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1、学习必备欢迎下载三角函数变换的方法与技巧(1)一、 角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问 题 获 解 。 常 见 角 的 变 换 方 式 有 ：)(；)()(2；)(2；22等等。例 1、已知1),tan()tan(nn，求证：112sin2sinnn。分析：在条件中的角和与求证结论中的角2,2是有联系的， 可以考虑配凑角。解：)()(2，)()(2，)()sin()()sin(2sin2sin)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()
2、sin()tan()tan()tan()tan(11)tan()tan()tan()tan(nnnn二、 函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正 (余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。例 2 、 (20XX 年上海春季高题)已知ktan12sinsin22)24(， 试用k表示cossin的值。分析：将已知条件“切化弦”转化为cos,sin的等式。解：由已知kcossin2cossin1)cos(s
3、insin2tan12sinsin22；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载24c o ss i ncossink1cossin21)cos(sin2。三、 常数的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换 有 ：222222c o tc sct ansecc o ss in1，0045sin90sin1，sincsc1 ,cossec1等等。
4、例 3、(20XX 年全国高考题)求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。解：xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244)cossin1 (2cossin122xxxx212sin41x。所以函数)(xf的最小正周期是，最大值为43，最小值为41。四、 公式的变形与逆用在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难， 因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式
5、 的 基 本 形 式 ， 如 果 我 们 熟 悉 其 它 变 通 形 式 ， 常 可 以 开 拓 解 题 思 路 。 如 由c o ss i n22si n可以变通为sin2sincos与sin2sincos；由cossi ntan可变形为costansin等等。例 4、求212cos412csc)312tan3(0200的值。分析：先看角，都是012，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。解：原式212cos4121312cos12sin30000(切割化弦 ) ) 112cos2(12cos12sin212cos312sin3020000名师归纳总结 精品学习资料 - - -
6、 - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载000024cos24sin)12cos2312sin21(32(逆用二倍角公式) 00000024cos24sin)60sin12cos60cos12(sin32(常数变换 ) 000024cos24sin2)6012sin(34(逆用差角公式) 3448sin)48sin(3400(逆用二倍角公式)。这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这
7、些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。三角函数变换的方法与技巧(2) 在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：五、 引入辅助角xbxacossin可化为)sin(22xba， 这里辅助角所在的象限由ba,的符号确定，角的值由abtan确定。例 5、求7cos30sin202sin6cos52xxxxy的最大值与最小值。分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。解：3cos30sin20)sin4cossin12cos9(22xxxxxxy3)
8、c o s3s i n2(10)sin2cos3(2xxxx22)5sin2cos3(2xx22)5cos3sin2(2xx225)sin(132x其中，23tan，当1)sin( x时，13101622)513(2maxy；当1)sin( x时，13101622)513(2miny。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界
9、性求解。六、 幂的变换降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：22cos1sin2，22cos1cos2和22cossin12222cotcsctansec等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式cos1常用升幂化为有理式。例 6、化简2cos2cos21coscossinsin2222。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式2cos2cos21)2cos1)(2cos1 (41)2cos1)(2cos1 (41)2cos2cos2cos2cos1 (41)2cos2cos2cos2cos1 (412cos2cos21212c
10、os2cos21)2cos2cos1 (21七、 消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例 7、求函数xxycos2sin2的最值。解：原函数可变形为：yxyx22cossin，即2122)sin(yyx，1|)sin(|x11222yy解得：374maxy，374miny。八、 变换结构在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
11、- - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 8、化简xxxxcossin1cossin1。分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。解：2cos2sin22sin2sincos1cossin12xxxxxxx)2cos2(sin2sin2xxx2cos2sin22cos2sincos1cossin12xxxxxxx)2cos2(sin2cos2xxx所以xxxxcossin1cossin12tanx。九、思路变化对于一道题， 思路不同， 方法出随之不同。通过分析， 比较， 才能选出思路最为简例9、求函数xxycos2sin)0(x的最大值。解：由于xxycos2sin)2(cos0sinxx，则y为点)sin,(cosxx与点 (0,2)连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：此时，33maxy)32(时x。捷的方法。(， ) O 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -