《2022年高考数学一轮汇总训练《导数的应用》理新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮汇总训练《导数的应用》理新人教A版.docx（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十二节导数的应用 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 明白函数单调性和导数的关系；利用导数争论函数的单调区间、极值或最值,其考查题能利用导数争论函数的单调性,会 型有：求函数的单调区间 其中多项式函 1 利用导数求单调区间,如 2022 年北京 T18 等数一般不超过三次 2 利用单调性求参数范畴,如 2022 年江苏 T19 等,2. 明白函数在某点取得极值的必 3 利用导数求函数的极值,或最值,如 2022 年陕西 T7,要条件和充分条件；会用导数求函 安徽 T19 等数的极大值、微小值 其中多项式 4 已知函数的极值或最值求参数
2、,如 2022 年江苏 T18函数一般不超过三次 . 等. 归纳 学问整合 1函数的单调性与导数 探究 1. 如函数 f x 在 a,b 内单调递增, 那么肯定有f x0 吗？ f x0 是否是 f x 在 a,b 内单调递增的充要条件？提示：函数f x 在 a,b 内单调递增,就f x 0,f x0 是 f x 在 a,b 内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数1 函数的微小值：名师归纳总结 如函数 yf x在点 xa 处的函数值f a 比它在点 xa 邻近其他点的函数值都小,且第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f a
3、0,而且在点xa 邻近的左侧f x 0,右侧 f x 0,就 a 点叫做函数的极小值点, f a 叫做函数的微小值2 函数的极大值：如函数 yf x在点 xb 处的函数值 f b 比它在点 xb 邻近其他点的函数值都大,且 f b 0,而且在点 xb 邻近的左侧 f x 0,右侧 f x 0,就 b 点叫做函数的极 大值点, f b 叫做函数的极大值,极大值和微小值统称为极值 探究 2. 导数值为 0 的点肯定是函数的极值点吗？“ 导数为0” 是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不肯定可导函数的极值点导数为零,但导数为零的点未必是极值点；如函数f x x 3,在 x0 处,有 f 0 0,但
4、 x0 不是函数 f x x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的最值与导数 1 函数 f x 在 a, b 上有最值的条件：一般地,假如在区间 a,b 上,函数 yf x 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值2 求函数 yf x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤为 求函数 yf x 在 a,b 内的极值；将函数 yf x 的各极值与端点处的函数值 值,最小的一个是最小值f a ,f b 比较,其中最大的一个是最大 探究 3. 函数的极值和函数的最值有什么联系和区分？提示：极值是局部概念,指某一点邻近函数值的比较,因此,函数在极大 小 值,可以比微小
5、大 值小 大 ；最值是整体概念,最大、最小值是指闭区间 a,b 上全部函数值的比较因而在一般情形下,两者是有区分的,极大 小 值不肯定是最大 小 值,最大 小值也不肯定是极大 小 值,但假如连续函数在区间 a,b 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,微小值就是最小值名师归纳总结 自测 牛刀小试 第 2 页,共 23 页1 教材习题改编 函数 f x exx 的单调递增区间是A , 1 B 1 ,C , 0 D 0 ,解析：选 D f x e xx, f x ex1,由 f x0 ,得 ex10,即 x0. 2 教材习题改编 函数 f x 1 3x 34x4 有 A极大值28 3,微小值43-
6、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B极大值4 3,微小值 284 28C极大值 3,微小值328 4D极大值 3,微小值31解析：选 D f x 3x 34x4,f x x 24,令 f x 0,就 x 2.当 x , 2 时, f x0 ；当 x 2,2 时, f x0. 是 f x极大值 f 2 28 3,f x 微小值 f 2 4 3. 3已知函数f x 的导函数 f x ax 2bxc 的图象如下列图,就f x 的图象可能 解析： 选 D 当 x0 时,由导函数 f x ax 2 bxc0 时,由导函数 f x ax 2bxc 的图象可知,导数在
