《2022年高三数学大一轮复习函数的单调性与最值学案理新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学大一轮复习函数的单调性与最值学案理新人教A版.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思学案 5 函数的单调性与最值导学目标： 1. 懂得函数的单调性、最大值、 最小值及其几何意义 .2. 会用定义判定函数的单调性,会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值自主梳理1单调性1 定义： 一般地, 设函数 yf x 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2时,都有 f x1f x2 ,那么就说 f x在区间D上是 _2 单调性的定义的等价形式：设 x1, x2 a,b ,那么 x1x2 f x1 f x20 .f x1f x2x1x2 0 .
2、 f x 在 a , b 上 是 _ ； x1 x2 f x1 f x20 .f x1f x2x1x2 0 在 ,a , a, 上是单调 _；在 a,a0 , 0 ,a 上是单调 _；函数 yxx a0 在_上单调递增2最值一般地,设函数y f x 的定义域为I ,假如存在实数M满意：对于任意的xI ,都 y f x 的有 f x M f x M ；存在x0 I ,使得f x0 M. 那么,称M 是函数_自我检测名师归纳总结 bx12022 杭州模拟 如函数 yax 与 yb x在0 , 上都是减函数,就yax2第 1 页,共 10 页在0,上是 A增函数B减函数C先增后减D先减后增2设 f
3、x 是 , 上的增函数, a 为实数,就有 Af a f 2 a Bf a 2f a Cf a 2a f a 3下列函数在0,1上是增函数的是 x2Ay12xByx1 Cy x22xDy5 420 11 合肥月考 设a,b , c, d 都是函数 f x 的单调增区间,且x1 a,b , c,d,x1x2,就f x1与f x2的大小关系是 Af x1f x2 Cf x1 f x2 0,5时,函数D不能确定2 4xc的值域为 5 当xf x3x A c, 55c B 4 3c,c - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思C
4、 4 3c, 55c D c, 20c 探究点一 函数单调性的判定及证明例 1设函数 f x xa xb ab0 ,求 f x 的单调区间,并说明f x 在其单调区间上的单调性变式迁移 1 已知 f x 是定义在 R上的增函数, 对 xR有 f x0 ,且 f 5 1,设 F xf x f1,争论 F x 的单调性,并证明你的结论,x1 , x探究点二函数的单调性与最值例 22022 烟台模拟已知函数f x x 22xax1 当 a1 2时,求函数f x 的最小值；a 的取值范畴2 如对任意 x1 , , f x0 恒成立,试求实数a 的取值范畴变式迁移 2 已知函数 f x xa xa 2在
5、1 , 上是增函数,求实数探究点三 抽象函数的单调性例 32022 厦门模拟已知函数f x 对于任意 x,yR,总有 f x f y f xy ,且当 x0 时, f x1 时, f x0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 求 f 1 的值；2 判定 f x 的单调性；3 如 f 3 1,解不等式f | x| 2. 例12 分 求 f x x分类争论及数形结合思想22ax1 在区间 0,2上的最大值和最小值【答题模板】解 f x xa 21a 2,对称轴为 x a. 1
6、当 a0 时,由图可知,f xmin f 0 1,f xmaxf 2 34a.3 分 2 当 0a1 时,由图可知,f x minf a 1a 2,f x max f 2 34a.6 分 3 当 12 时,由图可知,f xminf 2 34a,f xmaxf 0 1. 综上, 1 当 a0 时, f x min 1,f x max34a；2 当 0a1 时, f xmin 1a 2,f x max34a；3 当 12 时, f xmin34a,f xmax 1.12 分 【突破思维障碍】1 二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的故只需确定对称轴与区间的关系由于对称轴是xa,而 a 的取值不定
7、,从而导致了分类争论2 不是应当分a2 三种情形争论吗？为什么成了四种情形？这是由于抛物线的对称轴在区间0,2所对应的区域时,最小值是在顶点处取得,但最大值却有可能是f 0 ,也有可能是f 2 1函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：1 定义法； 2 导数法； 3 图象法； 4 单调性的运算性质名师归纳总结 2如函数 f x,g x 在区间 D上具有单调性,就在区间D上具有以下性质： 减第 3 页,共 10 页1 f x 与 f xC具有相同的单调性2 f x 与 af x ,当 a0 时,具有相同的单调性,当a f a ,就实数 a 的4xx2,x0 , x2 x30, x3 x10
8、 , 就 f x1 f x2 f x3 的 值 A肯定大于 0 B肯定小于 0 C等于 0 D正负都有可能题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 6函数 y x3| x| 的递增区间是 _7设 f x 是增函数,就以下结论肯定正确选项 _ 填序号 y f x 2是增函数；1yf x 是减函数；y f x 是减函数；y| f x| 是增函数名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思8设 0x1,就函数 y1 x三、解答题 共 38 分 1 1x的最小值是
9、_912 分 2022 湖州模拟 已知函数 f x a1 | x| . a 的取1 求证：函数yf x 在0 , 上是增函数；2 如 f x0 成立a b1 判定 f x 在 1,1 上的单调性,并证明它；2 解不等式： f x1 2 f 1 x 1 ；m的取值范畴3 如 f x m 22am1 对全部的 a 1,1 恒成立,求实数答案自主梳理11 增函数 减函数 2 增函数减函数3 单调区间4 递增递减 ,0 , 0 ,2. 最大 小 值自我检测1B 由已知得 a0,ba, f x 在 R上单调递增,f a 21 f a xb 2a0,且图象开口向下 3C 常数函数不具有单调性 4D 在此题
