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1、1.1 集合的概念与表示【知识点梳理】知识点一：集合的有关概念1. 一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合.知识点诠释：(1)对于集合一定要从整体的角度来看待它.例如由“我们班的同学组成的一个集合 A,那么它是一个整体，也就是一个班集体.(2)要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一 个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集 合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合4可以作为以“我们高一年级各班”组 成的集合B的元素.2 .关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，那么
2、x或者是4的元素，或者 不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此, 同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1, 2, 3组成的集合，也可以写成 由1, 3, 2组成一个集合，它们都表示同一个集合.知识点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性.反过来，一组对象假设不具备这三性， 那么这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集 合的依据.解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面， 我们
3、要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检 验元素是否满足它的“三性3 .元素与集合的关系：(1)如果q是集合A的元素，就说。属于A,记作aeA(2)如果。不是集合A的元素，就说，不属于A,记作aeA4 .常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作M或N+整数集，记作z有理数集，记作。实数集，记作R知识点二：集合的表示方法1 .列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1, 2, 3, 4, 5, /, 3x+2, 5y-x, x2+y2,.2 .描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内.具体方法：在大括号 内
4、先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征.知识点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数， 还是有序实数对（点）还是其他形式？元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描 述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被外表的字母形式所迷惑.（2）用描述法表示集合时，假设需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或” 等连接;假设描述局部出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.知识点三：集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称
5、为无限集.我们 把不含任何元素的集合称为空集，记作0 .例如，集合xY+x + i = O/wR就是空集.【题型归纳目录】题型一：集合的含义题型二：元素与集合的关系题型三：集合中元素的特性及应用题型四：用列举法表示集合题型五：用描述法表示集合题型六：集合表示法的综合应用题型七：集合的创新定义【典型例题】题型一：集合的含义例L （2021江西.丰城九中高二阶段练习）以下说法：地球周围的行星能构成一个集合; 实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；1, 2, 3与1, 3, 2是不同的集合.其 中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例2. （2022.全国.高一）以下各对象可以组成集
6、合的是（）A.与1非常接近的全体实数B.北大附中云南实验学校2020- 2021学年度第二学期全体高一学生C.高一年级视力比拟好的同学D.高一年级很有才华的老师例3.(2022.全国.高三专题练习)下面能构成集合的是()A.中国的小河流B.大于5小于11的偶数C.高一年级的优秀学生D.某班级跑得快的学生例4.(2022湖南高一课时练习)判断以下各组对象能否构成集合.假设能构成集合，指出是 有限集还是无限集；假设不能构成集合，试说明理由.北京各区县的名称；尾数是5的自然数；我们班身高大于L7m的同学.【方法技巧与总结】(判断一组对象能否组成集合的标准)判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否
