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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数变换的方法与技巧 1一、 角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中, 表达式往往显现较多的相异角,此时可依据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问 题 获 解 ； 常 见 角 的 变 换 方 式 有 ：；22；2；22等等；n1；例 1、已知tanntan,n1,求证：sinsin2n1分析：在条件中的角和与求证结论中的角2,2是有联系的, 可以考虑配凑角；解：2,2,sin2sinsinsin2sinsincoscossincosco
2、sn1sintantantantanntantanntantann1二、 函数名称的变换三角函数变换的目的在于“ 排除差异,化异为同”数,这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数；而题目中常常显现不同名的三角函 变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式；如把正 余切、正 余割化为正、余弦,或化为正切、余切、正割、余割等等；常见的就是切割化弦；示例 2 、20XX 年上海春季高题已知2sin2sin2ksin42,试用 k 表 第 1 页,共 5 页 1tansincos的值；细心整理归纳 精选学习资料 cosk；分析：将已知条件“ 切化弦” 转化为sin,cos的等式；解：由已知2sin2s
3、in22sinsincos21tan1sin cos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -42s i n学习必备欢迎下载c o ssincossincos212sincos1k；三、 常数的变换在三角函数的、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数,例如常数“01” 的变换 有 ：12 s in2 c o s2 sec2 t an2 c sc2 c o t,1sin90sin450,1seccos1,cscsin等等；x的最小正周例 3、20XX
4、年全国高考题 求函数fx sin4x4 cosxsin2xcos22sin2x期,最大值和最小值；分析：由所给的式子sin4xcos4xsin2xcos2x可联想到1sin2xcos2x2；解：fxsin4xcos4xsin2xcos2x2sin2x3 ,最小值为 41 ；41sin2xcos2x21sinxcosx1sin2 x1；42所以函数fx的最小正周期是,最大值为四、 公式的变形与逆用在进行三角变换时,我们常常顺用公式,但有时也需要逆用公式,以达到化简的目的；通常顺用公式简单,逆用公式困难, 因此要有逆用公式的意识；教材中仅给出每一个三角公式 的 基 本 形 式 , 如 果 我 们
5、熟 悉 其 它 变 通 形 式 , 常 可 以 开 拓 解 题 思 路 ； 如 由s i n 22s i nc o s可以变通为cossin2与cossin2；由tansin可 第 2 页,共 5 页 sinsincos变形为sintancos等等；例 4、求3tan120123 csc120的值；4cos202分析：先看角,都是0 12 ,再看函数名,需要切割化弦,最终在化简过程中再看变换；解：原式3sin 12003210切割化弦 cos 120124cos 123sin0 123 cos 1202sin0 120 cos 12 22 cos0 121细心整理归纳 精选学习资料 - - -
6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -231 2sin120cos3 cos 1220 240学习必备欢迎下载 240逆用二倍角公式sin423sin120cos600cos 120sin600常数变换 sin240cos24043sin120600逆用差角公式 2sin240cos240；3sin48043逆用二倍角公式sin480这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧,在处理三角函数问题的过程中如能注意到这些变换的方法与技巧,将有利于我们对三角函数这一章
7、内容的懂得；三角函数变换的方法与技巧 2 在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法,法与技巧：五、 引入帮助角下面我们再介绍四种变换的方asinxbcosx可化为a2b2sinxx,这里帮助角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由tanb确定；x20sin30cosx7的最大值与最小值；a6sin2例 5、求y5cos 2x分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数,借助三角函数 的有界性求出；二是如不能化为同名,就应考虑引入帮助角；细心整理归纳 精选学习资料 解：y 9cos2x12sinxcosx4sin2x 20sinx30cosx3 第 3 页,共 5 页 3
8、cosx2sinx2102s i n x3c o s x313；cosx2sinx522232sinx3cosx522213sinx52222216103 2,其中,tan当sin x1时,ymax135 2当sin x1时,ymin135222161013； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载注：在求三角函数的最值时,常常引入帮助角,然后利用三角函数的有界性求解；六、 幂的变换降幂是三角变换常常用的方法,对于次数较高的三角函数式
9、,一般采纳降幂处理的方法；常用的降幂公式有：sin 2 1 cos 2,cos 2 1 cos 2和 1 sin 2cos 22 22 2 2 2sec tan csc cot 等等；降幂并非肯定,有时也需要升幂,如对于无理式1 cos 常用升幂化为有理式；例 6、化简 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos 2；2分析：从“ 幂” 入手,利用降幂公式；解：原式1 412cos 2 1cos 211cos2 11cos 21cos2cos2cos2421 41cos 2cos 2cos2cos21cos 2cos2cos 241 2coscos2cos21cos
10、2cos21 21cos2212七、 消元法假如所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量,量,然后再求解；例 7、求函数y2sinx的最值；x22y,即2cos x解：原函数可变形为：sinxycos可以使用消元法消去此变sinxy22y,y|sinx3|122y11y21y2解得：max47,min47；3八、 变换结构在三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等等；在形式上有时须和差与积互化,分解因式,配方等；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - -
11、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 8、化简1sinxcosx；学习必备欢迎下载1sinxcosx分析：此题从“ 形式” 上看,应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式,只需把分子分母化成积的形式；解：1sinxcosx1cosxsinx2sin2x2sinxcosx 2222sinxsinxcosx222sinx2 2 cosx2sinxcosx 21sinxcosx1cosx222cosxsinxcosx222；所以1sinxcosxtan x 21sinxcosx九、思路变化对于一道题, 思路不同, 方法出随之不同；通过分析, 比较, 才能选出思路最为简例 9、求函数 y sin x 0 x 的最大值；2 cos x解：由于 y sin x sin x 0,就 y 为点 cos x , sin x 与点 2 , 0 连线的斜2 cos x cos x 2 率；就斜率最为当连线与半单位圆相切时,如下列图：此时,ymax3x2时；33捷的方法；细心整理归纳 精选学习资料 , O 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -