《2022年高三数学大一轮复习离散型随机变量的均值与方差学案理新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学大一轮复习离散型随机变量的均值与方差学案理新人教A版.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载学案 68 离散型随机变量的均值与方差导学目标 ： 1. 懂得取有限个值的离散型随机变量均值、型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题自主梳理 1离散型随机变量的均值与方差 如离散型随机变量 X 的分布列为方差的概念 .2. 能运算简洁离散X x1x2xixnX的 均 值 或P p1p2pipn1 均值称E X _ 为 随 机 变 量_,它反映了离散型随机变量取值的_2 方差称 D X _为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X 与其均值 E X 的_,其 _ 为随机变量X的标准差2均值与方差的性质1 E aXb _.
2、2 D aXb _. a,b 为实数 3两点分布与二项分布的均值、方差1 如 X 听从两点分布,就 E X _,D X _. 2 如 XB n,p ,就 EX _,D X _. 自我检测1如随机变量 X 的分布列如下表,就 E X等于 X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x1 1 20 9A. 18 B. 9 C. 9 D. 2022022 菏泽调研 已知随机变量 X 听从二项分布,且 E X 2.4 ,D X 1.44 ,就二项分布的参数 n,p 的值为 An4,p 0.6 Bn6,p 0.4 Cn8,p 0.3 Dn24,p0.1 32022 全国 某种种子每粒发
3、芽的概率都为 0.9 ,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,就 X 的数学期望为 A100 B 200 C300 D400 42022 浙江 某毕业生参与人才聘请会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简名师归纳总结 历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三第 1 页,共 11 页个公司是否让其面试是相互独立的,记 X 为该毕业生得到面试的公司个数如 P X0 1 12,就随机变量X 的数学期望E X _. 52022 杭州月考 随机变量 的分布列如下：101 P a b c其中 a,b, c 成等
4、差数列如E 1 3,就 D _. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究点一优秀学习资料欢迎下载离散型随机变量的期望与方差例 1 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个 n1,2,3,4现从袋中任取一球, 表示所取球的标号1 求 的分布列、期望和方差；2 如 a b, E 1,D 11,试求 a,b 的值变式迁移 1 编号 1,2,3 的三位同学随便入座编号为 1,2,3 的三个座位, 每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的同学的个数是 X. 1 求随机变量 X 的分布列；2 求随机变量 X 的数学期望和
5、方差探究点二 二项分布的期望与方差例 22022 黄山模拟 A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用如干试验组进行对比试设验每个试验组由4 只小白鼠组成,其中2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观看疗效如在一个试验组中, 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多, 就称该试验组为甲类组每只小白鼠服用A 有效的概率为2 3,服用 B 有效的概率为1 2. 1 求一个试验组为甲类组的概率；2 观看 3 个试验组,用表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望变式迁移 2 某同学在上学路上要经过4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是1 3,遇到红灯时
6、停留的时间都是2 min. 1 求这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；名师归纳总结 2 求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究点三优秀学习资料欢迎下载离散型随机变量期望与方差的应用例 3 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,如投保人在购买保险的一年度内出险,就可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 00010 4元的概率为
7、 10.999 .1 求一投保人在一年度内出险的概率 p；2 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费 单位：元 变式迁移 3 因冰雪灾难,某柑桔基地果林严峻受损,为此有关专家提出两种挽救果树的方案, 每种方案都需分两年实施如实施方案一, 估计第一年可以使柑桔产量复原到灾前的 1.0 倍、 0.9 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.3 、0.3 、0.4 ；其次年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是0.5 、0.5. 如实施方案二, 估计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.
