《2022年高考数学一轮汇总训练《函数与方程》理新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮汇总训练《函数与方程》理新人教A版.docx（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第九节 函数与方程 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 结合二次函数的图象,了 解函数的零点与方程根的联 系,判定一元二次方程根的高考对本节内容的考查主要表达在以下几个方面：1 结合函数与方程的关系,求函数的零点；2 结合根的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点存在性及根的个数2. 依据详细函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解 . 及零点个数 方程是否存在实数根及方程根的个数 进行判定,如 20XX年北京 T5,湖北 T3,湖南 T9 等3 利用零点 方程实根 的存在性求相关参数的值或范畴. 归纳 学问整合
2、 1函数的零点1 定义：对于函数 yf x xD ,把使 f x 0 成立的实数x 叫做函数 yf x x D 的零点2 函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系：方程 f x 0 有实数根 . 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 . 函数 y f x 有零点3 函数零点的判定 零点存在性定理 ：假如函数 y f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f a f b0 ,那么函数 yf x 在区间 a,b 内有零点,即存在 c a,b ,使得 f c 0,这个 c 也就是方程 f x 0 的根 探究 1. 函数的零点是函数 y f x 与 x 轴的交
3、点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数yf x 与 x 轴的交点, 而是 y f x 与 x 轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数；并非任意函数都有零点,只有 f x 0有根的函数 yf x才有零点2如函数 y f x 在区间 a,b 内有零点, 就 yf x 在区间 a,b 上的图象是否肯定名师归纳总结 是连续不断的一条曲线,且有f a f b0 的图象与零点的关系 0 二次函数 yax2bx 0 0c a0 的图象与 x 轴的交点 x1, 0 , x2,0 x1,0无交点零点个数两个一个零个3二分法的定义对于在区间 a,b 上连续不断且 f a f b0
4、 的函数 yf x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法1 教材习题改编 以下函数图象与 自测 牛刀小试 图中函数零点x 轴均有交点,其中不能用二分法求的是 解析：选 C 由图象可知,选项 用二分法求解C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的,不能2 教材习题改编 如函数 f x 唯独的一个零点同时在区间 0,16 ,0,8 ,0,4 ,0,2内,那么以下命题中正确选项 A函数 f x 在区间 0,1 内有零点B函数 f x 在区间 0,1 或 1,2 内有零点C函数 f x 在区间 2,16 上无零点名师归纳总
5、结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载D函数 f x 在区间 1,16 内无零点内解析：选 C 由题意可知, 函数 f x 的唯独零点肯定在区间 0,2 内,故肯定不在 2,163依据表格中的数据,可以判定方程 e xx20 的一个根所在的区间为 x 1 0 1 2 3 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x 2 1 2 3 4 5 A. 1,0 B 0,1 C1,2 D 2,3 解析：选 C 令 f x e xx2,就f 1 0.37 10, f 0 120,f 1 2.72 30,f 3 2
6、0.09 50,所以方程 ex x20 的一个根所在的区间为1,2 g x bx2ax1 的零点是4如函数f x x 2 axb 的两个零点是2 和 3,就函数_解析：函数f x x2ax b 的两个零点为2 和 3,23a,即 a5,b 6. 2 3 b,g x bx2ax1 6x2 5x1,令 g x 0,得 x1 2或1 3. 答案：1 2,135函数 f x 3ax12a在区间 1,1 上存在零点, 就实数 a的取值范畴是 _解析： f x 3ax 12a 在区间 1,1 上有零点,且 f x 为一次函数,名师归纳总结 f 1 f 10 ,即 1 5a1 a1 5或 a 5或 a0,函
7、数 f x 在 R 上单调递增对于 A 项, f 1 e1 1 4 5e 10,f 0 30 , A 不正确,同理可验证 B、D不正确对于 C项, f 1 e1 4e30,f 1 f 20. 2 由条件可知 f 1 f 20 ,即 2 2a4 1 a0 ,即 a a30 ,解得 0a0,f 1 2e 2 41 23e 2 10,因此函数 f x e x4x3 的零点不在区间34,12上；对于 B,留意到 f 12 0,f 14e 14 4143e 14 24 14 20,因此在区间1 2, 1 4上函数 f x ex4x3 肯定存在零点； 对于 C,留意到 f 1 410, f 0 20,因此
