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1、中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题第一部分真题精讲【例 1】（ 2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD中，ADBC，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t（秒）DNCMBA（1）当MNAB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系
2、求解。 对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言， M，N 是在动， 意味着 BM,MC以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时， 如图， 过D作DEAB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形ABMCNEDABDE，ABMNDEMN（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）MCNCE
3、CCD（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页1021035tt解得5017t【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论： 当MNNC时，如图作NFBC交BC于F，则有2MCFC即（利用等腰三角形底边
4、高也是底边中线的性质）4sin5DFCCD，3cos5C，310225tt，解得258t 当MNMC时，如图，过M作MHCD于 H则2CNCH，32 1025tt6017t 当MCCN时，则102tt103t综上所述，当258t、6017或103时，MNC为等腰三角形【例 2】（ 2010，崇文，一模）在 ABC 中， ACB=45o点 D（与点 B、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形ADEF （1）如果 AB=AC 如图，且点D 在线段 BC 上运动试判断线段CF 与 BD 之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果 ABAC ，如图，且点
5、D 在线段 BC 上运动（ 1）中结论是否成立，为什么？（3） 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P， 设 AC 4 2，3BC， CD=x，求线段 CP 的长（用含x的式子表示）ABMCNFDABMCNHD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，
6、就可以得解。【解析】：（1）结论： CF 与 BD 位置关系是垂直；证明如下：AB=AC ， ACB=45o， ABC=45o由正方形ADEF 得AD=AF ， DAF= BAC =90o， DAB= FAC ， DAB FAC ， ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o即CF BD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CFBD (1)中结论成立理由是：过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G， AC=AG 可证： GAD CAF ACF
7、= AGD=45oBCF=ACB+ ACF= 90o即 CFBD 【思路分析3】这一问有点棘手，D 在 BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出 CP. （3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点Q，点 D 在线段 BC 上运动时， BCA=45o，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证 AQD DCP，CPCDDQAQ，44CPxx，24xCPx点 D 在线段 BC 延长线上运动时， BCA=45o，可求出AQ= CQ=4 ，DQ=4+x 过 A 作AC
8、AG交 CB 延长线于点G，则ACFAGDCFBD ，AQD DCP，CPCDDQAQ，44CPxx，24xCPx【例 3】（ 2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC，点M是AD的中点，MBC是等边三角形（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；GABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页（2） 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动， 且60MPQ保持不变 设PCxMQy，求y与x的函数关系式；（3）在（ 2）中，当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由【思路分析1】本题有一点综合
9、题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1 一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定 MPQ=60 ，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】（1）证明：MBC是等边三角形60MBMCMBCMCB，M是AD中点AMMDADBC60AMBMBC，60DMCMCBAMBDMCABDC梯形ABCD是等腰
10、梯形（2）解：在等边MBC中，4MBMCBC，60MBCMCB，60MPQ120BMPBPMBPMQPC(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) BMPQPCBMPCQPPCCQBMBPPCxMQy，44BPxQCy，444xyx2144yxx(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求 PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4 ，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解：PQC为直角三角形21234yx当y取最小值时，2
