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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题第一部分 真题精讲【例 1】（ 2022,密云,一模）如图,在梯形 ABCD 中, ADBC,AD 3,DC 5,BC 10,梯形的高为 4 动点 M 从 B 点动身沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点动身沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t （秒）A DNBMC（1）当MNAB 时,求t的值；（2）摸索究：t为何值时,MNC 为等腰三角形【思路分析 1】此题作为密云卷压轴题,自然有肯定难度,题目中显现了两个动点,许多同
2、学看到可能就会无从下手；但是解决动点问题,第一就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解； 对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬时,就此题而言, M ,N 是在动, 意味着 BM,MC以及 DN,NC 都是变化的；但是我们发觉,和这些动态的条件亲密相关的条件 DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的；所以当题中设定 MN/AB 时,就变成了一个静止问题；由此,从这些条件动身,列出方程,自然得出结果；【解析】解：（1）由题意知,当M 、N运动到 t 秒时, 如图, 过 D 作 DEAB交BC于 E 点,就四边形ABED是平行四边形A DNBEMCABD
3、E,ABMNMN 放在三角形内,将动态DEMN（依据第一讲我们说梯形内帮助线的常用做法,胜利将问题转化成平行时候的静态问题）名师归纳总结 MCNC（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）第 1 页,共 13 页ECCD - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 102tt解得t50103517【思路分析 于是就漏掉了2】其次问失分也是最严峻的,许多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC 即可,MN=MC,MC=CN这两种情形；在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形,肯定不要忘记分类争论的思想,两腰一底一个都不能少；详细分类以后,就成为了较为简洁的
4、解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情形争论： 当MNNC 时,如图作NFBC 交 BC 于 F ,就有MC2FC 即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）sinCDF4,AMDNCNHCCD5BFcosC3,5102t23 t,5解得t25CD 于 HAMD8 当MNMC 时,如图,过M 作MH就CN2 CH ,t2 102 t35Bt6017 当MCCN 时,就102tt t103综上所述,当t25、6010MNC817 或3 时,为等腰三角形【例 2】（ 2022,崇文,一模）在 ABC 中, ACB=45o点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点,连接 A
5、D ,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）假如 AB=AC 如图,且点 D 在线段 BC 上运动试判定线段 CF 与 BD 之间的位置关系,并证明你的结论（2）假如 AB AC ,如图,且点D 在线段 BC 上运动（ 1）中结论是否成立,为什么？名师归纳总结 （3）如正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P,设 AC 4 2,BC3,CD=x,求线段 CP 的长（用含x 的式子表示）第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析 1】此题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动
6、点静止,而此题并未给出那个“ 静止点” ,所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的；由题我们发觉,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解；【解析】：（1）结论： CF 与 BD 位置关系是垂直；证明如下：AB=AC , ACB=45o, ABC=45o由正方形 ADEF 得 AD=AF , DAF= BAC =90o, DAB= FAC , DAB FAC , ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o即 CF BD【思路分析 2】这一问是典型的从特别到一般的问法,那么思路很简洁,就是从一般中构筑一个特别的条件就行,于
