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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2022 高中文科数学学问点（函数）一、函数的概念：1. 映射：一般地,设A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合A B中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应, 那么就称对应f ：A为从集合 A到集合 B的一个映射；记作“f （对应关系） ：A（原象）B（象）”对于映射 f ：AB 来说,就应满意：1 集合 A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯独的；2 集合 A中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；3 不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；2. 函数
2、的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f ：A B为从集合 A 到集合 B的一个函数记作： y=fx,x A其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、对应关系、值域 . 3. 假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一样,就称这两个函数相等 . 4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 . 二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数组的主要
3、依据是：1 分式的分母不等于零；x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时,列不等式 2 偶次方根的被开方数不小于零； 3对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1；5 指数为零,底不行以等于零；6 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 分都有意义的 x 的值组成的集合；. 那么,它的定义域是使各部7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 三、值域的求法 : 1. 函数的值域是由其对应法就和定义域共同打算的其类型依解析式的特点分可分三类：1 求常见函数值域；2 求由常见函数复合而成的函数的值域；3 求由常见函数作某些“ 运算” 而得函数的值域 2
4、. 函数值域的常用方法：1 观看法：通过对函数定义域、性质的观看,结合函数的解析式,求得函数的值域；2 配方法： 二次或四次 转化为二次函数,利用二次函数的特点来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和,型如：fxax2bxc,xm ,n的形式,然后依据变量的取值范畴确定函数的最值；3 换元法：代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题,化归思想；4 分别常数法：对某些分式函数,可通过分别常数法,化成部分分式来求值域；名师归纳总结 5 判别式法：第 1 页,共 10 页如函数 y=f （x）可以化成一个系数含有 y 的关于 x
5、 的二次方程 a（y）x 2+ b（y）x+c（ y）=0,就在 a（y） 0 时,由于 x、y 为实数,故必需有 =b 2（y） 4a（y） c（y） 0,从而确定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的x 值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全6 最值法：对于闭区间 a,b上的连续函数y=fx,可求出y=fx在区间 a,b内的极值,并与边界值 fa ,fb作比较 , 求出函数的最值,可得到函数y 的值域；四、解析式的求法：1. 待定系数法：已知函数图象,确定函数解析式,或已知函数的类型且函数满意的方程时,常用待定 系数法；2. 函数性质
6、法：假如题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、 周期性）,就可利用这些性质求出解析式；3. 图象变换法：如给出函数图象的变化过程,要求确定图象所对应的函数解析式,就可用图象变换法；4. 换元法：5. 配凑法：6. 赋值（式）法：五、函数图象：1. 定义：在平面直角坐标系中,以函数 的点 Px ,y 的集合 C,叫做函数 函数关系 y=fx ,反过来,以满意 均在 C上 . 2. 画法：（1）描点法：（2）图象变换法：y=fx , xA中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标y=fx,x A的图象 C上每一点的坐标 x ,y 均满意y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x ,y ,常用
7、变换方法有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换3. 区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示六、函数的单调性：1. 定义：设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1,x2,当 x1x2时,都有 fx 1fx 2 ,那么就说 fx 在区间 D上是增函数 . 区间 D称为 y=fx的单调增区间 . 假如对于区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x 1x2 时,都有fx1 fx2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数. 区间 D称为 y=fx的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部
8、性质2. 图象的特点：假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右 是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法：1 定义法：1任取 x1,x2D,且 x1x2；2作差 fx1 fx2 ；1 fx2 的正负）；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判定差fx5下结论（指出函数fx 在给定的区间D上的单调性） 2 图象法 从图象上看升降 4. 函数单调性的常用结论：1 如f x ,g x 均为某区间上的增（减）函数,就f g x 在这个区间上也为增（减）函数；名师归纳
