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1、第 1 页 共 4 页2022 年 10 月绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 21 0 1 2A，1|2xxB，则BA=A.1,0,1B.2,1,1,2C.11xxD.11xxx或2.已知ab，则下列不等式中，正确的是A22abB|abCsinsinabD22ab3.已知等差数列an前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=A.100B.99C.98D.974.若 x，y 满足约束条件324y
2、yxyx，则yxz 3的最小值为A18B10C6D45已知R，则“sin20”是“tan0”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6.在ABC中，点D在边AB上，DABD2，记nCDmCA,，则CBAnm23Bnm32Cnm23Dnm327核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足0(1)nlgXnlgplgX,其中0X为DNA的初始数量，p为扩增效率已知某被测标本DNA扩增 12 次后，数量变为原来的 1000 倍，则
3、扩增效率p约为(参考数据：0.25101.778，0.25100.562)A22.2%B43.8%C56.2%D77.8%8 已知命题p：0 x，2sin1sinxx，命题q：函数()sincosf xxax在区间(,)4 2 第 2 页 共 4 页上是减函数，则1a，下列结构中正确的是A命题“pq”是真命题B命题“pq”是真命题C命题“pq”是真命题D命题“pq”是真命题9.函数)2|,0,0(sinAxAxf的部分图象如图所示，若将)(xf图象上的所有点向右平移12个单位得到函数 xg的图象，则关于函数)(xg有下列四个说法，其中正确的是A函数)(xg的最小正周期为2B函数)(xg的一条对
4、称轴为直线12xC函数)(xg的一个对称中心坐标为)1,6(D xg再向左平移6个单位得到的函数为偶函数10.如图，在ABC 中，已知 AB2，AC8，BAC60，BC、AC 边上的两条中线 AM、BN 相交于点 P，则AP在BP上的投影为A334B772C2178D33411.已知Rba,0，若0 x时，关于x的不等式0)4)(12bxxax（恒成立，则实数ab2的最小值是A.2B.4C.22D.112.已知函数2)1(ln1)(txxxf的零点为1x，2ln)(txxxg零点为2x，则)1(ln12xxt的最大值为A.1B.e21C.eD.e2二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
5、，共 20 分13.已知向量ba，满足3|2|,3|,1|baba，则ba.14.已知O为坐标原点，曲线xyC2log:在点(1,0)A处的切线交y轴于点B，第 3 页 共 4 页则AOBS=.15.已知偶函数)(xf及其导函数)(xf的定义域均为R，记)()(xfxg，)(xf不恒为 0，且)1()1(xfxf，则)2023(g=.16.数列na中，211a，)(1)1(*1Nnnanaannnn，若不等式0)1(42tannnn对所有的正奇数 n 恒成立，则实数 t 的取值范围为三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生必须作答
6、.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分17（12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn已知12nnaS（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nc是等差数列，且2311,Scac设nnncab，求数列bn的前 n 项和 Tn18（12 分）已知 021sincossin32xxxxf相邻两条对称轴之间的距离为2（1）求的值及函数 f（x）的单调递减区间；（2）已知200，x，31)(0 xf，求)4(0 xf的值.19.（12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且0cos2 aCb（1）求BCtan3tan的值（2）若2b，当
7、角A最大时，求ABC 的面积S第 4 页 共 4 页20.（12 分）已知函数 011aaxxaxf（1）若 xf的图像在1x处的切线l的斜率为4a，求实数a的值；（2）若对于任意的2,0 x，0 xf恒成立，求实数a的取值范围.21.（12 分）已知函数)(lnln2)(2Raxaxxxf.（1）令)()(xf xxg，讨论)(xg的单调性并求极值；（2）令xxfxh2ln2)()(，若)(xh有两个零点；（i）求a的取值范围；（ii）若方程ln0 xxeaxx有两个实根1x，2x，12xx，证明：22121eexxxx（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多
8、做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22.在直角坐标系xOy中，点A是曲线221:(2)4Cxy上的动点，满足2OBOA 的点B的轨迹是2C（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是1cos(sinxttyt 为参数），点P的直角坐标是(1,0)，若直线l与曲线2C交于M，N两点，当线段|PM，|MN，|PN成等比数列时，求cos的值选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数|21|xxxf，其中0（1）若对任意Rx，恒有 21xf，求的最小值；（2）在（1）的条件下，设的最小值为 t，若