7、是我们和上题一样找AC 的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解；（2）CFBD 1中结论成立A所以理由是：过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G, AC=AG F可证：GAD CAF ACF= AGD=45oBGDECBCF=ACB+ ACF= 90o即 CFBD 【思路分析3】这一问有点麻烦, D 在 BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的,已给的线段长度就需要分情形去考虑究竟是 求出 CP. 4+X 仍是 4-X ；分类争论之后利用相像三角形的比例关系即可（3）过点 A 作 AQ BC 交 CB 的延长线于点 Q,点 D 在线段 BC 上运动时, BCA=45o
8、 ,可求出 AQ= CQ=4 DQ=4-x ,x,CPCDCP易证 AQD DCP,DQAQ,4x4CPx2x4点 D 在线段 BC 延长线上运动时, BCA=45o ,可求出 AQ= CQ=4 ,DQ=4+x 过 A 作 AG AC 交 CB 延长线于点 G,就 AGD ACFCFBD ,CP CD CP x AQD DCP,DQ AQ,4 x 4,2xCP x4【例 3】（ 2022,怀柔,一模）已知如图,在梯形ABCD 中,ADBC,AD2,BC4,点 M 是 AD 的中点,MBC是等边三角形名师归纳总结 （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；第 3 页,共 13 页- - - - -
9、- -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动, 且MPQ60保持不变 设PCx,MQy,求 y与x的函数关系式；（3）在（ 2）中,当y取最小值时,判定PQC的外形,并说明理由A M D B P 60Q C 【思路分析 1】此题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点仍是在考察几何方面；第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了；其次问和例 1 一样是双动点问题,所以就需要争论在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的；题目给定 MPQ=60 ,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来
10、 .由于最终求两条线段的关系 ,所以我们很自然想到要通过相像三角形找比例关系 .怎么证相像三角形呢 . 当然是利用角度咯 .于是就有了思路 . 【解析】（1）证明：MBC是等边三角形MBMC,MBCMCB60,M是AD中点AMMDADBCAMBMBC60DMCMCB60AMBDMCABDC梯形ABCD是等腰梯形名师归纳总结 （2）解：在等边MBC中,MBMCBC4,MBCMCB60,第 4 页,共 13 页MPQ60BMPBPMBPMQPC120这个角度传递特别重要,大家要认真揣摩 BMPQPCBMPCQPPCCQBMBPPCx,MQyBP4x,QC4yx4yy1x2x4设元以后得出比例关系,
11、轻松化成二次函数的样子 44x4【思路分析2】第三问的条件又回来了当动点静止时的问题；由其次问所得的二次函数,很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值；接下来就变成了“ 给定PC=2,求 PQC 外形” 的问题了；由已知的 BC=4 ,自然看出P是中点,于是问题轻松求解；（3）解：PQC为直角三角形y1x223当y 取最小值时,xPC24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P是BC的中点,MPBC,而MPQ60, CPQ30,PQC90以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中显现特别条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题
12、化为静态问题去求解；假如没有特别条件,那么就需要争论在动点移动中哪些条件是保持不变的；当动的不是点,而是一些详细的图形时,思路是不是一样呢.接下来我们看另外两道题. 【例 4】2022,门头沟,一模已知正方形 ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF BD 交BC于 F ,连接 DF ,G为 DF 中点,连接EG CG（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 ,如图 2 所示,取 DF 中点 G ,连接EG CG,你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图 1 中BEF 绕 B 点旋
13、转任意角度,如图3 所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）ADADADGG E FE E FBF C B C B C图 1 图 2 图 3【思路分析 1】这一题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题；从旋转 45 到旋转任意角度,要求考生争论其中的不动关系；第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等；其次问将BEF旋转 45 之后,许多考生就想不到思路了；事实上,此题的核心条件就是G 是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在；连接 AG 之后,抛开其他条件,单看 G 点所在的四边形 ADFE ,我们
