《圆锥曲线解题技巧(附例题)汇编.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线解题技巧(附例题)汇编.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载FAPHBQ圆锥曲线解题技巧及例题汇编1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当 r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中， r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别
2、式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有02020k
3、byax。（2）)0,0(12222babyax与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 【典型例题 】例1、 (1)抛物线C:y2=4x上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小
4、。（2）B 在抛物线内，如图，作QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2）连 PF， 当 A、 P、 F 三点共线时，PFAPPHAP最小，此时 AF 的方程为)1(13024xy即 y=22(x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,22)， （注：另一交点为 (2,21)， 它为直线AF 与抛物线的另一交点，学习必备欢迎下载xy0ABCMD5FFPHy0 xA舍去）（2） （1 ,41）过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入 y2=4x 得 x=41， Q(1 ,41) 点评：这
5、是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆13422yx的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解： （1） 4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P是FA 的延长线与椭圆的交点时, PFPA取得最小值为4-5。（2）3 作出右准线l，作 PH l 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=21，PHPFPHP
6、F2,21即PHPAPFPA2当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C 共线， B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的MDMC） 。解：如图，MDMC，26MBMADBMBMAAC即8MBMA（*）学习必备欢迎下载点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为1151622yx点评：得到方程（* ）
7、后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4) 1()1(2222yxyx，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析： 由于 sinA、sinB、 sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解： sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=532RsinA BCACAB53即6ACAB（ *）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10 a=3， c=5， b=
8、4 所求轨迹方程为116922yx（x3）点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x2上移动， AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2， X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0) 则
9、0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x2 1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2x0)2=9 学习必备欢迎下载xy0MABA1A2M1M2B1B2xyF1F20ABCD2020041944xxy，1149)14(4944202020200 xxxxy, 5192450y当 4x02+1=3 即220 x时，45)(min0y此时)45,22(M法二： 如图，32222ABBFAFBBAAMM232M
10、M， 即23411MM，451MM， 当 AB 经过焦点F 时取得最小值。M 到 x 轴的最短距离为45点评： 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于 x0的函数，这是一种“设而不求” 的方法。 而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点F，而且点M 的坐标也不能直接得出。例 6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左
11、焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、D、设 f(m)=CDAB,（1）求 f(m),（ 2）求 f(m) 的最值。分析： 此题初看很复杂，对f(m) 的结构不知如何运算，因A、B 来源于“不同系统” ，A 在准线上， B在椭圆上，同样C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf学习必备欢迎下载)()(2DACBxxxx)(2CBXx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解： （1）椭圆1122mymx中， a2=m，b2=m-1 ，c2=1，左焦点F1(-1,0
12、) 则 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB（2）)1211 (2121122)(mmmmf当 m=5 时，9210)(minmf当 m=2 时，324)(maxmf点评： 此题因最终需求CBxx，而 BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x0,y0),通过将B、 C 坐标代入作差，
13、得0100kmymx，将y0=x0+1， k=1代入得01100mxmx，120mmx，可见122mmxxCB当 然 ， 解 本 题 的 关 键 在 于 对CDABmf)(的 认 识 ， 通 过 线 段 在x 轴 的 “ 投 影 ” 发 现CBxxmf)(是解此题的要点。学习必备欢迎下载【同步练习 】1、 已知：F1， F2是双曲线12222byax的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点A、 B， 若mAB，ABF2的周长为（）A、4a B、 4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则 P 点的轨迹方程是（）A、y2
14、=-16x B、y2=-32x C、 y2=16x D、y2=32x 3、已知 ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且ACAB，点 B、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是（）A、13422yxB、)0( 13422xyxC、)0(13422xyxD、)00(13422yxyx且4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（）A、) 1(49)21(22xyxB、)1(49)21(22xyxC、)1(49)21(22xyxD、)1(49)21(22xyx5、已知双曲线116922yx上一点 M 的横坐标为4，则点
15、 M 到左焦点的距离是6、抛物线 y=2x2截一组斜率为2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线x2-y2=1 的交点个数只有一个，则k= 10、设点 P 是椭圆192522yx上的动点， F1，F2是椭圆的两个焦点，求sinF1PF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差学习必备欢迎下载数列，若直线l 与此椭圆相交于A、B 两点，且AB 中点 M 为(
16、-2，1)，34AB，求直线l 的方程和椭圆方程。12、已知直线l 和双曲线)0,0(12222babyax及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：CDAB。【参考答案 】1、C aBFBFaAFAF2,21212，,24,42222maABBFAFaABBFAF选 C 2、C 点 P到 F 与到 x+4=0 等距离， P点轨迹为抛物线p=8 开口向右，则方程为y2=16x ，选 C 3、D 22ACAB，且ACAB点 A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A、B、C 三点不共线，即y0，故选 D。4、A 设中心为 (x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为
17、4 得4)2()12(122yx，49)21(22yx又 ca,2) 1(22yx(x-1)2+y221) 7、y2=x+2(x2) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x ，y)，则2)(),(2,2,2212121212221222121yyxxyyxxyyxyxy20 xykkMPAB，222yxy，即 y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P，即 y22x，即 x+22 8、4 22,8, 4222ccba，令22x代入方程得8-y2=4 y2=4，y=2，弦长为4 9、12或y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 (1-k2)x2-2k
18、x-2=0 0012k得 4k2+8(1-k2)=0，k=21-k2=0 得 k=1 10、解： a2=25，b2=9，c2=16 设 F1、 F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0) 设212211,PFFrPFrPF则221222121)2(cos22crrrrrr2-得 2r1r2(1+cos)=4b21+cos=212212224rrbrrb r1+r2212rr，r1r2的最大值为a21+cos的最小值为222ab，即 1+cos2518学习必备欢迎下载cos257，257arccos0则当2时， sin取值得最大值1，即 sinF1PF2的最大值为1。11、设椭圆方程为)
19、0(12222babyax由题意： C、2C、cca2成等差数列，22224caccacc即，a2=2(a2-b2), a2=2b2椭圆方程为122222bybx，设 A(x1，y1)，B(x2， y2) 则12221221bybx12222222bybx-得022222122221byybxx0222kbybxmm即022kk=1 直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3 ， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 3x2+12x+18-2b2=0，342)218(121231112221bxxAB解得 b2=12，椭圆方程为1122422yx，直线 l 方程为 x-y+3=0 12、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD 中点为 M(x0，y0)直线 l 的斜率为k，则11222222221221byaxbyax -得0222020kbyax设),(),(),(002211yxMBCyxCyxB中点为，则002212221222112211byaxbyax-得02221021kbyax学习必备欢迎下载由、知M、M均在直线022:22kbyaxl上，而 M、M又在直线l 上 ，若 l 过原点，则B、C 重合于原点，命题成立若 l 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立若 l 不过原点且与x 轴不垂直，则M 与M重合CDAB