11、xPCA D C B P M Q 60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页P是BC的中点，MPBC，而60MPQ，30CPQ，90PQC以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例 4】2010，门头沟，一模已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接D
12、F，G为DF中点，连接EG CG，（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图 1 中BEF绕B点逆时针旋转45，如图 2 所示，取DF中点G，连接EG CG，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图 1 中BEF绕B点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）图 3图 2 图 1FEABCDABCDEFGGFEDCBA【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将 BEF旋转 4
13、5之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做 AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1）CGEG（2）（ 1）中结论没有发生变化，即CGEG证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，ADCDADGCDGDGDG，DAGDCGAGCG在DMG与FNG中，DGMFGNFGDGMDGNFG，DMG
14、FNGMGNG在矩形AENM中，AMENMN图2 ABCDEFGG图3FEABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页在Rt AMG与Rt ENG中，AMENMGNG，AMGENGAGEGEGCG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在 BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是G
15、点是 FD 的中点。 可以延长一倍EG 到 H，从而构造一个和 EFG 全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3）（ 1）中的结论仍然成立【例 5】（ 2010，朝阳，一模）已知正方形ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点， 连接 AE 交射线 DC 于点 F，将ABE沿直线 AE 翻折，点B 落在点 B处（1）当CEBE=1 时， CF=_cm，（2）当CEBE=2 时，求 sinDAB 的值；（3）当CEBE= x 时（点 C 与
16、点 E 不重合），请写出ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在 BC 上和 E 在延长线上都是
17、可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY ）（2）如图 1，当点 E 在 BC 上时，延长AB交 DC 于点 M， AB CF，ABE FCE，FCABCEBECEBE=2， CF=3 AB CF， BAE= F又 BAE= B AE ， B AE= FMA=MF 设 MA=MF=k ，则 MC=k -3 ，DM=9-k 在 RtADM 中，由勾股定理得：C A D B 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页k2=(9-k)2+62 ， 解得k=MA
18、=132 DM=52（设元求解是这类题型中比较重要的方法） sinDAB =135AMDM；如图 2，当点 E 在 BC 延长线上时，延长AD 交 B E 于点 N，同可得NA=NE 设 NA=NE=m ，则 B N= 12-m在 RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62 ， 解得 m=AN=152 B N=92 sinDAB =53ANNB（3）当点 E 在 BC 上时， y=18xx1；（所求 A B E 的面积即为ABE 的面积，再由相似表示出边长）当点 E 在 BC 延长线上时，y=18x18x【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形
19、动这么几种可能的方式。 动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了 .为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有
20、静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考 1】 2009，石景山，一模已知： 如图（1），射线/AM射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动 （点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持ECDE，且aABDEAD（1）求证：ADEBEC；（2）如图（
21、2），当点E为AB边的中点时，求证：CDBCAD；图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页（3）设mAE，请探究：BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示BEC的周长；若无关，请说明理由第 25 题（ 1）第 25 题（ 2）【思路分析】 本题动点较多， 并且是以和的形式给出长度。思考较为不易， 但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那
22、么就无关，于是就可以得出结论了。【思考 2】 2009，西城，二模ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0 PBC180 ，且 PBC 平分线上的一点D 满足 DB=DA ，（1）当 BP 与 BA 重合时（如图1）， BPD= ；（2）当 BP 在 ABC 的内部时（如图2），求 BPD 的度数；（3）当 BP 在 ABC 的外部时，请你直接写出BPD 的度数，并画出相应的图形【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及 D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且 DB=DA ，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P 点的轨迹就