14、会发觉这是一个梯形,于是依据我们在第一讲专题中所争论的方法,自然想到过 G 点做 AD,EF 的垂线；于是两个全等的三角形显现了；（1）CG EG（2）（ 1）中结论没有发生变化,即 CG EG 证明：连接 AG ,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于 N 点在 DAG 与 DCG 中,AD CD,ADG CDG,DG DG,A MDDAGDCGAG CG G在 DMG 与 FNG 中,E F NDGM FGN,FG DG,MDG NFG,B C图 2 DMGFNGMGNGADG名师归纳总结 在矩形AENM中,AMENEBF图3C第 5 页,共 13 页- - - - -
15、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在Rt AMG与Rt ENG中,AM EN,MG NG,AMGENGAG EG EG CG【思路分析 2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎全部人都会答出仍旧成立；但是我们不应当止步于此；将这道题放在动态问题专题中也是出于此缘由,假如BEF 任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢？假如题目要求证明,应当如何摸索；建议有余力的同学自己争论一下,笔者在这里供应一个思路供参 考：在BEF 的旋转过程中,始终不变的依旧是 G 点是 FD 的中点； 可以延长一倍 EG 到 H,从而构造一个 和 EFG 全等的三角形,利用 BE=EF 这一条件将全等
16、过渡；要想方法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角 形,就需要证明三角形 EBC 和三角形 CGH 全等,利用角度变换关系就可以得证了；（3）（ 1）中的结论仍旧成立【例 5】（ 2022,朝阳,一模）已知正方形 ABCD 的边长为 6cm,点 E 是射线 BC 上的一个动点, 连接 AE 交射线 DC 于点 F,将 ABE 沿直线 AE 翻折,点 B 落在点 B 处BE=1 时, CF=_cm,A B （1）当 CEBE（2）当 CE=2 时,求 sinDAB的值；D C BE（3）当 CE= x 时（点 C 与点 E 不重合）,请写出 ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与
17、x 的关系式,（只要写出结论,不要解题过程）【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折（就是轴对称）也是一大热点；这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,其次问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目；同学们需要认真把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化；一 般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系；特别留意的是, 此题中给定的比例都是有两重情形的,E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的,所以需要大家分类争论,不要遗漏；【解析】（1）CF= 6 cm；
18、 （延长之后一眼看出,EAZY ）图 1 （2） 如图 1,当点 E 在 BC 上时,延长AB 交 DC 于点 M ,BEAB AB CF, ABE FCE,CEFCBECE=2, CF=3 AB CF, BAE= F又 BAE= B AE, B AE=FMA=MF 设 MA=MF=k ,就 MC=k -3 ,DM=9-k 在 Rt ADM 中,由勾股定理得：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13 5k2=9-k2+62 , 解得 k=MA= 2 DM= 2 （设元求解是这类题型中比较重要的方法）DM 5 sinD
19、AB = AM 13；如图 2,当点 E 在 BC 延长线上时,延长 AD 交 B E于点 N,同可得 NA=NE 设 NA=NE=m ,就 B N=12-m在 Rt AB N中,由勾股定理,得15m2=12-m2+62 , 解得 m=AN=2 3图 2 BN9 B N= 2 sinDAB =AN518x（3）当点 E 在 BC 上时, y= x 1；（所求 A B E的面积即为ABE 的面积,再由相像表示出边长）18x 18当点 E 在 BC 延长线上时, y= x【总结】通过以上五道例题,我们争论了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式； 动态几何问题往往作为压轴题来
