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1、一阶线性微分方程及其解法例1 求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分C例2求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分C注意到注意到:当当C=0时即时即y=0也是方程的解也是方程的解应用应用:衰变问题衰变问题:放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素其它元素,铀的含量不断减少铀的含量不断减少,由物理学知识由物理学知识,铀的衰变速度与未衰铀的衰变速度与未衰变的原子的含量变的原子的含量M M成正比成正比,已知已知t=0t=0时时,铀的含量为铀的含量为M M0,0,求衰变过程中求衰变过程中铀含量铀含量M(t)M(t)随随t t的变
2、化规律的变化规律解解变量分离变量分离两端积分两端积分即即又又故故故故,衰变规律为衰变规律为练习练习12.1第第3题题,增加一个条件增加一个条件:曲线过曲线过(2,3)点点,求曲线方程求曲线方程变量分离变量分离两端积分两端积分即即又又练习练习:12.2第第3题题两边求导得两边求导得:变量分离变量分离注意注意:这里隐藏一个初始条件这里隐藏一个初始条件利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为例例6变量代换变量代换是解方程的一种常用的手段是解方程的一种常用的手段二、齐次方程二、齐次方程形如形如的一阶微分方程称为齐次方程的一阶微分方程称为齐
3、次方程或或解法：解法：针对齐次方程针对齐次方程，作变量代换作变量代换 即即 ，则，则 将其代入原式，得：将其代入原式，得：，即，即 这是一个这是一个关于变量关于变量u与与x的的可分离变量的方程；可分离变量的方程；然后，利用分离变量法求得然后，利用分离变量法求得 例例1 求方程求方程 的通解的通解 解解 原方程化为原方程化为,即即 这是齐次方程，这是齐次方程，令令,即即 故故 代入得：代入得：进行分离变量整理，并两边积分，进行分离变量整理，并两边积分，故所求通解为：故所求通解为：这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程，得：得：书上还有一个例子，自己可以练习练习书上还有
4、一个例子，自己可以练习练习求求微分方程微分方程，满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解：解：方程可化为：方程可化为：它是齐次方程。令代入整理后，有分离变量，则有 两边积分，得 即 代入上式，于是所求方程的通解为 把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为 例例3 求方程求方程 的通解的通解 解：解：这是一个齐次方程。先将方程变形为这是一个齐次方程。先将方程变形为令令,即即，故故 代入得：代入得：这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程，分离变量分离变量，并两边积分，得：，并两边积分，得：故故 所以，原方程通解为所以，原方程通解为：五、小结五、小结本节主要内容是：
5、本节主要内容是：1齐次方程齐次方程 2齐次方程的解法：关键是令齐次方程的解法：关键是令，从而，从而 原方程转化为可分离原方程转化为可分离 变量方程去求解；变量方程去求解；，则，则，代入原方程后，代入原方程后，或或判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法一、一阶线性微分方程及其解法例例1 1在微分方程中，若在微分方程中，若未知函数未知函数和和未知函数的导数未知函数的导数都是一次都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。的，则称其为一阶线性微分方程。1.1.一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程的定义（是）（是）（是）（是）2.2.一阶线
6、性微分方程的一般式一阶线性微分方程的一般式3.3.一阶线性微分方程的分类一阶线性微分方程的分类 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性齐次齐次微微分方程。分方程。当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性非齐次非齐次微分方程。微分方程。或或齐次线性方程的通解为：齐次线性方程的通解为：1 齐次线性方程：齐次线性方程：求求解法解法:分离变量：分离变量：1.常数变易法常数变易法2 非齐次线性方程：非齐次线性方程：作变换作变换可分离变量方程可分离变量方程积分得积分得一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为的通解为:2.常数变易公式常数变易公式（2）
7、一阶线性非齐次微分方程）一阶线性非齐次微分方程常数变易法常数变易法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式齐次的齐次的通解通解非齐次的特解关于通解公式要注意：关于通解公式要注意：只表示某一只表示某一个函数个函数若 时，绝对值符号可不写即即特别注意特别注意：而是而是例例1 1、求微分方程、求微分方程的通解的通解.解法解法1 1（常数变易法）常数变易法）原方程变形为原方程变形为:对应的齐次方程为对应的齐次方程为 ：得通解为得通解为设原方程的解为设原方程的解为 从而从而 代入原方程得代入原方程得化简得化简得 两边积分，得两边积分，得 所以，原方程的通解所以，原方程的通解 解法解法2（用
