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1、知识点大全2013 高中文科数学知识点（函数）一、函数的概念：1. 映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f ：AB为从集合A到集合 B的一个映射。记作“f （对应关系） ：A（原象）B（象） ”对于映射f：AB来说，则应满足：(1) 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。2. 函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关
2、系f ，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f ：A B为从集合A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)，x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 3. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：(1) 分式的
3、分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5) 指数为零，底不可以等于零；(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 三、值域的求法 : 1. 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1) 求常见函数值域；(2) 求由常见函数复合而成的函数的值域；(3) 求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域2. 函数值域的常用方法：(1) 观察法：通过对函数
4、定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。(2) 配方法：( 二次或四次 ) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。(3) 换元法：代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。(4) 分离常数法：对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。 (5) 判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）
5、 0 时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y） 4a（y） c（y） 0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页知识点大全(6) 最值法：对于闭区间 a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间 a,b内的极值，并与边界值 f(a) ，f(b)作比较 , 求出函数的最值，可得到函数y 的值域。四、解析式的求法：1. 待定系数法：已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。2. 函数性质法：如果题目中给出函数的某些
6、性质（如奇偶性、 周期性），则可利用这些性质求出解析式。3. 图象变换法：若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。4. 换元法：5. 配凑法：6. 赋值（式）法：五、函数图象：1. 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C上 . 2. 画法：（1）描点法：（2）图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换、伸缩变
7、换、对称变换3. 区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示六、函数的单调性：1. 定义：设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1， x2， 当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2) ， 那么就说 f(x) 在区间 D上是增函数 . 区间 D称为 y=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 区间 D称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质2.
8、 图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法：(1) 定义法：1任取 x1，x2D，且 x1x2；2作差 f(x1) f(x2) ；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1) f(x2) 的正负）；5下结论（指出函数f(x) 在给定的区间D上的单调性） (2) 图象法 ( 从图象上看升降) 4. 函数单调性的常用结论：(1) 若( ),( )f xg x均为某区间上的增（减）函数，则( )
9、( )fxg x在这个区间上也为增（减）函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页知识点大全(2) 若( )f x为增（减）函数，则( )f x为减（增）函数；(3) 若( )f x与( )g x的单调性相同，则( )yf g x是增函数；若( )f x与( )g x的单调性不同，则( )yf g x是减函数；其规律： “同增异减”(4) 奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；(5) 常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、 作函数图象；(6) 函数的单调区间只能是
10、定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。七、函数的奇偶性：1. 定义：一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数2. 具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称3. 判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f( x) 与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)
11、是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f(x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数4. 函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在0 x处有定义，则(0)0f，如果一个函数( )yf x既是奇函数又是偶函数，则( )0f x（反之不成立）（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。（4）两个函数( )yf u和( )ug x复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。（5）若函数( )f x的定义域关于原点对称，则( )f x可以表示为11( )
12、( )()( )()22f xf xfxf xfx，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。（6）若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. （7）多项式函数的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 (即奇数项 )的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 (即偶数项 )的系数全为零. 九、函数的周期性：1定义：一般地，对于函数( )f x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有(T)( )f xf x，那么函数( )f x就叫做周期函数，非零常数T 叫做函数的周
13、期。2函数周期性的性质：（1）对于非零常数A，若函数( )yf x满足(A)( )f xfx，则函数( )yf x必有一个周期为 2A。（2）对于非零常数A，函数( )yf x满足1(A)( )f xf x，则函数( )yf x的一个周期为2A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页知识点大全（3）对于非零常数A， 函数( )yf x满足1( )( )f xf x， 则函数( )yf x的一个周期为2A。3. 对称性和周期性之间的联系：（1）函数( )yf x有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称
