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1、一阶与二阶常系数线性微一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法分方程及其解法德国数学家德国数学家 Leibniz 在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。纯粹和专有的功绩，那就正在这里。F.恩格斯恩格斯 英国数学家英国数学家Newton微积分学创始人微积分学创始人 The one real object of education is to have a man
2、 in the condition of continually asking questions.（教育的真正目（教育的真正目的是使人处于不断发问的状态）的是使人处于不断发问的状态）-Mandell Creighton（克莱顿）（克莱顿）Brevity is the soul of wit.（简洁是智慧的灵魂）（简洁是智慧的灵魂）-William Shakespeare（莎士比亚）（莎士比亚）Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）-F
3、rancis Hutcheson（哈奇森）（哈奇森）一位年迈的法国数学家说：一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此只有当你使数学变得如此明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理论才可以认为是完善的。论才可以认为是完善的。”-D.Hilbert（希尔伯特）（希尔伯特）Brevity is the soul of wit.（简洁是智慧的灵魂）（简洁是智慧的灵魂）-William Shakespeare（莎士比亚）（莎士比亚）Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the b
4、est means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）-Francis Hutcheson（哈奇森）（哈奇森）退出退出四四五五二一一退出退出Chpt.7 Chpt.7 常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的主要解法常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的主要解法专题专题三三退出退出返回返回本章只讨论常微方程。简例如下：本章只讨论常微方程。简例如下：2.常微方程分类命名法常微方程分类命名法 含一元未知函数的导函数或因变量含一元未知函数的导函数或因变量1.何谓常微分方程何谓常微分方程经验指出，常微方程中未知函数及其经验指出，常微方程中未知函数及其非线性方
5、程，剩下的都是线性方程。非线性方程，剩下的都是线性方程。显然，简例中阶数最高的方程是显然，简例中阶数最高的方程是(5)，它们统称为高阶方程）。剩下的方程全它们统称为高阶方程）。剩下的方程全为三阶方程；其次是为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程（，为二阶方程（是一阶方程（尤其含有微分者更如此）是一阶方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自变量的微分的等式称为的微分以及自变量的微分的等式称为数或因变量的微分及其多个自变量的数或因变量的微分及其多个自变量的常微分方程；含多元未知函数的偏导常微分方程；含多元未知函数的偏导常微方程按其内所含未知函数的最高常微方程按其内所含未知函数的最高阶数来分类并命名。
6、最高阶数是几，方阶数来分类并命名。最高阶数是几，方程就被称为几阶方程。程就被称为几阶方程。导数的幂次是否全为一次，决定了未知导数的幂次是否全为一次，决定了未知函数的具体结构能否被解出来的难度。函数的具体结构能否被解出来的难度。全为一次的方程称为线性方程，否则称全为一次的方程称为线性方程，否则称为非线性方程。易见，简例唯有为非线性方程。易见，简例唯有(2)是是的微分的等式称为偏微分方程。的微分的等式称为偏微分方程。退出退出返回返回3.常微方程的特解与通解常微方程的特解与通解常微方程的通解多数都能囊括方程的常微方程的通解多数都能囊括方程的例外）。不被通解囊括的以及通解中的例外）。不被通解囊括的以及
7、通解中的例例1-1 验证方程验证方程 的通解的通解任何含自变量与因变量的表达式，若任何含自变量与因变量的表达式，若能由之恒等地推出给定的常微方程时，能由之恒等地推出给定的常微方程时，都称为该常微方程的解；解若含有任意都称为该常微方程的解；解若含有任意所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有常数、且不能合并的任意常数的个数恰常数、且不能合并的任意常数的个数恰任意常数取特定值后所得出的对应解称任意常数取特定值后所得出的对应解称证证是是好等于方程的阶数时称为方程的通解。好等于方程的阶数时称为方程的通解。为方程的特解。为方程的特解。由于表达式中仅含一个任意常数，个数由于表达