10、中, x1,x2不在同一单调区间内,故无法比较 f x1 与 f x2 的大小 5C f x3 x2 3 24 3c,x0,5,当 x2 3时, f x min 4 3c；当 x5时, f xmax55c. 课堂活动区例 1 解题导引 对于给出详细解析式的函数,判定或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义 基本步骤为：取点,作差或作商,变形,判定 来求解可导函数就可以利用导数求解 有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数,解 在定义域内任取 x1,x2,且使 x10, yf x2 f x1 x2bx1a利用其单调性可以便利求解名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页
11、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思x2ax1bx2bx1abax1b. x2bx2x1x1bx2bfab0, ba0, ba x2x10 ,又 x , b b, ,只有当 x1x2 b,或 bx1x2 时,函数才单调当 x1x2b,或 bx1x2 时, f x2 f x10,即 y0. yf x 在 , b上是单调减函数,在 b, 上也是单调减函数变式迁移1 解在 R 上任取 x1、x2,设 x1 f x1 ,F x2 F x1 f x21 f x1 f1 f x2 f x11 fx11x2 ,x2x1ff x 是 R上的增函数,且f 5
12、1,当 x5 时, 0f x5 时 f x1 ；如 x1x25,就 0f x1 f x21,0f x1 f x21 , 1fx11x20,fF x2x15,就 f x2 f x11 ,f x1 f x21 , 1fx11x20,fF x2F x1 综上, F x 在 , 5 为减函数,在 5 , 为增函数例 2解1 当 a1 2时, f x x1 2x2,设 x1,x21 , 且 x1x2,f x1 f x2 x11 2x1x212x2 x1x21 1 2x1x2 x1x2, x1x20,又 1x10,f x1 f x20 , f x10 恒成立,等价于x22xa0 恒成立设 yx 22xa,
13、x 1 , ,yx22x a x 12a1 递增,当 x1 时, ymin3a,于是当且仅当ymin3a0 时,函数 f x恒成立,故 a3. 方法二f x xa x2,x 1 , ,当 a0 时,函数 f x 的值恒为正,满意题意,当a0 时,函数 f x0 恒成立,故 a3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方法三在区间 1 , 上 f xx 22xax0 恒成立等价于x 22xa0 恒成立即 ax22x 恒成立又 x 1 , , ax 22x 恒成立,a 应大于函数 u x 22x,x 1 , 的最大值ax
14、22x x121. 当 x1 时, u 取得最大值 3, a3. 变式迁移 2 解设 1x1x2. 函数 f x 在1 , 上是增函数,f x1 f x2 x1a x1a 2 x2a x2a 2 x1x21 a x1x20. 又 x1x20,即 ax1x2 恒成立1x11, x1x2x2,就 f x1 f x2 f x1x2x2 f x2 f x1x2 f x2 f x2 f x1x2 又 x0 时, f x0, f x1x20 ,即 f x10,代入得 f 1 f x1 f x1 0,故 f 1 0. 2 任取 x1,x20 , ,且 x1x2,就x1 x21,由于当 x1 时, f x0
15、,f x1 x20,即 f x1 f x20 , f x10 时,由 f | x| 2,得 f x9；当 x0 时,由 f | x| 2,得 f x9,故 x9 或 xa,解得 2a0 时,它有两个减区间为 , 1 和 1, ,故只需区间 1,2 是 f x 和 g x 的减区间的子集即可,就 a 的取 值范畴是 00,x2x30,x3x10,x1x2,x2x3,x3x1. 又 f x1 f x2 f x2 ,f x2 f x3 f x3 ,f x3 f x1 f x1 ,f x1 f x2 f x3 f x2 f x3 f x1 f x1 f x2 f x30. 60 ,3 2 xxxxx.
16、 解析yx画图象如下列图：3 可知递增区间为 0 ,2 7 解析 举例：设 f x x,易知均不正确84 解析y1 x1 1xx1,当 0x1 时, x1 x x1 221 41 4. xy4.当 x 0 , 时,91 证明f x a1 x,设 0x10,x2x10. 名师归纳总结 f x1 f x2 a1 x1 a1 x2 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 x2 1 x1 x1x2 x1x20. 5分 f x1f x2 ,即 f x 在 0 , 上是增函数 6 分 2 解 由题意 a1
17、 x2x 在1 , 上恒成立,设 h x 2x1 x,就 a0,10h x 在1 , 上单调递增 分 故 ah1 ,即 a3.12a 的取值范畴为 , 3 分 10解设 f x 的最小值为g a,就只需 g a 0,4由题意知, f x 的对称轴为a 2. 1 当a 24 时,g a f 2 73a0,得 a7 3. 又 a4,故此时的a 不存在 分 2 当a 2 2,2 ,即 4 a4 时,2g a f a 2 3aa 40 得6 a2.又4 a4,故 4 a2. 8分 3 当a 22,即 a4 时,g a f 2 7a0 得 a 7. 分 又 a4,故 7 a4. 12综上得所求a 的取值
18、范畴是 7 a2. 11解1 任取 x1, x2 1,1 ,且 x10,x1x20,x1x2f x1 f x20 ,即 f x1 f x2 f x 在 1,1 上单调递增 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2 f x 在 1,1 上单调递增,名师归纳总结 x1 21 x 1,第 10 页,共 10 页1 x1 21,11分x 13 2x1. 9分 3 f 1 1,f x 在 1,1 上单调递增在 1,1 上,f x 1. 10分 问题转化为 m 22am11,即 m 22am0,对 a 1,1 成立下面来求 m的取值范畴设 g a 2ma m 20. 如 m0,就 g a 00,自然对a 1,1 恒成立如 m 0,就 g a 为 a 的一次函数, 如 g a 0,对 a 1,1 恒成立,必需 g 1 0,且 g1 0,m 2,或 m2.m的取值范畴是m0 或| m| 2. 14 分 - - - - - - -