20、出 ,所以难度不言而喻 ,但是期望考生拿到题以后不要慌张 ,由于无论是题目以哪种外形显现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量；只要条分缕析 ,一个个将条件抽出来,将大问题化成如干个小问题去解决 ,就很轻松了 .为更好的帮忙考生 ,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、认真读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的；针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类争论；针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系；其次、画出图形,进行分析,特别在于找准运动过程中静止的那一瞬时题目间各个变量的关系；假如没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间
21、的函数关系来争论；第三、做题过程中时刻留意分类争论,不同的情形下题目是否有不同的表现,许多同学丢分就丢在没有争论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键；其次部分 发散摸索【摸索 1】 2022,石景山,一模名师归纳总结 已知： 如图（ 1）,射线AM/射线BN,AB是它们的公垂线,点D、C分别在AM、BN上运动 （点D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合）,E 是 AB 边上的动点（点E 与 A 、 B 不重合）,在运动过程中始终保持DEEC,且ADDEABaCD；（1）求证：ADE BE
22、C ；（2）如图（ 2）,当点E为AB边的中点时,求证：ADBC第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）设AEm,请探究：BEC 的周长是否与 m 值有关？如有关,请用含有 m 的代数式表示BEC的周长；如无关,请说明理由第 25 题（ 1）第 25 题（ 2）【思路分析】 此题动点较多, 并且是以和的形式给出长度；摸索较为不易, 但是图中有多个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析；第三问运算周长,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,看是否为定值,假如是关于 于是就可以得出结论了；【摸索 2】 20
23、22,西城,二模M 的函数,那么就是有关,假如是一个定值,那么就无关, ABC 是等边三角形,P 为平面内的一个动点,BP=BA ,如0 PBC180,且 PBC 平分线上的一点 D 满意 DB=DA ,（1）当 BP 与 BA 重合时（如图 1）, BPD= ；（2）当 BP 在 ABC 的内部时（如图 2）,求 BPD 的度数；（3）当 BP 在 ABC 的外部时,请你直接写出BPD 的度数,并画出相应的图形【思路分析】此题中,和动点 P 相关的动量有PBC,以及 D 点的位置,但是不动的量就是 BD 是平分线并且 DB=DA ,从这几条动身,可以利用角度相等来找出相像、全等三角形；事实上
24、,P 点的轨迹就是以B 为圆心, BA 为半径的一个圆,那 D 点是什么呢？留给大家摸索一下 【摸索 3】 2022,怀柔,二模3如图：已知,四边形 ABCD 中, AD/BC , DC BC,已知 AB=5 ,BC=6 ,cosB= 5 点 O 为 BC 边上的一个动点,连结 OD ,以 O 为圆心, BO 为半径的 O 分别交边 AB 于点 P,交线段OD 于点 M,交射线 BC 于点 N,连结 MN （1）当 BO=AD 时,求 BP 的长；（2）点 O 运动的过程中,是否存在BP=MN 的情形？如存在,恳求出当BO 为多长时 BP=MN ；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）在点
25、 O 运动的过程中,以点C 为圆心, CN 为半径作 C,请直接写出当C 存在时, O 与 C的位置关系,以及相应的C 半径 CN 的取值范畴；第 8 页,共 13 页A D A D P M - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于此题牵扯到了有关圆的动点问题；在和圆有关的问题当中,时刻不要遗忘的就是圆的半径始终相等这一个隐匿的静态条件；此题第一问比较简洁,等腰梯形中的运算问题；其次问就需要用设元的方法表示出 分类分情形争论；【摸索 4】 2022,北京MN 和 BP,从而争论他们的数量关系；第三问的猜想肯定要记得在 A
26、BCD 中,过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF如图 1 （1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（ P1 不与 C 重合）时,连结EP1 绕点 E 逆时针旋转90得到线段EC1.判定直线 FC1 与直线 CD 的位置关系,并加以证明；当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时,连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转90得到线段 EC2.判定直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论 . 4（2）如 AD=6,tanB= 3 ,AE=1, 在的条件下,设 CP1=x ,S