7、区间 0 ,x1 内的值是 大于 0 的,就在此区间内函数 f x 单调递增4 教材习题改编 函数 f x x 33x 22 在区间 1,1 上的最大值是 _解析： 由题意, 得 f x 3x26x,令 f x 0,得 x0 或 x2 舍去 由于 f 1 2,f 1 0,f 0 2,故 f x 在 1,1 上的最大值为 2. 答案： 2 5如函数 f xx3 x 2 mx1 是 R上的单调增函数,就m的取值范畴是 _解析： f x x 3 x 2mx1,f x 3x 22xm. 又 f x 在 R上是单调函数,名师归纳总结 412 m0,即 m1第 3 页,共 23 页3答案：1 3,- -
8、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 运用导数解决函数的单调性问题 例 1 2022 郑州模拟 已知函数 f x axxln x,且图象在点1 e,f1处的切线e斜率为 1e 为自然对数的底数 1 求实数 a 的值；2 设 g x f x1 xx,求 g x 的单调区间；m3 当 mn1 m,n Z 时,证明：n n m. n m 自主解答 1 f x axxln x,f x a1ln x,1依题意 f ea1,所以 a 1. 2 由于 g x f x 1 xxxln x x1,所以 g x x1ln x x2 . 1设 x x1ln x,就 x 1x. 1当 x
9、1 时, x 1x0, x 是增函数,对. x1, x 1 0,即当 x1 时, g x0 ,故 g x 在1 , 上为增函数；1当 0x1 时, x 1x 1 0,即当 0x0 ,故 g x 在0,1 上为增函数名师归纳总结 所以 g x 的单调递增区间为0,1 , 1 , 第 4 页,共 23 页3 要证mn n m,即证n mln n mln m n ln nln m,即n1 nln mm1 mln n,mln m m 1 nln n n1 .* - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 mn1,由 2 知, g m g n,故 * 式成立,所以m
10、 n n m. n m1导数法求函数单调区间的一般步骤1 确定函数 f x 的定义域；2 求导数 f x ；3 在函数 f x的定义域内解不等式f x0 和 f x0 时为增函数； f x0x当 f x0 ,x0,1时,函数 f x 3x2x 2 ln x 单调递增名师归纳总结 当 f x0 ,x1 , 时,函数f x 3x2x 2ln x 单调递减1 x0 或 f x第 5 页,共 23 页故函数 f x 的单调递增区间为0,1 ,单调递减区间为1 , 2 f x 3 a4x1 x,如函数 f x 在区间 1,2上为单调函数, 即在 1,2上,f x 3 a4x- - - - - - -精选
11、学习资料 - - - - - - - - - 3 a4x1 x0,即3 a4x1 x0 或3 a4x1 x0 在1,2上恒成立上单调递增,即3 a4 x1 x或3 a4x1 x. 令 h x 4x1 x,由于函数h x 在1,2所以3 a h2 或3 ah1 ,即3 a15 2或3 a3,解得 a0 或 00 ,f x 1 x1 22x3 23x22x12x2x2x2x. 令 f x 0,解得 x11, x21 3 因 x21 3不在定义域内,舍去当 x0,1时, f x0 ,故 f x 在1 , 上为增函数名师归纳总结 故 f x 在 x 1 处取得微小值f 1 3. 第 6 页,共 23
12、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求可导函数 f x 的极值的步骤1 求导数 f x ；2 求 方程 f x 0 的根；3 检验 f x在方程 f x 0 的根的邻近两侧的符号：详细如下表：2已知函数x xx0f xf x0f x 0f x0 f x增极大值 f x0减x xx0f xf x0 f x减微小值 f x0增x2x1 k k0 f x ekx1 求 f x 的单调区间；2 是否存在实数k,使得函数f x 的极大 值等于 3e2？如存在,求出k 的值；如不存在,请说明理由解： 1 f x 的定义域为 R. f x kekx x 2x1kek
13、x2 x1 ekx kx 22 k x2 ,即 f x ekx kx2 x1 k0 2令 f x 0,解得 x 1 或 xk. 当 k 2 时, f x 2e 2x x1 20,故 f x 的单调递增区间是 , 当 2k0 时,f x ,f x 随 x 的变化情形如下：名师归纳总结 x ,222 k, 11 1,第 7 页,共 23 页kkf x00f x极大值微小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以函数 f x 的单调递增区间是,2 k和 1, ,单调递减区间是2 k, 1 . 当 k2 时,f x ,f x 随 x 的变化情形如下：x , 1