14、轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。（2）函数( )yf x满足()()f axf axc和()()f bxf bxc（ab）时，函数( )yf x是周期函数。（函数( )yf x图象有两个对称中心（a，2c） 、 （b，2c）时，函数( )yf x是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）（3）函数( )yf x有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb） （ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba十一、二次函数：1. 一般式：0,)(2acbxaxxf2. 顶点式：0,)()(2anmxaxf3. 零点式：0),)()(21axxxxaxf十二、反比例函数：形如0,k
15、xky的函数十三、 “对号”函数：形如0,baxbaxy的函数1. 一般地，对于函数0,baxbaxy（）当0, 0 ba时，函数在),(ab及),(ab上为增函数，在)0,(ab及),0(ab上为减函数函数的值域是),22,(abab（）当0,0 ba时，函数在)0 ,(及),0(上都是增函数，值域为),(十四、指数函数：1. 根式的概念：如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示； 0 的n次方根是0；负数a没有n次方根式子na叫做根式， 这里n叫做根指
16、数，a叫做被开方数 当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a2. 根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时， (0)| (0) nnaaaaaa3.分数指数幂的概念：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页知识点大全规定： 1）)(Nnaaaann；2）)0( 10aa；n 个3）)(1Qpaapp正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n0 的正分数指数幂等于0 正数的负分数指数幂的意义是：11()( )(0,mmmnnnaam nNaa且1)n0 的负分数指数幂没有意
17、义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数4. 分数指数幂的运算性质：(0, ,)rsrsaaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba babrR（注）上述性质对r、sR 均适用。5. 指数函数：函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0 x时，1y奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越
18、低十五、对数函数：1. 对数：定义：如果)1,0(aaa且的 b 次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底 N 的对数，记作,logbNa其中a称对数的底， N 称真数1）以 10 为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页知识点大全2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；2）对数恒等式：log 10a，log1aa，NaNalog，lo
19、gbaab3）对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN运算性质：如果0,1,0,0aaMN，那么1）加法：logloglog ()aaaMNMN2）减法：logloglogaaaMMNN3）数乘：loglog()naanMMnR4）换底公式：)0, 1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma；1loglogabba；bmnbanamloglog2. 对数函数：函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数
20、函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高十六、幂函数：1. 幂函数的定义xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页知识点大全一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数2. 幂函数的图象3. 幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函
21、数是偶函数时，图象分布在第一、 二象限 (图象关于y轴对称 )；是奇函数时， 图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数 当qp（其中, p q互质，p和qZ） ，若p为奇数q为奇数时， 则qpyx是奇函数， 若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx
22、是非奇非偶函数图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方十八、抽象函数：1. 定义：所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页知识点大全解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。2. 几类常见的抽象函数：序号抽象函数满足条件代表函数1 1212()()()f xxf xf x
23、正比例函数( )f xkx（0k）2 1212()()()f xxf xf x1212()()()f xxf xf x指数函数( )xf xa（0,1aa）3 1212()()()f xxf xf x或1122()()()xff xf xx对数函数( )logaf xx（0,1aa）4 1212()()()f xxfxf x或)y(f)x(f)yx(f幂函数( )af xx5 121212()()2()()22xxxxf xf xff余弦函数( )cosf xx6 )y(f )x(f1)y(f)x(f)yx(f正切函数f(x)=tanx7 121212()()()1xxf xfxfx x1(
24、)log1axf xx8 1( )( )f xf x( )logafxx或1( )f xxx3. 定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）4. 值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。5. 单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当加以配凑。6. 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值。7. 周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。8. 对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、
25、特值代入是妙法。十九、反函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页知识点大全1. 定义：一般地，对于函数y)(xf，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值y，在 D中总有惟一确定的x值与它对应，使( )yfx，这样得到x关于y的函数叫函数y)(xf的反函数。 记作x)(1yf。 习惯上，把它改写为y)(1xf)(Ax。2. 求反函数的基本步骤：（1）求值域：求原函数的值域（2）反解：视y 为常量，从yfx中解出唯一表达式1xfy，（3）对换：将x与y互换，得1yfx，并注明定义域。3. 反函数1yfx与
26、原函数yfx的关系：（1）1yfx的定义域、值域分别为yfx的值域、定义域。（2）若yfx存在反函数，且yfx为奇函数，则1yfx也为奇函数。（3）若yfx为单调函数，则1yfx同yfx有相同的单调性。（4）yfx和1yfx在同一直角坐标系中，图像关于yx对称。4. 存在反函数的条件是：函数为单调函数（或一一对应）二十、分段函数：所谓“分段函数” ，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。二十一、恒成立问题与存在性问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页知识点大全精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页