9、正数nm,满足tmnnm2，求 2m+n的最小值第一部分 客观题(请用 2B 铅笔填涂)1A B C D5A B C D9A B C D2A B C D6A B C D10A B C D3A B C D7A B C D11A B C D4A B C D8A B C D12A B C D 第二部分 主观题(请用黑色签字笔作答)绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试数学试题（理科）班级:姓名:条码粘贴处准 考证 号缺考标记/违纪标记：考生禁填！由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。缺考标记：Q注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清
10、楚。2.请将准考证条码粘贴在右侧的条码粘贴处的方框内。3.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔填写，字迹工整。4.请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草稿纸、试卷上作答无效。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。涂点填涂样例有效填涂$无效填涂%&*请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分二、填空题：共 4 小题，每小题 5
11、 分，共 20 分13.14.15.16.三、解答题三、解答题17.续 17 题：18.19.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效20.21.请认真阅读试题作答要求，此栏只供一题作答，并必须用 2B 铅
12、笔将选作题目对应题号后面的方框涂满、涂黑，请勿多涂、漏涂2223第 1 页 共 6 页绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.B2.D3.C4.C5.A6.B7.D8.C9.D10.A11.B12.B12 解：由题意，可得0)1(ln1)(2111txxxf，所以211lnt)1ln(1xx则211ln)1ln(1texx，所以0)1(1121xext，又0ln)(2222txxxg，得0ln2ln22xetx，所以112
13、1)1(xext=2lnln2xex因为xxey 在),0(上的单调递增，所以1ln12 xx，所以22212lnlnln)1(lnttxxtxxt，令2ln)(ttth，则3ln21)(ttth，当et 时，0)(th，)(th单调递减，当et 0时，0)(th，)(th单调递增，所以eehth21)()(min，二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分13.114.2ln2115.016328,（16.解：由)(1)1(*1Nnnanaannnn，得)(11)1(1*1Nnnaannn，则1nna是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，则)1(1nnan，不等式0)1(4
14、2tannnn对所有的正奇数 n 恒成立，即tnn54，对所有的正奇数n 恒成立，当 n1 时，1054nn，当 n3 时，1032854nn，54)(nnnf在 nN*且 n3 上单调递增，328)(minnf，则实数 t 的取值范围为328,（三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生必须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：(本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分)17解：（1）因为 Sn2an1，所以 Sn+12an+11，第 2 页 共 6 页两式相减，可得 an+12an+12an
15、，整理得 an+12an，因为在 Sn2an1 中当 n1 时，S1a12a11，所以 a11，所以数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nna；.6 分（2）易知 c1a11，c3S23，所以公差1d，所以ncn，所以12nnnnncab，.8 分因为11022221nnnT，则nnnnnT22)1(22212121两式相减可得12)1()222(2110nnnnnnT，即12)1(nnnT.12 分18解：（1）2122cos12sin2321sincossin32xxxxxxf)62sin(2cos212sin23xxxxf相邻两条对称轴之间的距离为2，1,22221)
16、62sin(xxf；由Zkkxk2236222，解得Zkkxk326，xf的单调递减区间为Zkkk32,6；.6 分（2）由（1）知31)62sin(00 xxf，67,662,2,000 xx213162sin00 x，,65620 x322)62cos(0 x322)22cos(6)4(2sin)4(000 xxxf.12 分19解：（1）因为0cos2 aCb，所以0sincossin2ACB,0)sincossin2CBCB（CBCBcossin3cossin3,),0(CB、所以0tan3tanBC.5 分（2）法 1：由），（2,0cos2CaCb，0tan),2,0(BB第 3
