阶导数，先写出比题设条件低一阶的函数的泰勒展开并恰当地选择等式两边的x与x。，根据题给高阶导数的大小或界对展开进行放缩。定理7.1：（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的至少存在一点，使得 例 7例 设有设是上的任意的连续函数，试证明，对任意的有证 ：本例显然可用定积分的定义求证，令用泰勒展开式证明，由泰勒公式及得 令 代入上式 则有 并对两边从到积分得因，两边除以，既有 。8利用将单积分化为重积分的方法当积
11、分不等式中含有两单积分乘积或可以化为两单积分乘积时，可通过化为重积分的途径来证明。定义8.1（重积分的定义）:设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数。是一个确定的数，若对人给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割当它的细度时，属于的所有积分和都有则称在上可积，数称为函数在上的二重积分， 记作：例.8设在上连续，且均为单调下降的函数，证明证 令，则于是由于均为单调下降的.故。，由此得证。9利用分部积分法来证明积分不等式定义9.1（分部积分法）若与可导，不定积分存在，则也存在，并有例9 设在上单调增加且连续可微证 ： 为正整数证：=10 结论通过以上的工作，我们看到，在处理积分不等式或类似数学问
12、题时，首先必须仔细审题，以寻找相关的尽可能行之有效的思想方法;其次，在具体使用某方法而不能奏效时，应认真分析该法失败的原因之所在，以便修正改进，最终达到目的.本文主要讨论了微分中值定理中的Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理，有些不等式，分部积分法给出了它们的定义和有关的一些例题。讨论了积分中值定理中的积分第一中值定理、积分第二中值定理与他们有关的内容等。然后对这些中值定理，定积分与凸函数的定义和性质，泰勒定力在处理积分不等式中的应用技巧作了系统的总结。通过给出几个应用例子来进一步讨论了积分不等式的若干技巧。参考文献：1 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析(上册)
13、M. 北京：高等教育出版社，2004.5. 第2版.167201，290291，373374.2 华东师范大学数学系. 数学分析(上册) M. 北京：高等教育出版社，2001(2006重印).第3版. 167201，3 周民强. 数学分析习题演练M. 北京：科学出版社，2006. 第2版.7890.4 (美国)M.R.施皮格尔著编；施建兵，朱卓宇，冯玉勇等译. 微积分M. 北京：科学出版社，2002 .5556，7374.5 吴良林,毛羽辉. 数学分析习题精解(多变量部分) M. 北京：科学出版社，2003. 7481.6 数学辞海编辑委员会编. 数学辞海(第一卷)M. 太原：山西教育出版社、
14、中国科学技术出版社、东南大学出版社，2002.8. 535537，547548.7 邹成. 关于积分第一中值定理的逆命题J. 思茅师范高等专科学校学报，2008(06). 3133.8 陈友朋. 柯西中值定理的反问题J. 高等数学研究，2008(05). 3537.9 赵旭波，李小平. 改进的定积分中值定理在解题中的应用J. 高等数学致谢大学四年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，老师塔实甫拉提严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对塔实浦拉提老师表示最诚谢意和祝福挚的！