8、函数 f x ex4x3 的零点不在区间4, 0 上；对于 D,留意到 f 0 20,f 14 e 14 41 43e 14 40,即函数 f x 在0 ,2 上单调递增由 f 2 ln 2 10,知 x02 ,e ,g x0 x0 2. 答案： 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载判定函数零点个数1 1 例 2 12022 北京高考 函数 f x x 22 x的零点个数为 A0 B 1 C2 D 3 ln xx 22x x,2 函数 f x 的零点个数为 4xxA0 B 1 C2 D 3 1
9、1 自主解答 1 由于 yx 2 在 x0 , 上单调递增, y2 x在 xR上单调递减,所以 f xx 12 12 x在 x0 , 上单调递增, 又 f 0 10,所以 f xx 12 12 x在定义域内有唯独零点12 当 x0 时,函数有零点 x4；当 x0 时,作出函数yln x,yx 22x 的图象,观看图象可知两个函数的图象 如图 有 2 个交点, 即当 x0 时函数 f x 有 2 个零点 故函数 f x的零点的个数为 3. 答案 1B 2D 判定函数零点个数的方法1 解方程法：令 f x 0,假如能求出解,就有几个解就有几个零点；2 零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间
10、a,b 上是连续不断的曲线,且f a f b0,32022 深圳模拟 已知符号函数sgn x 0,x0,就函数 f x sgn x1,x0,即 x1 时,f x 1ln x,令 f x0 得 xe1；当 x10,即 x1 时, f x 0ln 10；当 x10,即 x1 时, f x 1ln x,令f x 0 得 x1 e1. 因此,函数f x 的零点个数为3. 依据函数零点的存在情形求参数 例 3 定义域为 R的偶函数 f x 满意对 . xR,有 f x2 f x f 1 ,且当 x2,3 时, f x 2x 2 12x 18,如函数 y f x log a x1 在 0 , 上至少有三个
11、零点,就 a 的取值范畴是 3 2A. 0,B. 0,3 25 6C. 0,5 D. 0,6 自主解答 在方程 f x2 f x f 1 中,令 x 1 得 f 1 f 1 f 1 ,再依据函数 f x 是偶函数可得 f 1 0,由此得 f x2 f x f x ,由此可得函数 f x是周期为 2 的周期函数,且其图象关于直线 x1 对称,又当 x0,1 时, x22,3,所以当 x0,1 时,f x f x2 2 x2 212 x2 18 2x 24x2 2 x1 2,依据对称性可知函数 f x 在1,2 上的解析式也是 f x 2 x1 2,故函数 f x 在0,2 上的解析式是 f x
12、2 x1 2,依据其周期性画出函数 f x 在0 , 上的部分图象 如图 ,结合函数图象, 只要实数 a 满意 0a1 且 2log a2 10 即可满意题意, 故0a1 且 log3a1 2log 33 3,即 0a0 1 如 yg x m有零点,求 m的取值范畴；2 确定 m的取值范畴,使得g x f x 0 有两个相异实根解： 1 法一： g x x2 e x2e22e,等号成立的条件是xe,g x 的值域是 2e , 因而只需 m2e,就 yg x m就有零点2e法二：作出 g x xx x0 的大致图象如图：可知如使 ygx m有零点,就只需 m2e.2 如 g x f x 0 有两
13、个相异的实根, 即 g x 与 f x 的图象有两个不同的交点,作出 g x x2 e x x0 的大致图象f x x 22exm1 xe 2m1e 2. 其图象的对 称轴为 xe,开口向下,最大值为 m1e 2. 故当 m1e 22e,即 me 22e1 时, g x 与 f x 有两个交点,即 g x f x 0有两个相异实根名师归纳总结 m的取值范畴是 e22e 1, 第 8 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 个口诀用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间, 找中点, 中值运算两边看同号去
14、, 异号算,零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判定3 种方法判定函数零点所在区间的方法判定函数 yf x 在某个区间上是否存在零点,常用以下方法：1 解方程：当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上；2 利用函数零点的存在性定理进 行判定；3 通过画函数图象,观看图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判定4 个结论有关函数零点的结论1 如连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数,就f x 至多有一个零点2 连续不断的函数,其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号3 连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号4 函数零点的存在定理只能判定函数在某个区间上的
15、变号零点,而不能判定函数的不 变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件 . 数学思想利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时,假如依据传统方法很难奏效时,常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决 典例 2022 福建高考 对于实数 a 和 b,定义运算“*” ：x 的方程 f x m m Ra* ba b2ab,ab,2ab,ab.设 f x 2 x1* x1 ,且关于恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,就 x1x2x3 的取值范畴是 _名师归纳总结 解析由定义可知,f x2 x