8、0 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2 、 0.3 、0.5 ；其次年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.4 、0.6. 实施每种方案第一年与其次年相互独立,令 i i 1,2 表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数1 写出 1、 2的分布列；2 实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？3 不管哪种方案,假如实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,估计名师归纳总结 利润分别为10 万元、 15 万元、 20 万元问实施哪种方案的平均利润更大？第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
9、 - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1如 a b,就 E aE b,D a 2D 2如 B n,p ,就 E np,D np1 p 3求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：1 已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义 公式 求解； 2 已知随机变量 的期望、方差,求 的线性函数 a b 的期望、方差和标准差,可直接用 的期望、方差的性质求解； 3 如能分析所给随机变量,是听从常用的分布 如两点分布、二项分布等 ,可直接利用它们的期望、方差公式求解 满分： 75 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 12022 福州质检 已知某一随机变量 的概率分布列如下,且
10、E 6.3 ,就 a的值为 4 a 9 P 0.5 0.1 bA.5 B6 C7 D8 2设 B n,p ,如有 E 12,D 4,就 n、p 的值分别为 2 1 1 1A18,3 B 16,2 C20,6 D15,43随机变量 X的分布列为X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 就 E5 X4 等于 A15 B11 C2.2 D2.3 4设掷 1 枚骰子的点数为 ,就 2 35AE 3.5 ,D 3.5 BE 3.5 ,D 1235CE 3.5 ,D 3.5 DE 3.5 ,D 1652022 成都调研 已知抛物线 yax 2bxc a 0 的对称轴在 y 轴的左侧,其中a、b、c 3,
11、2,1,0,1,2,3,在这些抛物线中, 记随机变量 为“ | ab| 的取值” ,就 的数学期望 E 为 8 3 2 1A. B. C. D.9 5 5 3二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 名师归纳总结 62022 上海 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：第 4 页,共 11 页x 123 P x？！？请小牛同学运算的数学期望尽管“ ！” 处完全无法看清,且两个“ ？” 处字迹模糊 , 但 能 断 定 这 两 个 “？ ”处 的 数 值 相 同 据 此 , 小 牛 给 出 了 正 确 答 案E _. 72022 泰安模拟 设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.
12、P Xk akb k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1,2,3,4又 X 的均值 E X 3,就 ab_. 8两封信随机投入 A、B、C三个空邮箱, 就 A邮箱的信件数三、解答题 共 38 分 X的数学期望 E X _. 912 分2022 江西 某饮料公司聘请了一名员工,现对其进行一次测试,以便确定工资级别公司预备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料, 公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 如 4 杯都选对,就月工资定为 3 500 元；
13、如 4 杯选对 3 杯,就月工资定为 2 800 元；否就月工资定为2 100 元令 X 表示此人选对 A饮料的杯数假设此人对 A和 B 两种饮料没有鉴别才能1 求 X 的分布列；2 求此员工月工资的期望1012 分2022 山东 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋竞赛,甲对 A、乙对 B、丙对 C各一盘已知甲胜A、乙胜 B、丙胜 C的概率分别为0.6,0.5,0.5. 假设各盘竞赛结果相互独立1 求红队至少两名队员获胜的概率；2 用 表示红队队员获胜的总盘数,求 的分布列和数学期望 E 1114 分 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是 1.2 万元、名师归纳
14、总结 1.18 万元、 1.17 万元的概率分别为1 6、1 2、1 3；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在第 5 页,共 11 页每次调整中,价格下降的概率都是p0 p1设乙项目产品价格在一年内进行2 次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目投资十万元,取 0、1、2时,一年后相应利润是1.3 万元、 1.25 万元、 0.2 万元随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润1 求 1、2的概率分布和数学期望E 1 、E 2 ；2 当 E 1 E 2 时,求 p 的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