23、是以B 为圆心， BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下 【思考 3】 2009，怀柔，二模如图：已知，四边形ABCD 中， AD/BC ， DCBC，已知 AB=5 ，BC=6 ，cosB=35点 O 为 BC 边上的一个动点，连结OD，以 O 为圆心， BO 为半径的 O 分别交边AB 于点 P，交线段OD 于点 M，交射线BC 于点 N，连结 MN （1）当 BO=AD 时，求 BP 的长；（2）点 O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；（3）在点 O 运动的过程中，以点C 为圆心， CN 为半径
24、作 C，请直接写出当C 存在时， O 与 C的位置关系，以及相应的C 半径 CN 的取值范围。A D P M A D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN 和 BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考 4】 2009，北京在ABCD中，过点 C 作 CECD 交 A
25、D 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得到线段EF(如图 1) （1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连结EP1 绕点 E 逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若 AD=6,tanB=43,AE=1, 在的条件下，设CP1=x，S11PFC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值
26、范围 . 【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分思考题解析【思考 1 解析】（1）证明：ECDE，90DEC90BECAED又90BA，90EDAAEDEDABECADEBEC（2）证明：如图，过点E作EFBC/，交CD于点F，第
27、 25 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页E是AB的中点，容易证明)(21BCADEF在DECRt中，CFDF，CDEF21)(21BCADCD21CDBCAD（3）解：AED的周长DEADAEma，maBE设xAD，则xaDE90A，222ADAEDE即22222xmxaxaamax222由（ 1）知ADEBEC，的周长的周长BECADEBEADmaama222ama2BEC的周长maa2ADE的周长a2BEC的周长与m值无关【思考 2 答案】解：（ 1） BPD= 30 ；（2）如图 8，连结 CD解一：点
28、D 在 PBC 的平分线上， 1=2 ABC 是等边三角形， BA=BC=AC ， ACB= 60 BP=BA ， BP=BC BD= BD ， PBD CBD BPD=3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， BCD ACD 134302ACB图 8 4321DABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页 BPD =30 解二：ABC 是等边三角形， BA =BC=AC DB=DA ， CD 垂直平分AB134302ACB BP=BA
29、， BP=BC 点 D 在 PBC 的平分线上， PBD 与 CBD 关于 BD 所在直线对称 BPD=3 BPD =30 （3） BPD= 30或150图形见图9、图 10【思考 3 解析】解：（ 1）过点 A 作 AEBC,在 RtABE 中，由 AB=5 ，cosB=35得 BE=3CDBC，AD/BC ，BC=6 ，AD=EC=BC BE=3当 BO=AD=3 时，在 O 中，过点O 作 OHAB, 则 BH=HP cosBHBBO,BH=39355BP=185（2）不存在 BP=MN 的情况 - 假设 BP=MN 成立，BP 和 MN 为 O 的弦，则必有BOP=DOC. 过 P 作
30、 PQBC，过点 O 作 OHAB, CDBC，则有 PQO DOC- 设 BO=x ，则 PO=x,由3cos5BHBx，得 BH=35x, BP=2BH=65x. BQ=BP cosB=1825x，PQ=2425x图 9 或DABCPDACBP图10 DABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页OQ=1872525xxx PQO DOC，PQDCOQOC即244257625xxx，得296x当296x时， BP=65x=2955=AB ，与点 P 应在边 AB 上不符，不存在BP=MN 的情况 . （3）情况
31、一： O 与 C 相外切，此时，0CN 6；-7 分情况二： O 与 C 相内切，此时，0CN 73.-8 分【思考 4 解析】解：（ 1）直线1FG与直线CD的位置关系为互相垂直证明：如图1，设直线1FG与直线CD的交点为H线段1ECEP、分别绕点E逆时针旋转90依次得到线段1EFEG、，111190PEGCEFEGEPEFEC ，1190G EFPEF，1190PECPEF，11G EFPEC11G EFPEC11G FEPCEECCD，190PCE，190G FE90EFH90FHC1FGCD按题目要求所画图形见图1，直线12G G与直线CD的位置关系为互相垂直（2）四边形ABCD是平行
32、四边形，A B C D O P M N Q H F D C B A E 图 1 G2 G1 P1 H P2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页BADC461 tan3ADAEB，45 tantan3DEEBCB，可得4CE由（ 1）可得四边形EFCH为正方形4CHCE如图 2，当1P点在线段CH的延长线上时，1114FGCPxPHx，11111(4)22PFGx xSFGPH212 (4)2yxx x如图 3，当1P点在线段CH上（不与CH、两点重合）时，1114FGCPxPHx，11111(4)22PFGxxSFGPH212 (04)2yxxx当1P点与H点重合时，即4x时，11PFG不存在综 上 所 述 ，y与x之 间 的 函 数 关 系 式 及 自 变 量x的 取 值 范 围 是212 (4)2yxx x或212 (04)2yxxxD G1 P1 H C B A E F 图 2 F G1 P1 C A B E D H 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页