14、1 1,222 k,2 k. kkf x00f x极大值微小值1,所以函数 f x 的单调递增区间是, 1 和2 k,单调递减区间是2 当 k 1 时, f x 的极大值等于3e2. 理由如下：当 k 2 时, f x 无极大值224 1当 2k0 时, f x 的极大值为 f ke k 2k,24 1 4 1令 e k 2k3e2,即k 2k3,4解得 k 1 或 k3 舍去 ke当 k2 时, f x 的极大值为 f 1 k. 由于 e ke 2,01k 12,ke 1所以k 2e2. 1由于 2e 23e2,所以 f x 的极大值不行能等于 3e 2. 综上所述,当 k 1 时, f x
15、 的极大值等于 3e2. 利用导数解决函数的最值问题 例 3 已知函数 f x x kex. 1 求 f x 的单调区间；名师归纳总结 2 求 f x 在区间 0,1上的最小值x. 第 8 页,共 23 页 自主解答 1 f x xk1e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 f x 0,得 x k1. f x 与 f x 的情形如下：x , k1 k1 k1,上f x0f xk1e所以, f x 的单调递减区间是 , k1 ；单调递增区间是 k1, 2 当 k10,即 k1 时,函数f x 在 0,1 上单调递增,所以f x在区间 0,1的最小值为f
16、0 k；当 0k11,即 1k2 时,由1 知 f x 在0 ,k1 上单调递减, 在 k1,1 上单调递增, 所以 f x 在区间 0,1上的最小值为f k1 e k1；上单调递减,所以f x 在区间 0,1上的最当 k11,即 k2 时,函数 f x 在0,1小值为 f 1 1 ke. 保持本例条件不变,求f x 在0,1上的最大值解：由本例 2 可知当 k1 时,函数 f x 在0,1 上单调递增所以 f x 在区间 0,1 上的最大值为 f 1 1 ke. 当 1k2 时,由于 f 0 k,f 1 1 ke. 名师归纳总结 令 f 1 f 0 1 ke k0,得 ke e1. 第 9
17、页,共 23 页当 1k f 0 此时 f x 在 0,1 上的最大值为f 1 1 ke. 当e e1k2 时, f 1 f 0 此时 f x 在 0,1 上的最大值是f 0 k. 当 k2 时,函数 f x 在0,1上单调递减,所以 f x 在区间 0,1上的最大值为f 0 k. 综上所述,当k e1时, f x 在0,1上的最大值为k. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时,要先求函数yf x 在 a,b 内全部使 f x 0 的点,再运算函数 yf x 在区间内全部使 f x 0 的点和区间端点处的函数值,最
18、终比较即得,也可利用函数的单调性求得32022 江西高考 已知函数f x ax 2bxcex 在0,1上单调递减且满意f 01,f 1 0. 1 求 a 的取值范畴；2 设 g x f x f x ,求 g x 在0,1上的最大值和最小值解： 1 由 f 0 1,f 1 0 得 c 1,ab 1,就 f x ax2 a1 x1ex,0 a0,所f x ax2 a 1 xaex. 依题意须对于任意x0,1 ,有 f x0 时,由于二次函数yax 2 a1 xa 的图象开口向上,而 f 以须 f 1 a1e0 ,即 0a1；当 a1 时,对任意x0,1 有 f x x 21ex0,f x 符合条件
19、；当 a0 时,对于任意x0,1,f x xe x0,f x 符合条件；当 a0,f x 不符合条件故 a 的取值范畴为0 a1.2 因 g x 2ax1aex,所以 g x 2ax1aex. 当 a0 时,g x e x0,g x 在 x0 处取得最小值 大值 g1 e. 当 a1 时,对于任意 x0,1 有 g x 2xe x0,g x 在 x 0 处取得最大值g0 2,在 x1 处取得最小值 g1 0. 1 a 当 0a0. g0 1,在 x1 处取得最名师归纳总结 如1 a 2a1,即 0a1 3时,g x 在0,1上单调递增, g x 在 x0 处取得最小值g0第 10 页,共 23
20、 页1a,在 x1 处取得最大值g1 1 ae. 如1 a 2a1,即1 3a1 时, g x 在 x1a 2a处取得最大值g1a2ae1a a ,在 x 0 或22ax1 处取得最小值,而g0 1 a,g1 1 ae ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就当1 3ae 1 e 1时, g x 在 x0 处取得最小值g0 1a；当e1 e1a0,g x x 3bx. 1 如曲线 yf x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 ,c 处具有公共切线, 求 a,b 的值；2 当 a 24b 时,求函数f x g x 的单调区间,并求其在区间 , 1 上的最