15、优秀学习资料 欢迎下载学案 68 离散型随机变量的均值与方差自主梳理平均水平n2pi平11 x1p1x2p2 xi pi xnpn数学期望2 i 1 xiE X均偏离程度算术平方根DX2.1 aE X b2 a 2D X 31 pp1 p 2 npnp1 p 自我检测1C 2.B 3.B 1 31 p21 12, p1 2. 4.5 3解析由题意知 P X0 随机变量 X 的分布列为：E X 0121 1 32X 0123 P 1 121513126123 1 65 3. 5.5 9课堂活动区例 1 解题导引 要求期望,需先求出分布列,要求分布列,需先求随机变量取每个值的概率,而求概率离不开常
16、见大事概率的运算方法第 2 小题留意性质 E a b aE b, D a b a 2D 的应用解 1 的分布列为 0 1 2 3 4 1 1 1 3 1P 2 20 10 20 51 1 1 3 1E 02120210320451.5. 1 1 1 3D 0 1.5 22 1 1.5 220 2 1.5 210 3 1.5 220 4 11.5 252.75. 2 由 D a 2D ,得 a 2 2.75 11,即 a 2.又 E aE b,所以当 a2 时,由 12 1.5 b,得 b 2；当 a 2 时,由 12 1.5 b,得 b4. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,
17、共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - a2,或a 2,优秀学习资料欢迎下载b 2b4变式迁移 1 解1 P X0 2 A 31 3；把“ 甲类组” 这一复杂大事用P X1 1 C 3A 31 2；P X3 1 A 31 6. 随机变量X 的分布列为X 013 P 1113262 E X 01 311 231 61. D X 1 021 3 1 121 23 121 61. 例 2解题导引1 精确懂得大事“ 甲类组” 的含义,几个互斥的基本领件的和来表示；2 第2 小题第一判定随机变量 听从二项分布,再求其分布列和均值解 1 设 Ai 表示大事“ 一个试验组中,服用 A有
18、效的小白鼠有 i 只” , i 0,1,2 ,Bi 表示大事“ 一个试验组中,服用 B有效的小白鼠有 i 只” , i 0,1,2. 依题意有P A1 21 32 34 9,P A2 2 32 34 9. P B0 1 21 21 4,P B1 21 21 21 2. 所求的概率为PP B0A1 P B0A2 P B1A2 名师归纳总结 1 44 91 44 91 24 94 9. A. 因第 7 页,共 11 页2 的可能值为0,1,2,3,且 B 3,4 9 . P 0 53125 729,91 P 1 C 34 952100 243,92 P 2 C 342 5 9 80 243,9P
19、3 4364 729. 9的分布列为0123 P 1251008064729243243729数学期望 E 0125 7291100 243280 243364 7294 3. 变式迁移2 解1 设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为大事为大事A 等价于大事“ 这名同学在第一和其次个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以大事A 的概率为P A 11 311 31 34 27. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 由题意可得, 优秀学习资料欢迎下载 2k” 等价于大事的可能取值为0,2,4,6,8单位： min 大事“ 该同学在上学
20、路上遇到k 次红灯” k0,1,2,3,4,所以k P 2kC 41k24k k330,1,2,3,468 即 的分布列是024P 16328818181278181所以 的期望是8 3. E 016 81232 8148 2768 8181 81例 3解题导引各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,投保人中出险人数 B104,p ,进而利用二项分布的有关性质求解p,记投保的10 000 人中出险的解各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是人数为 ,就 B104,p 10 000 元赔偿金,就A 发生当且仅当1 记 A 表示大事：保险公司为该险种至少支付 0,P A 1P A 1P 0
21、 11 p10 4,又 P A 10.99910 4,故 p0.001. 2 该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和支出 10 000 50 000. 盈利 10 000 a 10 000 50 000 ,盈利的期望为 E 10 000 a10 000 E 50 000 ,由 B10 4,103 知, E 10 000 103,E 10 4a10 4E 5 10 410 4a10 4 10 4 10 35 10 4. E 0. 10 4a10 4 105 10 40. a10 50. a 15 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元变式迁移 3 解 1 1 的全部