8、式中仅含一个任意常数，个数可见，给定的表达式是给定方程的解；可见，给定的表达式是给定方程的解；明显与方程的阶数（一阶）相等，故此明显与方程的阶数（一阶）相等，故此解是方程的通解。解是方程的通解。证毕。证毕。退出退出返回返回的通解。的通解。解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例2-1 2-1 求一阶非线性微分方程求一阶非线性微分方程即即非线性方程的通解（包括特解）非线性方程的通解（包括特解）往往用隐函数的形式书写比较简洁。往往用隐函数的形式书写比较简洁。有些非线性方程偶尔可经变元代换化有些非线性方程偶尔可经变元代换化成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材P2
9、36之例之例4与例与例5），但转换过程琐碎，明），但转换过程琐碎，明显不如凑微分法来得直接和明快。显不如凑微分法来得直接和明快。可见，可见，退出退出返回返回的通解。的通解。解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例2-2 2-2 求一阶非线性微分方程求一阶非线性微分方程即即 用凑微分法解常微方程，用凑微分法解常微方程，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，特别是商的微分运算法则；特别是商的微分运算法则；其掌控的要点在于其掌控的要点在于认准何为分母，何为分子。认准何为分母，何为分子。（本例即教材（本例即教材P236之例之例4）可见，可见，退出退出返回返回解解的通
10、解。的通解。例例2-3 2-3 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程故故 凑微分法解一阶微分方程时，凑微分法解一阶微分方程时，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。解微分方程的过程，本质上是解微分方程的过程，本质上是 求出的求出的特解和通解特解和通解又常又常常被分别称做常被分别称做历经曲折求原函数的过程。因此，被历经曲折求原函数的过程。因此，被微分方程的微分方程的积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族（我们知道，同时含有因变量和自变量我们知道，同时含有因变量和自变量的等式在解析几何中
11、表示平面曲线）的等式在解析几何中表示平面曲线）在极理想的情况下，原方程有可能被在极理想的情况下，原方程有可能被重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，人们常称其为已分离变量的形式。人们常称其为已分离变量的形式。这种方程的解几乎显而易见：这种方程的解几乎显而易见：退出退出返回返回 解解故原方程的通解为故原方程的通解为或者或者故原方程的通解为故原方程的通解为或者或者例例2-4 2-4 解下列一阶线性齐次方程解下列一阶线性齐次方程方程两边同乘以方程两边同乘以线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程线性方程中不含未知函
12、数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程的特解。的特解。退出退出返回返回满足初始条件满足初始条件 解解故方程的通解为故方程的通解为亦即亦即又又故欲求的特解为故欲求的特解为或者或者例例2-5 2-5 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程亦即亦即退出退出返回返回 解解故方程的通解为故方程的通解为或者或者又又即即故原方程欲求的特解为故原方程欲求的特解为或者或者的特解。的特解。满足初始条件满足初始条件例例2-6 2-6 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程*例例2-7 2-7 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程 与与退出退出返回返回 解解故方程的通解为故方程的通解为即即的通解
13、。的通解。故方程的通解为故方程的通解为即即退出退出返回返回解解得得 x 的连续函数。的连续函数。所得等式的两边同乘以所得等式的两边同乘以参考课本参考课本P237P237公式公式(6)(6)故方程的通解为故方程的通解为可见可见*例例2-8 2-8 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程的通解，其中的通解，其中P，Q 都是都是但应强调指出的是，其中的不定积分但应强调指出的是，其中的不定积分仅用以特指仅用以特指 P(x)的某一的某一积函数的某个原函数而非全体原函数。积函数的某个原函数而非全体原函数。而非全体原函数。而非全体原函数。该公式在教材的该公式在教材的P237P237的公式的公式(6)(6)中借
14、不定积分的形式表述为中借不定积分的形式表述为的通解求算公式：的通解求算公式：*例例2-82-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程类似地，不定积分类似地，不定积分也仅用以特指被也仅用以特指被显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。退出退出返回返回退出退出返回返回的通解。的通解。解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例2-9 2-9 求一阶线性微分方程求一阶线性