17、页 共 6 页33tan3tan12tan31tan2)tan(tan2BBBBCBA当且仅当6B时等号成立，则角A最大值为6.9 分因为2b，由6sin2sinsinCcAa得：32,2ca所以3sin21AacSABC.12 分法 2：因为0cos2 aCb，所以022222aabcbab，即2222bca由23)3(412)2(2cos22222222bccbbcbccbbcacbA当且仅当bc3时等号成立，则角A最大值为6.9 分因为2b，32c,所以3sin21AacSABC.12 分20.解析:(1)11()()21afxxax，1(1)(1),0,241aafaa1141aa 解
18、得3a；(1)2f,切点为1,2,斜率为34,所以切线35:.44l yx.4 分(2)法 1:因为对任意0,2x，0f x 恒成立,所以(1)0(2)0ff，解得120a.6 分又因为当120a时,1 0ax在0,2x上恒成立，所以 0f x 在0,2上恒成立等价于111a xax在0,2上恒成立，所以只需1()11maxa xax，设1()1a xg xax则1()2(1)1axg xaxxax，0a()f x在(0,1)上递减,在(1,2)上递增,第 4 页 共 6 页 max max0,2g xgg，由 g(0)1,g(2)1,解得12,0a.12 分法 2:因为0,2x，0f x 恒
19、成立,所以 10f且 20f解得120a,由1()01(1)1122 1aafxaxxa xxaxax，因为120a,所以12,1)12a，所以 f x在1(0,1a上单调递减,在1,21a上单调递增,0,2maxf xmax ff，要使 0f x 恒成立,只需 0maxf x,即(1)0(2)0ff,所以120a.法 3:因 为0,2x，0f x 恒 成 立 恒 成 立，所 以 10f且 20f,解 得120a,因 为 011f xa xax 恒 成 立，由0,2x可知,10a x,两边平方整理得2 20aa xa x,即120ax对任意的0,2x恒成立,因为10a,所以当2x 时,min1
20、 2222axa，由2220a解得120a.21.解（1）因为 2ln1xafxxx 所以 2lng xxfxxxa，0,x则 2xgxx，所以 g x单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,极小值为 222ln2ga，无极大值.3 分（2）（i）lnh xxax有两个零点.因为 1axah xxx 当0a 时，0h x，h x单调递增，不可能有两个零点；当0a 时，令 0h x，得0 xa，h x单调递减；令 0h x，得xa，h x单调递增.所以 minlnh xh aaaa要使 h x有两个零点，即使 0h a，得ae，第 5 页 共 6 页又因为 110h，()0h eea，所以 h
21、x在1,e存在唯一一个零点，且ae，2ee0aaha，所以 h x在,ae e上存在唯一一个零点，符合题意.综上，当ae时，函数 h x有两个零点.7 分法二：lnh xxax有两个零点.等价于1x 时，lnxax有两个实根，（1）令 lnxF xx，2ln1lnxFxx当0,1x时，0Fx，F x单调递减，且 0F x；当1,xe时，0Fx，F x单调递减；当,xe时，0Fx，F x单调递增；F ee，1x，F x，x ，F x.要使（1）有两个实数根，即使 aF ee，综上，当ae时，函数 h x有两个零点.（ii）elnelne0 xxxxaxxxaxx有两个实根，令extx，lng t
22、tat 有两个零点1t，2t，111extx，222extx所以1122ln0ln0tattat，所以2121lnlnatttt（1）2121lnlnatttt（2）要证22121eexxxx，只需证 12212xxxex ee，即证1212lnln2xxxex e，所以只需证12lnln2tt.由（1）（2）可得221121212122111 lnlnlnlnln1tttttttttttttt，只需证2211211 ln21tttttt.设120tt，令21ttt，则1t，所以只需证1ln21ttt，即证4ln201tt令 4ln21th tt，1t，则 222114011th tttt t
23、，10h th，即当1t 时，4ln201tt成立.第 6 页 共 6 页所以12lnln2tt，即 12212xxxex ee，即22121eexxxx.12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 解：（1）点A是曲线221:(2)4Cxy上的动点，根据222cossinxyxy，转换为极坐标方程为4cos，由于点B满足2OBOA 的点B的轨迹是2C所以(2,)A，则2C的极坐标方程为2cos.5 分（2）直线l的参数方程是1cos(sinxttyt 为参数），点P的直角坐标是(1,0)，若直线l
24、与曲线2C交于M，N两点，2C的极坐标方程为2cos，转换为直角坐标方程为22(1)1xy，所以将直线的参数方程代入22(1)1xy，得 到22(1cos)(sin)2(1cos)ttt ，化 简 得：24cos30tt，所 以124costt，1 23t t，当线段|PM，|MN，|PN成等比数列时，则2|MNPMPN，整理得：21212()|tttt，故2121 2()5|ttt t，整理得15cos4.10 分选修 4-5：不等式选讲23.解：21)()21(21xxxxxf，f（x）min|，对任意 xR，恒有 212121xf，解得1 或0，又0，故1，所以的最小值为 1.5 分（2）由（1）得 t1，m+2nmn，112nm，9542225)12)(2(2mnnmnmnmnm，当且仅当mnnm22，即 mn3 时取等号，2m+n 的最小值为 9.10 分