7、满足确定性，如果此组对象满足确定 性，就可以组成集合；否那么，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.题型二：元素与集合的关系例5.例022.全国高三专题练习)设集合A = 2do + 2,1-+,假设4 a,那么。的值为().A. 1 2B. 3C. 1, 3 ,2D. 3 , 2例6.(2022.湖南.雅礼中学二模)集合4 = 0,0,以下选项中均为A的元素的是()(1) 0 (2) 0 (3) 0 (4) 0,0A. (1) (2)B. (1) (3)C. (2) (3)D. (2) (4)例7.(2022湖南高一课时练习)使用“。“十”和数集符号来替代以下自然语言：”25
8、5是正整数”;(2广0不是有理数”;“3.1416是正有理数”；(4)“-1是整数”；(5)也是负实数”.【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在集合中是否出现 即可。(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所 具有的特征即可，此时应首先明确集合中的元素具有什么特征。题型三：集合中元素的特性及应用例8.(2022.河北模拟预测)集合4 = 1,2,3 = (阳切)归$中所含元 素的个数为()A. 2B. 4C. 6D. 8例9.(2022全国高三专题练习(理)集合人=1,0，8 = a + bae
9、A.hA9那么集合3=()A. -1,1B. -1,0,1C. -2,1,1,2 D. -2-1,0,1,2例10. (2022.全国.高一)假设以集合A的四个元素。力cd为边长构成一个四边形，那么这个四 边形可能是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形例 H. (2022江苏高一)设集合 A=1,2,3 , B=4,5, M=x|x=a+b,a e A,b e B),那么M 中 元素的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6【方法技巧与总结】(根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤)题型四：用列举法表示集合例12.(2022湖南高一课时练习)用列举法表示以下集合：组成中国国
10、旗的颜色名称的集合；3x-y = (2)方程组,，的解集.例13.(2022湖南高一课时练习)用列举法表示以下集合：(1)小是14的正约数;(2)3)|%1,2,丁1,2；(x, y)|x+y=2,x2y=4；(4)x|x=( l)n, N；(5)(x, y)|3x+2y=16,xN,yN.例14. (2022江苏高一)用列举法表示以下集合：(1)不超过30的素数;(2)五边形ABCDE的对角线；(3)60的正约数;(4) (% y) | x + 2y = 6,x N, y N.【方法技巧与总结】(用列举法表示集合的三个步骤)(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一
11、次；(3)用花括号括起来。题型五：用描述法表示集合例15.(2022湖南高一课时练习)用描述法表示以下集合：所有被3整除的整数组成的集合；不等式2x-35的解集；方程V +x+l =。的所有实数解组成的集合；（4）抛物线 =-%2+31_6上所有点组成的集合；集合1,3,5,7,9.例16.（2022江苏.高一）用描述法表示以下集合：偶数组成的集合；（2）正奇数组成的集合；（3）不等式一/K）的解集；平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；. 人 L 1 1 1 1（5）集口 I,?,“寸.例17.（2022湖南高一课时练习）用描述法表示以下集合：（1）奇数组成的集合；平面直角坐标系内第一象
12、限的点组成的集合.【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤）题型六：集合表示法的综合应用例18.（2022湖南高一课时练习）集合A = 0,123,4,5 = （%,y）|x Ayw A,x+A,求集合3 中元素的个数.例19.（2022.山东聊城,二模）集合入=0,1,2, B = abaeA,beA9那么集合3中元素 个数为OA. 2B. 3C. 4D. 5例20. （2022.云南师大附中高三阶段练习（理）集合4 = 0,1,2,3 = （x，y）|xc- a,那么集合3中元素的个数是（）A. 1B. 4C. 3D. 2例21. （2022.全国.高三专题练习）进才中学1996年建校
13、至今，有一同学选取其中8个年份 组成集合人=1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014,设七、毛儿j ,假设方程N -勺卜k至少有六组不同的解，那么实数k的所有可能取值是.【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系）（1）假设集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键： （2）假设集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；题型七：集合的创新定义 例22.（2022.全国.高三专题练习（理）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义集合4 = 幻/+工=0,3 =卜|（炉+匈 1+仆+ 1） = 0,且=设实数的所有可能取值构成集合S
