2022年中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何含答案 .pdf

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1、蚂蚁文库蚂蚁文库中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题第一部分真题精讲【例 1】(2010,密云,一模)如图,在梯形ABCD中,ADBC,3AD,5DC,10BC,梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t(秒)DNCMBA(1)当MNAB时,求t的值;(2)试探究:t为何值时,MNC为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态

2、条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N 是在动,意味着 BM,MC以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。【解析】解:(1)由题意知,当M、N运动到t秒时,如图,过D作DEAB交BC于E点,则四边形ABED是平行四边形ABMCNEDABDE,ABMNDEMN(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN 放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)MCN

3、CECCD(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)蚂蚁文库蚂蚁文库1021035tt解得5017t【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC 即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论:当MNNC时,如图作NFBC交BC于F,则有2MCFC即(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)4sin5DFCCD,3cos5C,310225tt,解得258t 当MN

4、MC时,如图,过M作MHCD于 H则2CNCH,32 1025tt6017t 当MCCN时,则102tt103t综上所述,当258t、6017或103时,MNC为等腰三角形【例 2】(2010,崇文,一模)在 ABC 中,ACB=45o点 D(与点 B、C 不重合)为射线BC 上一动点,连接AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形ADEF(1)如果 AB=AC 如图,且点D 在线段 BC 上运动试判断线段CF 与 BD 之间的位置关系,并证明你的结论(2)如果 ABAC,如图,且点D 在线段 BC 上运动(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF 的边 DE 所在直线与线段C

5、F 所在直线相交于点P,设 AC 4 2,3BC,CD=x,求线段 CP 的长(用含x的式子表示)ABMCNFDABMCNHD文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q

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12、所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】:(1)结论:CF 与 BD 位置关系是垂直;证明如下:AB=AC,ACB=45o,ABC=45o由正方形ADEF 得AD=AF,DAF=BAC=90o,DAB=FAC,DAB FAC,ACF=ABD BCF=ACB+ACF=90o即CF BD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样

13、找AC 的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CFBD(1)中结论成立理由是:过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G,AC=AG 可证:GAD CAF ACF=AGD=45oBCF=ACB+ACF=90o即 CFBD【思路分析3】这一问有点棘手,D 在 BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出 CP.(3)过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点Q,点 D 在线段 BC 上运动时,BCA=45o,可求出AQ=CQ=4 DQ=4-x,易证 AQD

14、DCP,CPCDDQAQ,44CPxx,24xCPx点 D 在线段 BC 延长线上运动时,BCA=45o,可求出AQ=CQ=4,DQ=4+x 过 A 作ACAG交 CB 延长线于点G,则ACFAGDCFBD,AQD DCP,CPCDDQAQ,44CPxx,24xCPx【例 3】(2010,怀柔,一模)已知如图,在梯形ABCD中,24ADBCADBC,点M是AD的中点,MBC是等边三角形GABCDEF文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K1

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21、10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1蚂蚁文库蚂蚁文库(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且60MPQ保持不变 设PCxMQy,求y与x的函数关系式;(3)在(2)中,当y取最小值时,判断PQC的形状,并说明理由【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了

22、。第二问和例1 一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定 MPQ=60,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)证明:MBC是等边三角形60MBMCMBCMCB,M是AD中点AMMDADBC60AMBMBC,60DMCMCBAMBDMCABDC梯形ABCD是等腰梯形(2)解:在等边MBC中,4MBMCBC,60MBCMCB,60MPQ120BMPBPMBPMQPC(这个角度传递非常重要

23、,大家要仔细揣摩)BMPQPCBMPCQPPCCQBMBPPCxMQy,44BPxQCy,444xyx2144yxx(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求 PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。(3)解:PQC为直角三角形A D C B P M Q 60文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3

24、A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1

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30、 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1蚂蚁文库蚂蚁文库21234yx当y取最小值时,2xPCP是BC的中点,MPBC,而60MPQ,30CPQ,90PQC以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是

31、保持不变的。当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例 4】2010,门头沟,一模已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG CG,(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图 1 中BEF绕B点逆时针旋转45,如图 2 所示,取DF中点G,连接EG CG,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明(3)将图 1 中BEF绕B点旋转任意角度,如图3 所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)图 3图 2 图 1FEABCDABCDEFGGFEDC

32、BA【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将 BEF旋转 45之后,很多考生就想不到思路了。事实上,本题的核心条件就是G 是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其他条件,单看G 点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G 点做 AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1)CGEG(2)(1)中结论没有发生变化,即CG

33、EG证明:连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中,ADCDADGCDGDGDG,DAGDCGAGCG在DMG与FNG中,DGMFGNFGDGMDGNFG,MN图2 ABCDEFG文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8

34、Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 Z

35、V9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2

36、J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档

37、编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5

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39、10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 H

40、L5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1蚂蚁文库蚂蚁文库DMGFNGMGNG在矩形AENM中,AMEN在Rt AMG与Rt ENG中,AMENMGNG,AMGENGAGEGEGCG【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果BEF 任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?如果题目要求证明,应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在 BEF 的旋转过程中,始终不变的依然是G 点是 FD 的中点。可以延长一倍EG 到 H,从而构造一个和 EFG 全等的三角形,利用B

41、E=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等,利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立【例 5】(2010,朝阳,一模)已知正方形ABCD 的边长为 6cm,点 E 是射线 BC 上的一个动点,连接 AE 交射线 DC 于点 F,将ABE沿直线 AE 翻折,点B 落在点 B处(1)当CEBE=1 时,CF=_cm,(2)当CEBE=2 时,求 sinDAB 的值;(3)当CEBE=x 时(点 C 与点 E 不重合),请写出ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式,(只要写出结

42、论,不要解题过程)【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。【解析】(1)CF=6 cm;(延长之后一眼看出,EAZY)(

43、2)如图 1,当点 E 在 BC 上时,延长AB交 DC 于点 M,AB CF,ABE FCE,FCABCEBECEBE=2,CF=3 AB CF,BAE=FC A D B 图 1 G图3FEABCD文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 Z

44、V9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2

45、J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档

46、编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5

47、R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K

48、10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 H

49、L5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8Q9C1 ZV9Y8P2J8E1文档编码:CF5R10E5K10F1 HL5H3A8

50、Q9C1 ZV9Y8P2J8E1蚂蚁文库蚂蚁文库又 BAE=B AE,B AE=FMA=MF 设 MA=MF=k,则 MC=k-3,DM=9-k 在 RtADM 中,由勾股定理得:k2=(9-k)2+62,解得k=MA=132 DM=52(设元求解是这类题型中比较重要的方法)sinDAB=135AMDM;如图 2,当点 E 在 BC 延长线上时,延长AD 交 B E 于点 N,同可得NA=NE 设 NA=NE=m,则 B N=12-m在 RtAB N中,由勾股定理,得m2=(12-m)2+62,解得m=AN=152 B N=92 sinDAB=53ANNB(3)当点 E 在 BC 上时,y=1

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