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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学方法在高中物理中的应用 近几年来湖南高考考试说明（物理）中明确要求“ 能够依据具 体问题找出物理量之间的数学关系,依据数学特点、规律进行推导、求解和合理外推, 并依据结果做出物理判定、 进行物懂得释或得出物 理结论 ”本文仅就笔者多年教学实践的体会,着重谈谈数学方法在中学物 理教学中多方面的运用及其应当留意的一些问题；一、数学学问是物理概念的定义工具,和物理定律、原理的推导工具 在物理中, 用数学学问来定义物理概念、 表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、 最深刻的语言；很多物理概念和规律都要以数学形 式（公式或图像）来表
2、述,也只有利用了数学表述,才便于进一步运 用它来分析、推理、论证,才能广泛地定量地说明问题和解决问题；1. 用数学的方法来定义物理概念 在此仅以两例来说明 .1 在中学物理中常用到的比值定义法. 所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“ 比” 来定义一个新的物理量的方法；比值法 定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性,它不随定义所用的物理量的大小取舍而转变；如: 密度、压强、速度、加速度 , 功率、电场强度 , 电容等物理量的定义 . 2 中学物理中的很多定律,例如电阻定律、欧姆定律、牛顿其次 定律、气体试验三定律,光的折射定律等都是从试验动身,经过科学名师归纳总结 抽象为物
3、理定律, 最终运用数学语言把它表示为物理公式的；这是研第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载究物理的基本方法之一；2. 用数学学问来推导物理公式；物理学中经常利用数学学问争论问题；以高中物理“ 直线运动”这一章为例,就要用极限概念和图像争论速度、加速度和位移；用代数法和三角法争论运动规律和轨迹；用矢量运算法就争论位移与速度的合成和分解等； 另外,物理学中经常运用数学学问来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式,这样既可以使同学获得新学问,又可以帮忙他们领悟物理学问间的内在联系,加深懂得；二、用数学方法处理物理问题
4、 在中学物理学习中常用的数学方法有图像法、极值法、近似运算 法、微元法等；1、图像法 物理图像是一种特别形象的数字语言和工具,利用它可以很好 地描述物理过程,反映物理概念和规律,推导和验证新的规律；物理图像不仅可以使抽象的概念形象化,仍可以恰当地表示语言难以表达的内涵；用图像解物理问题,不但快速、直观,仍可以防止复杂的运 算过程；例 1、甲乙两地相距s1 .6 km,摩托车加速时的加速度为a 11 .6m2 s,减速时的加速度为a 264.ms2摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？解法一：用数学推导法；设摩托车加速运动时间为为2t,减速运动时间为3t,总时间为 t
5、 ,就：1t ,匀速运动时间名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - vma 1 t1a2t3 , s 1学习必备 , 欢迎下载tv m , t31 22a 1 t 1s 2s 31 22a 2 t 3 ,ss 1 , t2t 1s 2s 3联立以上六式并代入数据得：t 1 2 1 6. tt 1 1600 0要使以上方程有解,须判别式 0,即： 1 . 6 2 4 1600 0 , 所以 t 50 ,即最短时间为 50 ；故有：t 1 280 1 1600 0,解得：t 1 40 s , t 2 0 , t 3 10 s
6、；可见摩托车从甲地到乙地先加速 40 , 后紧接着减速 10 达到乙地所用时间最短,匀速时间为零；最大速度为：vma 1 t116.40ms64ms；v 图解法二：用图象分析法； 建立如图 1 所示的vm 象,图象中梯形的“ 面积” 即为甲乙两地的距离,1t2tt变图 1 在保证“ 面积” 不变的情形下要使运动时间小,只有把梯形变成三角形；sv mt 1t2,a 1 t1a2t2 , 50 ,最大速度为vm64ms；2tt 1t2t联立以上三式得：最短时间为归纳：比较以上两种分析方法,图象法比解析法简洁,是一种可取的方法；2、极值法 极值法是在物理模型的基础上借助数学手段和方法,从数学的极值法
7、角度进行分析、 归纳的数学处理方法； 物理极值问题的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载争论中常用的极值法有: 三角函数极值法 , 二次函数的极值法 , 一元二次方程的判别式法等 . 例 2: 质量为 m的物体放在地面上,它们间的滑动摩擦系数为 ,用力 F 斜向上拉物体,使物体在水平面上作匀速直线运动,求力与水平方向的夹角图 2 为多大时最省力；析与解 : 由于物体在水平面上做匀速直线运动,随着角的不同,物体与水平面间的弹力不同,因而滑动摩擦力也不一样；而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等；2 所示；
8、由于物体处于平稳状态,以物体为争论对象, 受力分析如图依据F0得：F cosFN（1）,FsinFNmg（2）由（1）、（2）式得：Fcosmg1mg（arctan1）sin2sin可见,当290 ,即acrtan时,sin1, F 有最小值为：F min1mg3、近似运算法 . 物理运算中,常用一些数学近似公式：名师归纳总结 如: 当 很小时：sintan第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载借助上述公式结论,在物理估算中常收到一些意想不到的成效；例 3: 在水下 1m处放置一个小物块,问当从水面正上方向下看时,
9、物体离水面为多少？解析: 水面下物体 A所发出的光线经水面折射,其像点 A ,光路如图 3 所示 . tan oo , tan oo oA oA当人眼从水面正上方往下看时,、两角都应接近零度；因此有：图 3 tansin,tansin由光的折射定律,就有：nsintan oooA oA oosintan oAoA 所以当从水面正上方向下看时,物体离水面深度为 1 米 n 4. 微元法 : 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体 的思维方法；它是将争论对象（物体或物理过程）进行无限细分,从其中抽取某一微小单元即“ 元过程” ,进行争论, 每个“ 元过程” 所遵循的规律是相同的；