15、微分方程 用凑微分法解常微方程，用凑微分法解常微方程，除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、特别是商的运算法则之外，特别是商的运算法则之外，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，尤其应保持住丰富的联想空间。尤其应保持住丰富的联想空间。何谓规律？不就是相互关联性吗？何谓规律？不就是相互关联性吗？“想象力比知识更重要想象力比知识更重要”，本例即为又一，本例即为又一值得体味的佐例值得体味的佐例（请与教材（请与教材P236之例之例4相比对相比对）可见，可见，退出退出返回返回1.分离变量法分离变量法2.公式法公式法已分离变量的方程。对可
16、分离变量已分离变量的方程。对可分离变量 若一阶常微方程已被改写成关于若一阶常微方程已被改写成关于通解表达式，把未知函数的系数和通解表达式，把未知函数的系数和若一阶常微方程已被改写成等号若一阶常微方程已被改写成等号两边各自分别是同一变量疑似为某两边各自分别是同一变量疑似为某全微分的方程，则这种方程就称为全微分的方程，则这种方程就称为所求得的一阶任意线性微分方程的所求得的一阶任意线性微分方程的非齐次项的信息直接代入计算，而非齐次项的信息直接代入计算，而一举得出通解的解法称为公式法。一举得出通解的解法称为公式法。这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后，这种奠基性的解法一旦与微分方程的
17、具体构形特征挂上钩之后，凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。还能衍生出许多其它的经典解法。还能衍生出许多其它的经典解法。的方程分离变量，各边再分头关于的方程分离变量，各边再分头关于自身的变量求不定积分常能求出方自身的变量求不定积分常能求出方程的解。这种解法称为分离变量法。程的解。这种解法称为分离变量法。某个变量为未知函数的一阶线性微某个变量为未知函数的一阶线性微分方程的规范形式分方程的规范形式，则借用例，则借用例 2-8退出退出返回返回*例例3-1 用分离变量法求微分方程用分离变量法求微分方程（因（因 y 0 显然是方程之解，故任意常显然是方程之解，故任意常
18、（若（若 y 0）数数 C 取取 0 时通解就可将之囊括其内）时通解就可将之囊括其内）的通解。的通解。解解故故*例例3-2 用公式法求一阶线性微分方程用公式法求一阶线性微分方程的通解。的通解。解解短接短接故返回给定的变量即得原方程的通解故返回给定的变量即得原方程的通解退出退出返回返回*例例3-3 用用变元代换法变元代换法求微分方程求微分方程的通解。（此乃的通解。（此乃P239习题习题7.2的的 4(2)）解解若令若令则方程将化为以则方程将化为以 Z 为为未知函数的一阶线性方程未知函数的一阶线性方程方程的通解应为方程的通解应为于是，依线性方程的求解公式，此于是，依线性方程的求解公式，此退出退出返
19、回返回*例例3-4 用用变元代换法变元代换法求微分方程求微分方程若再令若再令则方程显然是以则方程显然是以 z的通解。的通解。解解依求解公式，此方程的通解应为依求解公式，此方程的通解应为若令若令故返回给定的变量即得原方程的通解故返回给定的变量即得原方程的通解则方程将化为以则方程将化为以t 为自变量的一阶微分方程为自变量的一阶微分方程（因为因为为未知函数、以为未知函数、以 t 为自变量的一阶线性为自变量的一阶线性方程方程退出退出返回返回 解解*例例3-5 用不同方法求方程的通解用不同方法求方程的通解 解二（凑微分法）解二（凑微分法）故原方程的通解为故原方程的通解为一（公式法）一（公式法）方程是线性
20、方程方程是线性方程方程即方程即亦即亦即退出退出返回返回例例4-0 求一阶线性齐次方程的通解求一阶线性齐次方程的通解 解解原方程即原方程即 拆中降阶建立在对一阶常系数线性齐次方程的通解能目视得解的基础上拆中降阶建立在对一阶常系数线性齐次方程的通解能目视得解的基础上亦即亦即故原方程的通解为故原方程的通解为系数为系数为 a ，通解为，通解为Ans.通解为通解为Ans.通解为通解为Ans.通解为通解为Ans.通解为通解为Ans.通解为通解为退出退出返回返回*例例4-1 求二阶线性齐次方程的通解求二阶线性齐次方程的通解 【拆中降阶要点拆中降阶要点】中项系数的分拆之积与末项系数相等中项系数的分拆之积与末项
21、系数相等解解 原方程即原方程即 故原方程的通解为故原方程的通解为解解原方程即原方程即 故原方程的通解为故原方程的通解为短接短接退出退出返回返回例例4-2 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 解解原方程即原方程即 【拆中降阶要点拆中降阶要点】中项系数的分拆之积与末项系数相等中项系数的分拆之积与末项系数相等亦即亦即原方程即原方程即故原方程的通解为故原方程的通解为解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例4-3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 中是一阶导函数项的代称中是一阶导函数项的代称中项系数的分拆之积与末项系数相等中项系数的分拆之积与末项系数相等解解原方程即原方程即 故原方程的通