8、公式法）（用公式法）把它们代入公式得把它们代入公式得解解例例2 2则通解为则通解为 解解练习练习则通解为则通解为 原方程变形为原方程变形为其中其中解解(不)例4通解：通解：因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为(讲讲)求以下方程在求以下方程在 下的特解下的特解原方程可化为：原方程可化为：原方程通解为：原方程通解为：或或求方程通解：求方程通解：若化为：若化为：则则不是不是一阶线性的一阶线性的而化为：而化为：则则是是一阶线性的一阶线性的再见书上习题再见书上习题解解例9(方法1)一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程选择题考点选择题考点（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，
9、间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序）大题考点大题考点1、求极限求极限2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）隐函数求导（一个方程和方程组情形）3、抽象函数求导抽象函数求导4、求极值、求极值5、直角坐标系下计算二重积分、直角坐标系下计算二重积分6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）7、解齐次方程、解齐次方程（令令U=U=。，转化为。，转化为U U和和X X的方程）的方程）8 8、解一阶线性方程、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）（用公式或常数变易
10、法）9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量例例 画草图如右画草图如右xyo注注：，即动点，即动点P P以以任意方式任意方式即沿即沿任意曲线任意曲线趋向定趋向定点点P P0 0时，都有时，都有f(P)Af(P)A求二重极限方法类似一元函数的一些求二重极限方法类似一元函数的一些方法方法：等价无穷小替换；：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）逼准则；换元；利用
11、公式和运算法则）等价无穷小替换等价无穷小替换；对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限注意注意：在多元函数中，：在多元函数中，洛必达法则不再适用洛必达法则不再适用，但如果通过换元后，但如果通过换元后的一元函数照样可用的一元函数照样可用例例求求或或用重要公式用重要公式原式原式例例求求无穷小的性质无穷小的性质设设确定确定两边对x求偏导数：再对上式对再对上式对x求偏导数：求偏导数：（按商的求导公式按商的求导公式）对于一阶偏导数，还可用公式法对于一阶偏导数，还可用公式法例例1讨论讨论(1)连续；连续；(2)偏导数存在；偏导数存在；
12、(3)可微可微.解解(1)=0=f(0,0)(2)(3)？则则r rr rw wr rr r22)(0)(0limlimyxxyxyxy+=例例2 证证令令则则同理同理故函数在点故函数在点(0,0)处连续处连续;下面证明：下面证明：可微可微.令令则则注注 此题表明此题表明,偏导数连续只偏导数连续只是是可微的可微的充分条件充分条件.而非而非必要条件必要条件.例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数机动
13、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 重复是学习之母重复是学习之母弗莱格弗莱格 世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间高尔基高尔基 谢谢大家对我的支持！祝大家考试取得好成绩！因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为二、一阶线性微分方程的应用
14、二、一阶线性微分方程的应用 1.分析问题分析问题,设出所求未知函数设出所求未知函数,确定初始条件。确定初始条件。2.建立微分方程。建立微分方程。3.确定方程类型确定方程类型,求其通解求其通解.4.代入初始条件求特解代入初始条件求特解.应用微分方程解决实际问题的步骤应用微分方程解决实际问题的步骤:例例5 5解解设所求曲线方程为设所求曲线方程为从而从而即即其中其中则通解为则通解为 因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比的速度成正比(比例系数比例系数 ，起跳时的速度为，起跳时的速度为0，求下落的速度与时间，求下落的速度与时间 的函数关系。的函数关系。例例6 6设速度与时间的函数关系为：设速度与时间的函数关系为：解解由牛顿第二定律知：由牛顿第二定律知：即即其中其中则通解为则通解为 因此所求速度与时间的函数关系为因此所求速度与时间的函数关系为三、小结三、小结 1.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