9、总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2 如f x 为增（减）函数,就f x 为减（增）函数；3 如f x 与g x 的单调性相同,就yf g x 是增函数；如f x 与g x 的单调性不同,就yf g x 是减函数；其规律： “ 同增异减”4 奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反；5 常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、 作函数图象；6 函数的单调区间只能是定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成并集；七、函数的奇偶性：1. 定义：一般地,对于函
10、数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函数2. 具有奇偶性的函数的图象的特点 : 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称3. 判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称；2 确定 f x 与 fx 的关系；3 作出相应结论：如 f x = fx 或 f x fx = 0,就 fx 是偶函数；如 f x = fx 或 fx fx = 0,就 fx 是奇函数4. 函数奇偶性的常用结论：（1）假如一个奇函数在 x 0 处有定义,就 f
11、 0 0,假如一个函数 y f x 既是奇函数又是偶函数,就 f x 0（反之不成立）（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数；（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数；（4）两个函数yf u 和ug x 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数；（5）如函数f x 的定义域关于原点对称,就f x 可以表示为. f x 1f x fx 1f x fx,22该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和；（6）如函数yfx是偶函数,就fxafxa；如函数yfxa是偶函数,就fxafxa（7）多项式
12、函数的奇偶性 多项式函数 P x 是奇函数P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数P x 是偶函数P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 九、函数的周期性：1定义：一般地,对于函数 f x ,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f x T f x ,那么函数 f x 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做函数的周期；2函数周期性的性质：（1）对于非零常数A,如函数yf x 满意f xAf x ,就函数yf x 必有一个周期为 2A；（2）对于非零常数A,函数yf x 满意f xA1,就函数yf x 的一个周期为f x 2A；名师归纳总结 - -
13、 - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（3）对于非零常数A,函数yf x 满意f x 1,就函数yf x 的一个周期为2A；f x 3. 对称性和周期性之间的联系：（1）函数yf x 有两根对称轴离的两倍必是函数的一个周期；x=a,x=b 时,那么该函数必是周期函数,且对称轴之间距（2）函数 y f x 满意 f a x f a x c 和 f b x f b x c （a b）时,函数y f x 是周期函数；（函数 y f x 图象有两个对称中心（a,c ）、（b,c ）时,函数 y f x 是周期函数,2 2且对称中心距离的
14、两倍,是函数的一个周期；）（3）函数 y f x 有一个对称中心（a,c）和一个对称轴 x b ）（a b）时,该函数也是周期函数,且一个周期是 4 b a 十一、二次函数：1. 一般式：fxax2bxc,a002. 顶点式：x0fxa m 2n,ax3. 零点式：fxa xx 1x2,a十二、反比例函数：形如yk, k0的函数x十三、“ 对号” 函数：形如yaxb,a,b0的函数0及b,上为增函数,在b,0及x1. 一般地,对于函数yaxb,a,bx（）当a,0 b0时,函数在,b aaa0,b上为减函数函数的值域是,2ab2ab,a及0 ,上都是增函数,值域为（）当a0 b0时,函数在0,
15、十四、指数函数：1. 根式的概念：名师归纳总结 假如xna aR xR n1,且 nN,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时,第 4 页,共 10 页a 的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数 当 n 为奇数时, a 为任意实数；当 n 为偶数时,a02. 根式的性质： n a n a ；当 n 为奇数时,nn aa ；当 n 为偶数时,nan|a|aa a0
16、 a0 3.分数指数幂的概念：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全规定： 1）annaaanN；2）a01a0；n 个3）ap1pQammnama0,m naN,且n1,且n1ap正数的正分数指数幂的意义是：n0 的正分数指数幂等于0 a1mn1 am0,m nN正数的负分数指数幂的意义是：nna0 的负分数指数幂没有意义4. 分数指数幂的运算性质：留意口诀：底数取倒数,指数取相反数arasarsa0, , r sR R arsarsa0, , r sRr abrr a ba0,b0,r（注）上述性质对r、 sR 均适用；5. 指数函数：函数名
17、称y1函数yax指数函数1叫做指数函数a1定义a0且aa10图象yyaxyaxyy10,10,1定义域OxOx0,R值域过定点图象过定点 0,1 ,即当x0时,y1奇偶性在 R上是减函数非奇非偶单调性在 R上是增函数函数值的ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0变化情形a 变化ax1 x0ax1 x0在第一象限内,a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低对图象的影响十五、对数函数：1. 对数：名师归纳总结 定义：假如aa0 ,且a1 的 b 次幂等于 N,就是abN,那么数 b 称以 a 为底 N 的第 5 页,共 10 页对数,记作logaNb,其中 a 称对数的底, N