22、取值为 0.8 、0.9 、1.0 、1.125 、1.25 , 2的全部取值为 0.8 、0.96 、 1.0 、 1.2 、1.44. 1、 2 的分布列分别为： 1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 2 令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一大事,P A 0.15 0.15 0.3 ,P B 0.24 0.08 0.32. 可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大3 令 表示方案 i 的估计利润
23、,就 1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以 E 1 14.75 , E 2 14.1 ,可见,方案一的估计利润更大课后练习区名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1C 由分布列性质知：0.5 0.1 b1,b0.4. E 4 0.5 a 0.1 9 0.4 6.3. a7. 2A E np12,D np1 p 4. 1p4 121 3, p2 3, n18. 2 0、3A E X1 0.4 2 0.3 4 0.3 2.2
24、,E5 X4 5E X 411 415. 4B E 11 621 631 641 651 661 63.5 ,D 1 61 3.522 3.523 3.52 4 3.525 3.526 3.535 12. 5A 对称轴在 y 轴的左侧 a 与 b 同号 的抛物线有1 1 12C 3C 3C 7126 条,的可取值有1、2,P 0 6 7 1261 3,P 1 8 7 1264 9,P 2 4 7 1262 9,E 01 314 922 98 9. 62 解析 设“ ？” 处的数值为 x,就“ ！” 处的数值为 12x,就 E 1x2 1 2x 3xx24x3x2. 1 7. 10解析 离散型随
25、机变量 X的可能取值为 1,2,3,4. P Xk akb k 1,2,3,4,所以 ab 2 ab 3 ab 4 ab 1,即 10a4b1,又 X 的均值 E X 3,就 ab 22 ab 33 ab 44 ab 3,即 30a10b 3,1a10,b0,1ab10. 2 8. 3解析 由题意知 X B2,1 3, E X 21 32 3. 9解 1 X 的全部可能取值为 0,1,2,3,4.2 分 i 4i C 4C 4 P Xi C 4 8 i 0,1,2,3,44 分 即名师归纳总结 X 01234 分 第 9 页,共 11 页P 1 7081881353535706 分 Y 的全部
26、可能取值为2 100 ,2 800,3 500.82 令 Y 表示此员工的月工资,就就 P Y3 500 P X4 1 70,P Y2 800 P X3 8 35,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P Y2 100 P X2 53 70. 优秀学习资料欢迎下载E Y 3 500 702 800 352 100 53 702 280.10 分 1所以此员工月工资的期望为 2 280 元 12 分 10解 1 设甲胜 A的大事为 D,乙胜 B的大事为 E,丙胜 C的大事为 F,就 D , E ,F 分别表示甲不胜 A,乙不胜 B,丙不胜 C的大事由于 P
27、D 0.6 ,P E 0.5 ,P F 0.5 ,由对立大事的概率公式知 P F 0.5.2 分 P D 0.4 ,P E 0.5 ,红队至少两人获胜的大事有：DEF ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个大事两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立,4 分 因此红队至少两人获胜的概率为PP DEF P D E F P D EF P DEF 0.6 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.55.6分 92 由题意知 可能的取值为0,1,2,3.8分 又由 1 知 D E F, D E F ,D E F 是两两互斥大事,且各盘竞赛的结果相互独
28、立,分 因此 P 0 P D E F 0.4 0.5 0.5 0.1 ,P 1 P D E F P D E F P D E F 0.4 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.50.35 ,P 3 P DEF 0.6 0.5 0.5 0.15. 由对立大事的概率公式得P 2 1P 0 P 1 P 3 0.4.11 分 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此 E 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 1.6.12 分 11解 1 1 的概率分布为 1 1.2 1.18 1.17 1 1 1P 6 2 31 1 1E 1
29、1.2 61.18 21.17 31.18. 3 分 由题设得 B2 , p ,即 的概率分布为12 2 p0 1 p2P 2p1 p5 分 名师归纳总结 故 2 的概率分布为21.3 1 第 10 页,共 11 页21.321.250.2 2 pP 1 p2p1 p所以 2 的数学期望是E 2 1.3 1 p21.25 2 p1 p 0.2 p2p p 2 2.5 pp2 0.2 p 2 p20.1 p1.3.8分 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 由 E 11.18 ,整理得 p0.4 p0.30 ,解得 0.4 p0.3. 由于 0p1,所以,名师归纳总结 当 E1 E 2 时, p 的取值范畴是0p0.3.14分 第 11 页,共 11 页- - - - - - -