27、 PFC = y ,求 y 与 x之间的函数关系式,并写出自变量 x的取值范畴 . 【思路分析】此题是去年中考原题,虽不是压轴,但动点动线一起考出来,难倒了不少同学；事实上就在于如何把握这个旋转90 的条件；旋转90 自然就是垂直关系,于是又显现了一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了；其次问一样是利用平行关系建立函数式,但是实际过程中许多同学依旧遗忘分类争论的思想,漏掉了许多种情形,失分特别惋惜；建议大家认真争论这道中考原题,依据上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营的去解答；第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】名师归纳总结 （1）证明：DEEC,DEC90AEDBEC90第 25 题
28、第 9 页,共 13 页又AB90,AEDEDA90BECEDAADE BEC （2）证明：如图,过点E 作 EF/BC,交CD于点F,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E 是 AB 的中点,简洁证明EF1ADBCxamx22在RtDEC中,DFCF,EF1CD21ADBC1CD22ADBCCD（3）解：AED 的周长AEADDEam,BE设ADx,就DEax2m2A90,DE2AE2AD2即a22 axxa22m2a由（ 1）知ADE BEC ,ADE的周长ADa22m2amaBEC的周长aBEm2 a2aBEC 的周长amADE 的周长2aBEC
29、的周长与 m 值无关【摸索 2 答案】解：（ 1） BPD= 30 ；AP（2）如图 8,连结 CD解一：点 D 在 PBC 的平分线上, 1=2 ABC 是等边三角形,B1 2D4 3C BA=BC=AC , ACB= 60 图 8 BP=BA , BP=BC BD= BD , PBD CBD BPD= 3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 DB=DA ,BC=AC ,CD=CD , BCD ACD 名师归纳总结 341ACB30第 10 页,共 13 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BPD =30 解二
30、： ABC 是等边三角形, BA =BC=AC DB=DA , CD 垂直平分 AB 341ACB302 BP=BA , BP=BC 点 D 在 PBC 的平分线上, PBD 与 CBD 关于 BD 所在直线对称 BPD= 3 BPD =30 （3） BPD= 30 或150图形见图 9、图 10PAAACDD或PDB【摸索 3 解析】BCBC图 P310 5 得 BE=3 图 9 解：（ 1）过点 A 作 AE BC,在 Rt ABE 中,由 AB=5 ,cosB=CDBC,AD/BC ,BC=6 ,AD=EC=BC BE=3 当 BO=AD=3 时,在 O 中,过点 O 作 OHAB, 就
31、 BH=HP BH cos B 3 3 9BO ,BH= 5 5 18BP= 5 （2）不存在 BP=MN 的情形 - 假设 BP=MN 成立,BP 和 MN 为 O 的弦,就必有BOP=DOC. 过 P 作 PQBC,过点 O 作 OH AB, CD BC,就有 PQO DOC- 名师归纳总结 BHxcosB3,得 BH=3x, 第 11 页,共 13 页设 BO=x ,就 PO=x,由x55BP=2BH=6x. 5BQ=BPcosB=18x,PQ=242525- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OQ=x18x7xB H P A M N D 2525
32、PQO DOC ,PQDC24x64x,得x2925 7xOQOC 即625当x29时, BP=6x=29655 5=AB ,与点 P 应在边 AB 上不符,Q O C 不存在 BP=MN 的情形 . （3）情形一： O 与 C 相外切,此时,0CN 6；-7 分7情形二： O 与 C 相内切,此时,0CN3 .-8 分【摸索 4 解析】解：（ 1）直线 FG 与直线 CD 的位置关系为相互垂直证明：如图 1,设直线 FG 与直线 CD 的交点为 H 线段 EC、EP 1 分别绕点E逆时针旋转 90 依次得到线段 EF、EG 1,PEG 1 1 CEF 90,EG 1 EP 1,EF ECG
33、EF 90PEF,PEC 90PEF,G EF PEC G EFPECG1 G FE PCE F G2 ECCD,H P1 PCE 90 ,A E D B C G FE 90 P2 图 1 EFH 90 FHC 90 FG 1CD按题目要求所画图形见图 1,直线 G G 与直线 CD 的位置关系为相互垂直（2）四边形ABCD是平行四边形,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 yBADC 1x22 x x4或AD6,AE1 tanB4,G1 3DE5 tanEBCtanB4A E F P1 H 3D 可得
34、CE4B 图 2 C 由（ 1）可得四边形EFCH 为正方形CHCE4如图 2,当1P点在线段 CH 的延长线上时,G1 F FG 11CP 1x,PHx4,4B A E D H SPFG 11FG1PHx xP1 22C 图 3 y12 x2 x x42如图 3,当1P点在线段 CH 上（不与 C、H两点重合）时,FG 1CP 1x,PHx4,SPFG 111FG1PHx4x22y1x22 0x42当1P点与 H 点重合时,即x4时,PFG 11不存在综 上 所 述 ,y与x之 间 的 函 数 关 系 式 及 自 变 量x的 取 值 范 围 是y21x22 0x4第 13 页,共 13 页2- - - - - - -