18、称真数；1）以 10 为底的对数称常用对数,log10N记作lgN- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2）以无理数e e2 . 71828为底的对数称自然对数,logeN,记作lnN基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；y1logax2）对数恒等式：log 10, logaa1,alogaNN, logaabb3）对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0运算性质：假如a0,a1,M0,N0,那么1）加法： logaMlogaNlog MN2）减法： logaMlogaNMlogaMN3）数乘：nlogaMlogan
19、nR 4）换底公式：logaNlogmNa0,a0,m0 ,m,1N0 ；logmalogablogba1；logambnnlogabm2. 对数函数：函数名称对数函数定义函数ylogax a0且a1叫做对数函数a10ayx1ylogaxyx1图象x1,0O1,0xO定义域0,值域R 图象过定点 1,0 ,即当x1时,yx0过定点奇偶性 上是减函数非奇非偶在 0, 上是增函数在 0,单调性logax0 x1loga0 x1函数值的logax0 x1logax0 x1变化情形a 变化logax0 0x1logax0 0x1在第一象限内,a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高对图象的
20、影响十六、幂函数：1. 幂函数的定义名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全一般地,函数yx叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数2. 幂函数的图象3. 幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布 在第一、 二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时, 图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,10,就幂单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增
21、函数假如函数的图象在0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数, 当为偶数时, 幂函数为偶函数 当q（其中 p,p qq互质, p 和 qZ ）,如 p 为奇数 q 为奇数时, 就yxp是奇函数, 如 p 为奇数 q 为偶数时,qqyx就yxp是偶函数,如p为偶数 q 为奇数时,就p是非奇非偶函数图象特点：x幂函数yx,xy0,当1时,如 0x1,其图象在直线yx 下方,如1,其图象在直线x上方,当1时,如 0x1,其图象在直线yx 上方,如x1,其图象在直线yx 下方十八、抽象函数：1. 定义：名师归纳总结 所谓抽象函数问题,是指没有详细地
22、给出函数的解析式,只给出它的一些特点或性质；第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质,因而它具有抽象性、综合性和技巧 性等特点；2. 几类常见的抽象函数：序号抽象函数满意条件f x2代表函数k0）1 f x 1x 2f x 1正比例函数f x kx （f x 1x2f x 1f x2指数函数f x ax2 3 f x 1f x 1x 2f x 1f x2fxf（a0,a1）1f x 1x 2f x 1f x2对数函数f x log ax或fx 1f x 1f x 2（a0,a1）
23、x24 x2fx 1f x2或fx幂函数f x xayfy5 f x 1f x22fx 12x 2fx 1x 2余弦函数f x cosx26 fxyfxfy正切函数fx=tanx1fxfy7 f x 1fx 2fx 1x2f x loga1x1x x21x8 f x 1 log ax 或f x xf x x3. 定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换；函数的定义域是指自变量的取值范畴,求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地 位等同（即同一对应法就后括号内的式子具有相同的取值范畴）4. 值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法就打算；5. 单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合
24、定义、适当加以配凑；6. 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值；7. 周期性：解决抽象函数的周期性问题充分懂得与运用相关的抽象式是关键；8. 对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法；十九、反函数：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全1. 定义：一般地,对于函数 y f x ,设它的定义域为 D,值域为 A；假如对于 A 中的任意一个值 y ,在 D中总有惟一确定的 x 值与它对应,使 y f x ,这样得到 x 关于 y 的函数叫函数 y f x 的反函数
25、； 记作 x f 1 y ；习惯上,把它改写为 y f 1 x x A ；2. 求反函数的基本步骤：（1）求值域：求原函数的值域（2）反解：视 y 为常量,从 y f x中解出唯独表达式 x f 1y ,（3）对换：将 x 与 y 互换,得 y f 1x ,并注明定义域；3. 反函数 y f 1x 与原函数 y f x 的关系：（1）y f 1x 的定义域、值域分别为 y f x 的值域、定义域；（2）如 y f x 存在反函数,且 y f x 为奇函数,就 y f 1x 也为奇函数；（3）如 y f x为单调函数,就 y f 1x 同 y f x 有相同的单调性；（4） y f x和 y f 1x 在同始终角坐标系中,图像关于 y x 对称；4. 存在反函数的条件是：函数为单调函数（或一一对应）二十、分段函数：所谓“ 分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法就的函数；对它应有以下两点基本熟悉：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集；名师归纳总结 二十一、 恒成立问题与存在性问题：第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页