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1、椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设在椭圆上，那么过的椭圆的切线方程是.6. 假设在椭圆外 ，那么过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，那么椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆ab0的焦半径公式：9. 设过椭圆焦点F作直
2、线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 与AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，那么MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P与A2Q交于点M，A2P与A1Q交于点N，那么MFNF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。12. 假设在椭圆内，那么被Po所平分的中点弦的方程是.13. 假设在椭圆内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除
3、去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.内切：P在右支；外切：P在左支5. 假设在双曲线a0,b0上，那么过的双曲线的切线方程是.6. 假设在双曲线a0,b0外 ，那么过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线a0,bo的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，那么双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线a0,bo的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 与
4、AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，那么MFNF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P与A2Q交于点M，A2P与A1Q交于点N，那么MFNF.11. AB是双曲线a0,b0的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。12. 假设在双曲线a0,b0内，那么被Po所平分的中点弦的方程是.13. 假设在双曲线a0,b0内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-会推导的经典结论椭 圆1. 椭圆abo的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过椭圆 (a0,
5、b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.3. 假设P为椭圆ab0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么.4. 设椭圆ab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.5. 假设椭圆ab0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，那么当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为椭圆ab0上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，那么,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 椭圆ab0，O为坐标原点，P
6、、Q为椭圆上两动点，且.1;2|OP|2+|OQ|2的最大值为;3的最小值是.9. 过椭圆ab0的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.10. 椭圆 ab0,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 那么.11. 设P点是椭圆 ab0上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2) .12. 设A、B是椭圆 ab0的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 椭圆 ab0的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴
7、，那么直线AC经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-会推导的经典结论双曲线1. 双曲线a0,b0的
8、两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过双曲线a0,bo上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.3. 假设P为双曲线a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么或.4. 设双曲线a0,b0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.5. 假设双曲线a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，那么当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为双曲线a0,b0上任一点,F1
9、,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，那么,当且仅当三点共线且与在y轴同侧时，等号成立.7. 双曲线a0,b0与直线有公共点的充要条件是.8. 双曲线ba 0，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.1;2|OP|2+|OQ|2的最小值为;3的最小值是.9. 过双曲线a0,b0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.10. 双曲线a0,b0,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 那么或.11. 设P点是双曲线a0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2) .12. 设A、B是双曲线a0,b0的长轴两端
10、点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 双曲线a0,b0的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线
11、与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线问题解题方法 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法与技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例1. 点A3，2，F2，0，双曲线，P为双曲线上一点。求的最小值。 解析：如下图， 双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。二. 引入参数，简捷明
12、快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化与加快问题的解决。例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如下图的坐标系，设点F到准线的距离为p定值，椭圆中心坐标为Mt，0t为参数 ，而 再设椭圆短轴端点坐标为Px，y，那么 消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数与“形两者结合起来，充分发挥“数的严密性与“形的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难与麻烦的问题。例3. ，且满足方程，又，求m范围。 解析：的几何意义为，曲线上的点与点3，3连线的斜率，如下图四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题
13、是解析几何的本质特征，因此，很多“解几题中的一些图形性质就与“平几知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例4. 圆与直线的交点为P、Q，那么的值为_。 解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例5. 椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。 分析：考生见到此题根本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 解：如图，共线，设，那么， 点R在椭圆上，P点在直线上 即 化简整理得点Q的轨迹方程为： 直
14、线上方局部六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法与技巧之一。例6. 求经过两圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 那么圆心为，在直线上 解得 故所求的方程为七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例7. 过点A2，1的直线与双曲线相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 解：设，那么 得 即 设P1P2的中点为，那么 又，而P1、A、M、P2共线 ，即 中点M的轨迹方程是解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个
15、选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考察的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察. 选择题与填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程与极坐标系中的根底知识. 解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考察直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的根本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如下图的直角坐标系.(1)写出直线的方程； 2计算出点P、
16、Q的坐标； 3证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为；2由方程组解出、； 3, . 由直线PT的斜率与直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗例2 直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其
17、判别式由，得=0即 在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为x，y， 由，得 代入式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗 例3双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 1求双曲线的方程； 2直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解：1原点到直线AB：的距离. 故所求双曲线方程为 2把中消去y，整理得 . 设的中点是，那么 即故所求k=.为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线l过
18、左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12 1求椭圆C的离心率； 2求椭圆C的方程 讲解：1设, 对 由余弦定理, 得解出 2考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .那么x1、x2是上述方程的两根且，也可这样求解： ，AB边上的高ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一
19、步反思反思.椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得：于是是上述方程的两根.AB边上的高,从而当且仅当m=0取等号，即由题意知, 于是 .故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 例5 直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.求此椭圆的离心率；2 假设椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.讲解:1设A、B两点的坐标分别为 得根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为. 由得，故椭圆的离心率为 . 2由1知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由得 ，故所求的椭圆方程为 .例6 M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，1如果，求直线MQ的方
20、程；2求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:1由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ，故，所以直线AB方程是2连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把*及*消去a，并注意到，可得适时应用平面几何知识，这是快速解答此题的要害所在，还请读者反思其中的微妙. 例7 如图，在RtABC中，CBA=90，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.1建立适当的坐标系，求曲线E的方程；2过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围讲解: 1建立平面直角坐
21、标系, 如下图| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点P的轨迹是椭圆曲线E的方程是 . 2设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得设M1, 那么i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时， 由得 又, 或 01 ,而 , ,的取值范围是 . 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警觉. 例8 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点. 1求证：;2求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: 1易求得抛物线的焦点. 假设lx轴，那么l的方程为.假设l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得. 综上可知 .2设
22、，那么CD的垂直平分线的方程为假设过F，那么整理得 ，. 这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.此题是课此题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A与B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，APB=60，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，那么在l一侧必存在经A到P与经B到P路程相等的点，设这样的点为M，那么|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|MB|=|BP|AP|=50,M在双曲线的右支上.故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.第 17 页