22、解为故原方程的通解为原方程即原方程即解解故原方程的通解为故原方程的通解为退出退出返回返回【拆中降阶要点拆中降阶要点】*例例4-4 求二阶线性齐次方程求二阶线性齐次方程 的通解。的通解。解解原方程即原方程即 亦即亦即 或者或者故原方程的通解为故原方程的通解为退出退出返回返回根据著名的欧拉根据著名的欧拉（Euler）公式）公式特征多项式特征多项式*例例4-5-1 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解原方程即原方程即 亦即亦即故原方程的通解为故原方程的通解为退出退出返回返回可以看出：非齐次方可以看出：非齐次方程的通解等于某个特程的通解等于某个特解与对应齐次方程的解与对应齐次方程的通解之和。本
23、例的求通解之和。本例的求算过程乃是一般性证算过程乃是一般性证明的某个具体实现。明的某个具体实现。的通解。的通解。*例例4-5-2 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解原方程即原方程即 亦即亦即故原方程的通解为故原方程的通解为退出退出返回返回可以看出：非齐次方可以看出：非齐次方程的通解等于某个特程的通解等于某个特解与对应齐次方程的解与对应齐次方程的通解之和。本例的求通解之和。本例的求算过程乃是一般性证算过程乃是一般性证明的某个具体实现。明的某个具体实现。的通解。的通解。*例例4-5-3 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解原方程即原方程即 亦即亦即故原方程的通解为故原方程的通解为
24、退出退出返回返回可以看出：非齐次方可以看出：非齐次方程的通解等于某个特程的通解等于某个特解与对应齐次方程的解与对应齐次方程的通解之和。本例的求通解之和。本例的求算过程乃是一般性证算过程乃是一般性证明的某个具体实现。明的某个具体实现。的通解。的通解。退出退出返回返回 一阶常系数线性微分方程只有一个一阶常系数线性微分方程只有一个中的各阶导函数幻化成中的各阶导函数幻化成 r 的各次幂函的各次幂函将二阶线性常系数齐次方程将二阶线性常系数齐次方程称为微分方程的称为微分方程的特征多项式特征多项式，特征多，特征多如果特征根是复数，则二者必共轭，如果特征根是复数，则二者必共轭，用凑微分法可以证明，如果两特征根
25、用凑微分法可以证明，如果两特征根不相等，则线性齐次方程的通解必为不相等，则线性齐次方程的通解必为若两特征根彼此相等，即若两特征根彼此相等，即则齐次方程的通解必为则齐次方程的通解必为数所得到的二次三项式数所得到的二次三项式项式的根称为微分方程的项式的根称为微分方程的特征根特征根。以。以特征多项式作为标准函数的标准方程特征多项式作为标准函数的标准方程特征根特征根 r，二阶常系数线性微分方程，二阶常系数线性微分方程有两个特征根有两个特征根当然必不相等。记两共轭之根为当然必不相等。记两共轭之根为称为微分方程的称为微分方程的 特征方程特征方程。退出退出返回返回例例5-1 求下列微分方程的通解求下列微分方
26、程的通解解解的特征多项式的特征多项式特征根为特征根为方程的通解为方程的通解为的特征多项式的特征多项式特征根为特征根为齐次方程齐次方程 依原方程构造特征多项式最容易依原方程构造特征多项式最容易的特征多项式的特征多项式特征根为特征根为齐次方程齐次方程出差错的是不求导数的未知函数项。出差错的是不求导数的未知函数项。警示自己的口诀是：不求导数即求警示自己的口诀是：不求导数即求零阶导数，零阶导数，r 的零次幂可视为无的零次幂可视为无 r！齐次齐次的通解为的通解为的通解为的通解为退出退出返回返回例例5-2 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解解解项式项式特征根为特征根为通解为通解为的特征多项式的特征多
27、项式特征根为特征根为齐次方程齐次方程的特征多项式的特征多项式特征根为特征根为齐次方程齐次方程 齐次方程的齐次方程的的通解为的通解为的通解为的通解为的特征多的特征多 特征根彼此相等时，写通解的方式特征根彼此相等时，写通解的方式完全和不相等时完全和不相等时“走一样的程序走一样的程序”：在两任意常数后写两个特征根对应在两任意常数后写两个特征根对应的指数复合函数解；检查此二解的指的指数复合函数解；检查此二解的指数是否相同，一旦发现二者一模一样数是否相同，一旦发现二者一模一样就迅即任选其中的一项补乘以因子就迅即任选其中的一项补乘以因子 x.1退出退出返回返回*例例5-3 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非
28、齐次方程解解 方程的特征多项式方程的特征多项式 特征根为特征根为故原方程的通解为故原方程的通解为的通解。的通解。对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为退出退出返回返回*例例5-4 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解 方程的特征多项式方程的特征多项式 特征根为特征根为故原方程的通解为故原方程的通解为的通解。的通解。对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为22014年年11月月28日日-12月月7日日1则则设设亦即亦即待定多项式待定多项式与特征多项式的取值与特征多项式的取值双双呈降阶排列双双呈降阶排列退出退出返回返回2退出退出返回返回退出退出返回返回例例6-1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 解解二阶常微方程的通解必含两个任意常数二阶常微方程的通解必含两个任意常数三阶常微方程的通解必含三个任意常数三阶常微方程的通解必含三个任意常数未知函数的导函数可以写未知函数的导函数可以写成成等于某些已知函数的等于某些已知函数的典型简单常微方程之例典型简单常微方程之例结束结束