21、大值 快速规范审题 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第1 问 1审条件,挖解题信息 观看条件：曲线 y f x 与曲线 yg x 在它们的交点 1 ,c 处有公共切线两曲线在 x 1处的纵坐标及导数相同fg,fg2审结论,明确解题方向 观看所求结论：求 a,b 的值需要建立关于 a, b的方程组 将fg用 a,b 表示即可fg3建联系,找解题突破口 问题转化为解方程组fg须求 f x 和g xf x 2ax,fgg x 3x 2b将x1代入a1b1 2a3b. ab3. 第2 问 1审条件,挖解题信息 观看条件
22、：xa 2 4b可消掉一个参数,使f x 与g x 含有同一个参数f x ax2 1 a0 ,g x31 4a2x. 2审结论,明确解题方向f观看所求结论：求函数f x g x 的单调区间及其在区间 , 1 上的最大值xg x 含 x 3及参数 a应利用导数解决3建联系,找解题突破口名师归纳总结 问题转化为求函数h x f x g x x3ax21 4a 2x1 的导数,单调第 12 页,共 23 页由hx 和h x 确定单调区间单调递增区间为,a 2和 a 6,递减区间为a 2, a争论 -a及-a与区间, 的关系,求最值26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
23、 - - 当1a 2,即 0a2时, hxmaxh2aa 4,当a 21 a 6,即 2a0 时, h x 与 h x 的变化情形如下：x ,a 2a 2a 2, aa 6a 6,h x00h x名师归纳总结 函数h x 的单调递增区间为,a 2易将单调递增区间写成并集” 或第 13 页,共 23 页和 a 6,单调递减区间为a 2, a 6 . .6“,a 2 a 6,分 “,a 2或 a 6,” 而导致当 1a 2,即错误 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0a2 时,函数 h x 在区间 , 1 上单调递增, h x 在区间 , 1 上的最2
24、大值为 h1 aa 4；.8 分 当a 21 a 6,即 2a 6,即 a6 时,函数 h x 在区间,a 2上单调 易忽视对 a 的分类讨a a a 论 或 分 类 不 准 确 造递增,在区间2,6上单调递减,在区间6, 1 上单调递 成解题错误 . 增,又由于 h a 2h 1 1a14a 214 a2 20,所以 h x 在区间 , 1 上的最大值为 h a 21. .12 分 2综上所述：当 a0,2 时,最大值为 h 1 aa 4；a当 a2 , 时,最大值为 h 2 1. .13 分 答题模板速成 用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：求函第数.其次步求函数.第三
25、求函数 f x 在一f xf x 在步步的导判定单给定区给定区间上的求极求数调性间上的极值点导f 单调性x .第四求函数.第比较函数.第六步查看关键点, 易错五f x 的各点和解题规范 如f x 在步步此题的关键点是极值与端给定区反思回求端确点值的大确定函数单调区间上的顾点值定小,确定间；易错点是对参端点值最函数数的争论名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值 f x 的最 大值和最小值一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 1已知定义在 R上的函数 f x ,其导函数 f x 的大致图象如图
26、所示,就以下表达正确选项 Af b f c f d Bf b f a f e Cf c f b f a Df c f e f d 解析：选 C 依题意得,当x , c 时, f x0 ；当 x c,e 时, f x0. 因此,函数f x 在 , c 上是增函数,在 c,e上是减函数,在 e, 上是增函数,又ab f b f a 2函数 f x 的定义域为 R,f 1 2,对任意 xR,f x 2,就 f x 2x4 的解集为 A 1,1 B 1,C , 1 D ,解析：选 B 令函数 g x f x 2x4,就 g x f x 20,因此, g x 在 R上是增函数, 又 g 1 f 1 242240. 所以,原不等式可化为 g x g 1 ,由 g x 的单调性,可得 x1. 32022 陕西高考 设函数 f x xe x,就 Ax1 为 f x 的极大值点Bx1 为 f x 的微小值点Cx 1 为 f x 的极大值点Dx 1 为 f x 的微小值点解析： 选 D 求导得 f x exxe xex x1 ,令 f x ex x1 0,解得 x1,易知 x 1 是函数 f x 的微小值点名师归纳总结 - - -