16、1* x1第 9 页,共 17 页x12xx,x0,x2xx,x0,即 f x 2x 2x,x0,作出函数f x 的图象,如下列图,x2x,x0.关于 x 的方程 f x m恰有三个互不相等的实根x1,x2,x3,即函数 f x的图象与直线ym有三个不同的交点,就0m0 时, x 2xm,即 x学习必备欢迎下载2xm0,x2x31,0x2x3x2x32,即 0x2x3 1 4；13,2当 x0 时,由2x 2x1 4,得 x4x0,143x10. 0x131. 40x1x2x331 16 . 1163x1x2x30,名师归纳总结 数 g x 0,x0,就方程f x g x 0 在区间 5,5
17、上的解的个数为第 10 页,共 17 页1 x,x0, B 7 A5 C8 D 10 解析：选 C 依题意得,函数f x 是以 2 为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 与函数学习必备欢迎下载8yg x 的图象,结合图象得,当x 5,5 时,它们的图象的公共点共有个,即方程 f x g x 0 在区间 5,5 内的解的个数是 8. 22已知函数 f x x,x2,如关于 x 的方程 f x k 有两个不同的实根,x3,x1,A.1 2,0 B 2,0 C.1 2D 0 解析：选 D 当 x1 时,由 f x 2
18、 x10,解得 x0；当 x1 时,由 f x 1log 2x名师归纳总结 0,解得 x1 2,又由于 x1,所以此时方程无解综上函数f x的零点只有0. 第 11 页,共 17 页22022 湖北高考 函数 f x xcos x2在区间 0,4上的零点个数为 A4 B 5 C6 D 7 解析： 选 C x0,4,x 20,16x20, 2,3 2,5 2,7 2,9 2,都是 f x的零点,此时x 有 6 个值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 的零点个数为6. 学习必备欢迎下载3函数 f x e xx2 的零点所在的一个区间是 A 2, 1
19、B 1,0 C0,1 D 1,2 解析： 选 C 由于函数 f x 的图象是连续不断的一条曲线,又 f 2 e240,f 1 e130,f 0 10,f 2 e 20,所以 f 0 f 10 ,故函数的零点所在的一个区间是 0,1 142022 济宁模拟 函数 f x 3sin 2xlog 2x 的零点的个数是 A2 B 3 C4 D 5 解析：选 D 函数 y3sin 2x 的周期 T24,由 log 1 x3,221可得 x8,由 log 1 x 3,可得 x8. 在同一平面直角坐标系中,2作出函数 y3sin 2x 和 ylog 1 x 的图象 如下列图 ,易知 f x 有 5 个零点2
20、15已知函数 f x 5 xlog 3x,如 x0是函数 yf x 的零点,且 0x1x0,就 f x1 的值 A恒为正值 B等于 0 C恒为负值 D不大于 0 1解析：选 A 留意到函数 f x 5 xlog 3x 在0 , 上是减函数,因此当 0x1 f x0 ,又 x0是函数 f x 的零点,因此 的值恒为正值,选 A. f x0 0,所以 f x10 ,即此时 f x162022 洛阳模拟 如函数 yf x x R 满意 f x2 f x ,且 x 1,1 时,sin x, x0,名师归纳总结 f x | x| ,函数g x 1 x,x0 时, f x 2 012 xlog 2 012
21、x,就在 R上,函数 f x 零点的个数为 _ _解析：函数 f x 为 R 上的奇函数,因此 f 0 0,当 x0 时, f x 2 012 xlog 2 012x1在区间 0,2 012 内存在一个零点,又 f x 为增函数,因此在 0 , 内有且仅有一个零点依据对称性可知函数在 , 0 内有且仅有一解,从而函数在 R上的零点的个数为 3. 答案： 3 8已知函数f x x2x,g x xln x,h x xx1 的零点分别为x1,x2,x3,就 x1,x2,x3 的大小关系是 _解析：令 x2x0,得 2x x,令 xln x0,得 ln x x. 在同一坐标系内画出 y2 x,yln
22、x,y x,如图： x10x21. 所以 x1x2x3. 就x2x10,x15,即 x322答案： x1x20,所以如存在实数 a 满意条件,就只需 f 1 f 3 0 即可,即 f 1 f 3 1 3a 2a1 9 9a6a1 41 a5 a1 0.1所以 a5或 a1.检验：当 f 1 0 时, a1. 所以 f x x 2x. 令 f x 0,即 x 2x 0. 得 x0 或 x 1. 方程在 1,3 上有两根,不合题意,故 a 1.1当 f 3 0 时, a5,13 6此时 f x x 25x5,13 6令 f x 0,即 x 25x50,2解得 x5或 x3. 方程在 1,3 上有两
23、根,不合题意,故 a 1 5. 1综上所述, a 的取值范畴为,51 , 11如函数 F x |4 xx 2| a 有 4 个零点,求实数 a 的取值 范畴解：如 F x |4 x x 2| a 有 4 个零点,即|4 x x 2| a0 有四个根,即|4 x x 2| a 有四个根令 g x |4 xx 2| ,h x a. 就作出 g x 的图象,由图象可知要使 |4 x x 2| a 有四个根,就需 g x 的图象与 h x 的图象有四个交点,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载0a4,即 4a0,a 的取值范畴为 4,0 12已知关于 x 的二次方程 x 22mx2m10. 1 如方程有两根,其中一根在区间 1,0 内,另一根在区间 1,2 内,求 m的范畴；2 如方程两根均在区间 0,1 内,求 m的范畴解：1 由条件,抛物线 f x x 22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间 1,0 和 1,2内,f2m10,f4m205 6m1 2,m的取值范畴是5 6,1 2 . 2 抛物线与 x 轴交点均落在区间0,1f,得不等式组f, 0,0 m1 2,2或m12,m1 2.m11m0,即1 2m12,m的取值范畴是