10、 对这些“ 元过程” 进行必要的数学方法或物理 思想处理,进而使问题求解；例 4: 用微元法推导匀变速直线运动位移与时间关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载做匀变速直线运动的物体,其速度与时间图线下面四边形的面积可以表示其位移；这一结论的得出就需要用微元法思想；我们争论以初速度 v0 做做匀变速直线运动的物体,在时间 t 内发生的位移；物体运动的 v-t 图像如图 4 所示；图 4 把时间 t 分割成很多多个小的时间间隔t ,在 v-t图中,每一个时间间隔起始时刻的瞬时速度由相应的纵坐标表示；
11、在每一个时间间隔内,我们认为物体做匀速直线运动；在v-t图中,各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表；每个小矩形的 面积之和近似的代表物体在整个过程中的位移；为了精确一些,可以把运动过程划分为更多的小段,如图乙,用全部这些小段的位移之和,近似代表物体在整个过程中的位移；从v-t图上看,就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移；可 以想象,假如把整个运动过程划分得特别特别细,很多很多小矩 形的面积之和就能特别精确地代表物体的位移了；这时,“ 很多很 多” 小矩形顶端的“ 锯齿形” 就看不出来了,这些小矩形合在一名师归纳总结 起成了一个梯形OAPQ；梯形OAPQ的面积就代表做匀变
12、速直线运第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 动的物体从学习必备欢迎下载v-t直线下面的梯0 到 t 这段时间间隔的位移；图中形 OAPQ的面积 图丙 是ss 1xs 2v 0OAOQARRP2v 01at22即位移：1 at 22例 5：（江苏, 20XX年高考卷15 题）如下列图,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为 l 、足够长且电阻忽视不计,导轨平面的倾角为,条形匀强磁场的宽度为 d,磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直； 长度为 2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“” 型装置,总质
13、量为 m,置于导轨上；导体棒中通以大小恒为I 的电流（由外接恒流源产生,图中未图出）；线框的边长为 d（d l ）,电阻为 R,下边与磁场区 域上边界重合；将装置由静止释放,导体棒恰好运动到磁场区域下 边界处返回,导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直；重力加速 度为 g；求：（1）装置从释放到开头返回的过程中,线框中产生的焦耳热 Q；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间 t 1 ；（3）经过足够长时间后, 线框上边与磁场区域下边界的最大距离 m ；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图 5解析:1
14、 、（3）问解省略（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为1v,就接着向下运动 2d由动能定理mgsin2 dBILd012 mv 12装置在磁场中运动时收到的合力FmgsinFt时间内,有vFt感应电动势=Bd感应电流I =R安培力FBI d由牛顿其次定律,在t 到 t+m22 B d3就vgsinB2 d2 vtmR有v 1gt 1sin22 B d3mR解得t 12m BIld2 mgdsinRmgsin三、 应用数学方法来分析、解决物理问题时应当留意的一些问题1. 懂得物理公式或图像所表示的物理意义物理公式中运用数学学问时,肯定要使同学弄清物理公式或图名师归纳总结 - - - - - -
15、 -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载像所表示的物理意义, 不能单纯地从抽象的数学意义去懂得物理问 题,要防止单纯从数学的观点动身将物理公式“ 纯数学化” 的倾 向；如在电容的概念教学时笔者就发觉有一大部分同学认为电容 与电荷量成正比 , 与电压成反比； 2. 表达物理概念或规律的公式都有自己的适应条件 在运用数学解决物理问题时,肯定要使同学弄清物理公式的适 用条件和应用范畴； 例如,真空中库仑定律的公式只适用于两个相对 静止的点电荷；值得留意的是,假如从“ 纯数学化” 观念来看,当r 0 时, F,但这样的争论在物理上是毫无意义的,由
16、于这时Q 1,Q 2 不能看做点电荷,而且两者间的相互作用力变的很复杂的,库 仑定律描述不了它们之间的相互作用； 3. 数学的解与物理的解的统一 假如由建立的数学模型, 应用数学方法解出的数学的解都不符合物理实际意义, 并不能只是简洁下个无解的结论,而是应当对原数学模型作认真的分析与反思, 找到其潜在的问题, 并对原数学模型进行 修正；例 6: 在平直大路上以20ms匀速行驶的汽车, 刹车后获得8ms2大小的加速度,问经过5 秒钟,汽车发生的位移是多少. 错解依据匀变速直线运动的位移公式sv 0 t1 at 22,代入数据得：s20518 2 50；2争论：汽车刹车后,没有向前移动,这是不行能
17、的；为什么会显现这样的结果呢？进一步分析可以发觉,汽车从开头刹车到停止所需时间名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载为：tv tav 025 s；假如以t25 代入上式求得s50 才是正确结果；由此可见,求得数学的解后,再从物理的角度进行争论分析,把数学的解仍原成符合实际的物理的解这一过程,是解题过程中最简洁疏漏的地方；是特别重要的, 这也“ 它山之石,可以攻玉”. 在现阶段大力提倡同学综合才能的时代浪潮中,强调在物理教学中有机结合数学学问,能很好地培育同学理解、把握和运用所学学问的才能；也可将数学学问运用于物理教学作为现阶段各科学问大综合的演练平台,澜；为提高同学的综合才能推波助名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页