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1、数学方法在高中物理中的应用数学方法在高中物理中的应用近几年来湖南高考考试讲明物理中明确要求“能够根据详细问题找出物理量之间的数学关系，根据数学特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果做出物理判定、进行物理解释或得出物理结论本文仅就笔者多年教学实践的经历，着重谈谈数学方法在中学物理教学中多方面的运用及其应该注意的一些问题。一、数学知识是物理概念的定义工具，和物理定律、原理的推导工具在物理中，用数学知识来定义物理概念、表达物理规律的最简洁、最准确、最概括、最深入的语言。很多物理概念和规律都要以数学形式公式或图像来表述，也只要利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量
2、地讲明问题和解决问题。1.用数学的方法来定义物理概念在此仅以两例来讲明.(1)在中学物理中常用到的比值定义法.所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“比来定义一个新的物理量的方法。比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变。如:密度、压强、速度、加速度,功率、电场强度,电容等物理量的定义.(2)中学物理中的很多定律，例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律，光的折射定律等都是从实验出发，经过科学抽象为物理定律，最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研究物理的基本方法之一。2.用数学知识来推导物理公式。物理学中经常利用数
3、学知识研究问题。以高中物理“直线运动这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移；用代数法和三角法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外，物理学中经常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既能够使学生获得新知识，又能够帮助他们领会物理知识间的内在联络，加深理解。二、用数学方法处理物理问题在中学物理学习中常用的数学方法有图像法、极值法、近似计算法、微元法等。1、图像法物理图像是一种非常形象的数字语言和工具，利用它能够很好地描绘物理经过，反映物理概念和规律，推导和验证新的规律。物理图像不仅能够使抽象的概念形象化，还能够恰当地表示语言难以
4、表达的内涵。用图像解物理问题，不但迅速、直观，还能够避免复杂的运算经过。例1、甲乙两地相距kms6.1=，摩托车加速时的加速度为216.1sma=，减速时的加速度为224.6sma=摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动经过中的最大速度为多少？解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为1t，匀速运动时间为2t，减速运动时间为3t，总时间为t，则：3211tatavm=,211121tas=,22tvsm=,232321tas=,321ssss+=,312tttt-=联立以上六式并代入数据得：016006.1121=-ttt要使以上方程有解，须判别式0?，即：016004)6.1(2?-=
5、?,所以st50，即最短时间为s50。故有：0160080121=+-tt，解得：sttst10,0,40321=。可见摩托车从甲地到乙地先加速s40,后紧接着减速s10到达乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为：smsmtavm64406.111=?=。解法二：用图象分析法。建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积即为甲乙两地的距离，在保证“面积不变的情况下要使运动时间变小，只要把梯形变成三角形。2)(21ttvsm+=，2211tata=,21ttt+=联立以上三式得：最短时间为st50=，最大速度为smvm64=。归纳：比拟以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法。2、
6、极值法极值法是在物理模型的基础上借助数学手段和方法，从数学的极值法角度进行分析、归纳的数学处理方法。物理极值问题的讨论中常用的极值法有:三角函数极值法,二次函数的极值法,一元二次方程的判别式法等.例2:质量为m的物体放在地面上，它们间的滑动摩擦系数为，用力F斜向上拉物体，使物体在水平面上作匀速直线运动，求力与水平方向的夹角为多大时最省力。图2析与解:由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着角的不同，物体与水平面间的弹力不同，因此滑动摩擦力也不一样。而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等。以物体为研究对象，受力分析如图2所示。由于物体处于平衡状态，根据0=F得：NFF=cos1，mgFFN=+sin2
7、由1、2式得：)sin(1sincos2+=+=mgmgF1arctan=可见，当090=+，即tanacr=时，1)sin(=+，F有最小值为：2min1+=mgF3、近似计算法.物理计算中，常用一些数学近似公式：如:当很小时：tansin借助上述公式结论，在物理估算中常收到一些意想不到的效果。例3:在水下1m处放置一个小物块，问当从水面正上方向下看时，物体离水面为多少？解析:水面下物体A所发出的光线经水面折射，其像点A，光路如图3所示.tanoAoo=,oAootan=当人眼从水面正上方往下看时，、两角都应接近零度。因而有：图3sintan，sintan由光的折射定律，则有：tantans
8、insinoAoAoAoooAoon=所以当从水面正上方向下看时，物体离水面深度为n1米4.微元法:微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象物体或物理经过进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元经过，进行讨论，每个“元经过所遵循的规律是一样的。对这些“元经过进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。例4:用微元法推导匀变速直线运动位移与时间关系。做匀变速直线运动的物体，其速度与时间图线下面四边形的面积能够表示其位移。这一结论的得出就需要用微元法思想。我们研究以初速度v0做做匀变速直线运动的物体，在时间t内发生的位移。物体运动的v-t图像如图4
9、所示。图4把时间t分割成无数多个小的时间间隔t，在v-t图中，每一个时间间隔起始时刻的瞬时速度由相应的纵坐标表示。在每一个时间间隔内，我们以为物体做匀速直线运动。在v-t图中，各段位移能够用一个又窄又高的小矩形的面积代表。每个小矩形的面积之和近似的代表物体在整个经过中的位移。为了准确一些，能够把运动经过划分为更多的小段，如图乙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个经过中的位移。从v-t图上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。能够想象，假如把整个运动经过划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多小矩形顶端的“锯齿形就看
10、不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形OAPQ。梯形OAPQ的面积就代表做匀变速直线运动的物体从0到t这段时间间隔的位移。图中v-t直线下面的梯形OAPQ的面积(图丙)是2021212atvRPAROQOAsss+=?+?=+=即位移：2021atvx+=例5：江苏，2020年高考卷15题如下图，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流由外接恒流源产生，
11、图中未图出。线框的边长为dd图5解析:(1)、3问解省略2设线框刚离开磁场下边界时的速度为1v，则接着向下运动2d由动能定理212102sinmvdBILdmg-=?-?装置在磁场中运动时收到的合力sinFmgF=-感应电动势=Bd感应电流I=R安培力FBId=由牛顿第二定律，在t到t+t?时间内，有tmFv?=?则tmRvdBgv?-=?22sin有23112sinBdvgtmR=-解得2312sinBdRtmg=三、应用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的一些问题1.理解物理公式或图像所表示的物理意义物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从
12、抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化的倾向。如在电容的概念教学时笔者就发现有一大部分学生以为电容与电荷量成正比,与电压成反比。2.表达物理概念或规律的公式都有本人的适应条件在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。例如，真空中库仑定律的公式只适用于两个相对静止的点电荷。值得注意的是，假如从“纯数学化观念来看，当0r时，F，但这样的讨论在物理上是毫无意义的，由于这时21,QQ不能看做点电荷，而且两者间的互相作用力变的很复杂的，库仑定律描绘不了它们之间的互相作用。3.数学的解与物理的解的统一假如由建立的数学模型，应用数学方法解出
13、的数学的解都不符合物理实际意义，并不能只是简单下个无解的结论，而是应该对原数学模型作仔细的分析与反思，找到其潜在的问题，并对原数学模型进行修正。例6:在平直公路上以sm20匀速行驶的汽车，刹车后获得28sm大小的加速度，问经过5秒钟，汽车发生的位移是多少?错解根据匀变速直线运动的位移公式2021attvs+=，代入数据得：05)8(215202=?-?+?=s。讨论：汽车刹车后，没有向前移动，这是不可能的。为什么会出现这样的结果呢？进一步分析能够发现，汽车从开场刹车到停止所需时间为：savvtt250=-=。假如以st25=代入上式求得ms50=才是正确结果。由此可见，求得数学的解后，再从物理的角度进行讨论分析，把数学的解复原成符合实际的物理的解这一经过，是特别重要的，这也是解题经过中最容易疏漏的地方。“它山之石，能够攻玉.在现阶段大力提倡学生综合能力的时代浪潮中，强调在物理教学中有机结合数学知识，能很好地培养学生理解、把握和运用所学知识的能力。可以将数学知识运用于物理教学作为现阶段各科知识大综合的演练平台，为提高学生的综合能力推波助澜。