14、,那么C(S)=()A. 0B. 1C. 2D. 3例23.（2022湖南岳阳一中一模）定义集合A3的一种运算：AB = xx = a2 -b,a A.be B,假设4 = -1,0, 5 = 1,2,那么 4（8）5 中的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4例24. （2022全国高三专题练习）4=x|2x2叫x = 3weN,假设|闻表示集合A中元素的个数，那么|阕=，那么|A|+|4|+|A|+.+|4o卜.【方法技巧与总结】（认识集合含义的2个步骤）一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。【同步练习】一、单项选择题1.（2022江苏高一）以下说法中
15、正确的选项是（）A.与定点A, 3等距离的点不能构成集合B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C. 一个集合中有三个元素历b, c,其中a, A, c是ABC的三边长，那么ABC不可能是等 边三角形D.高中学生中的游泳能手能构成集合（2022.内蒙古赤峰红旗中学松山分校高一期末（文）方程V=2x的所有实数根组成的 集合为（）A. （0,2）B. （0,2）C. 0,2D. x2 =2x（2022重庆长寿高三期末）设集合P= 3,4,5, 2 = 6,7,定义。（8）。= （力）力。,那么2合Q中元素的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. （2022.内蒙古呼和浩特市教
16、育教学研究中心高一期末）集合4 = 2,3,4,5,6,5 = （x，y）|xAywAx-ywa,那么5中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 10（2022江苏高一）集合4 = 1,。-假设kA,那么实数。的值为（）A. 1B. 1 或 0C. 0D. 1或 0（2022.广东广州三模）假设。印,3,/,那么的可能取值有（）A. 0B. 0, 1C. 0, 3D. 0, 1, 3（2022全国高三专题练习（理）设集合A = T0J2, B = 1,2,C = xx = ah,aeA,bB9那么集合。中元素的个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. （2022全国高三专题练习
17、）集合4 =卜|以2+21+ 1 = 0,。叫只有一个元素，那么。的 取值集合为（）A. 1B. 0C. 0-1,1D. 091二、多项选择题（2022全国高三专题练习）集合4 = 2,。+ 1,/+3 + 3,且1，那么实数的可能 值为（）A. 0B. -1C. 1D. -2（2022.广东深圳外国语学校高一期末）集合人=卜|丁 = / + 1,集合3 = （x,y）|y = /+l,以下关系正确的选项是（）.A. （1,2） eBB. A = BC. OAD. （0,0）11.（2022广东梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）以下表示正确的选项是（）2A. -NB. OeNC. 3ZD.冗出
18、Q12. （2022.贵州.遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重 要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方 程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念那么是群论中最基本的概念之一，其定义如下: 设G是一个非空集合，“是G上的一个代数运算，即对所有的服有abwG,如果 G的运算还满足:V a、b、G,有（。力）c=。（万c）；矢 G ,使得，有e, = a,e = a, X/awG, 3/?eG ,使乃=ba=e,那么称G关于“”构成一个群.那么以下说法正确的有（）G = -1,0,1关于数的乘法构成群A. G=xx=y-,
19、keZ, Z#0 U x|x=z7i, mez, 用0关于数的乘法构成群 kC.实数集关于数的加法构成群D. G =41nm.n g Z）关于数的加法构成群三、填空题13. （2022,上海曹杨二中高一期末）集合人=0,1,2,那么集合5 = 耳。=3名可二.（用列举法表示）14. （2022.全国.高一）用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A=.15. （2022全国高一）集合人=1,2,3, B = 1,3,9,假设xeA且x定5,那么工=.16. （2022.上海.高三专题练习）实数集合1,2,3/的最大元素等于该集合的所有元素之 和，那么x=.四、解答题（2022全国高一）用适
20、当的方法表示以下集合：（1） B= （x, y） x+y=49 xN*, yN*；（2）不等式3x-式7-2x的解集;（2022期南高一课时练习）设集合人=2,3,4+4 + 2,集合8 = 0,7,4+4-2,2-4, 这里，是某个正数，且求集合乩18. （2022.上海.高三专题练习）设非空集合A = xY+S + 2）x + b + l=03R,求集合A 中所有元素的和.19. （2021全国高一课时练习）集合人=卜,g, B = a2,a + b,0,假设A = B,求 4。21 +。22 的值.20. （2022江苏高一）集合4 =,川冰之3工+ 2 =。,其中。为常数，且qwR.假设A是空集，求。的范围；（2）假设A中只有一个元素，求。的值；假设A中至多只有一个元素，求。的范围.21. （2022全国高一）设数集A由实数构成，且满足：假设xcA （xwl且xwO）,那么人 1-x（1）假设2wA,试证明A中还有另外两个元素；（2）集合a是否为双元素集合，并说明理由；14（3）假设A中元素个数不超过8个，所有元素的和为了，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.