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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学专题复习应用题【考点概述】数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型；解答 这类问题的要害是深刻懂得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建 立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,三角是较为常见的模型,而立几,不等式,解几 等模型也应在复习时引起重视；高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测运算型和信息迁移 型也时有显现；当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代 的主旋律,凸显了学科综合的特色；【求解应用题的一般步骤】1、审清题意：仔细分析题目所给
2、的有关材料,弄清题意,理顺问题中的条件和结论,找到关键量,进 而明确其中的数量关系 等量或大小关系 2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系,这是问题解决的一 把钥匙；3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析一般要列出函数 ,转化为一个数学问题；4、解决数学问题：利用所学数学学问解决转化后的数学问题,得到相应的数学结论；5、返本仍原：把所得到的关于应用问题的数学结论,仍原为实际问题本身所具有的意义；名师归纳总结 - - - - - - -第 1
3、页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【常见类型】类型一：函数应用题1.1 以分式函数为载体的函数应用题数,例 1. 工厂生产某种产品,次品率p 与日产量 x万件 间的关系为：p61x0xxcc ,（c 为常23且 0c6）. 已知每生产1 件合格产品盈利3 元,每显现1 件次品亏损1.5 元.（1）将日盈利额y万元 表示为日产量x万件 的函数；（2）为使日盈利额最大,日产量应为多少万件？注：次品率次品数 产品总数 100% 解（ 1）如0xc,就y3 x6xx36xx3x29xx,263 9x2 x20xc如xc,就y3 x2x 32x0,y02 6x xc323
4、（2）当0xc,就 y3 94x 6x 9 x2x213 x3 x29 2 6x 2 6x . 如0c3,就y0,函数在0 ,c上为增函数,xc ,ymax3 9c2c226c如3c6,在0 3,上为增函数,在,3c 上为减函数,当x3时,ymaxf3 9 2综上,如0c3,就当日产量为c 万件时,日盈利额最大；如3c6,就当日产量为3 万件时,日盈利额最大 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.2 以分段函数为载体的函数应用题名师归纳总结 - - - - - - -例 2. 在等边ABC 中, AB =6cm
5、,长为 1cm 的线段 DE 两端点D E 都在边 AB 上,且由点 A向点 B运动（运动前点 D 与点 A重合）,FDAB,点F在边AC或边BC上；GEAB,点G在边AC或边BC上,设 ADxcm. （1）如ADF面积为S 1f x ,由DE EG GF FD 围成的平面图形面积为S 2g x ,分别求出函数f ,g x 的表达式；（2）如四边形 DEGF 为矩形时xx ,求当xx 时, 设F x f x ,求函数F x 的取值范畴. g x 解：（1）当 0x3时, F 在边 AC 上,FDxtan 6003x ,f x 32 x ；2当 3x5时, F 在边 BC 上,FD6xtan 6
6、0036x , f 3x6x ,f x 3x2,0xx3x522x6,332当 0x2时, F、G 都在边 AC 上,FDxtan 6003x ,EG3x1g x 3 x3x113 x3；22当 2x3时, F 在边 AC 上, G 在边 BC 上 ,FD3x , EG35x g x 5 3；2当 3x5时, F、G 都在边 BC 上,FD36x , EG35x g x 3 x11323x3,0x22g x 5 3,2x3. 23x113,3x52（2）x05当5 2x3时,F x x2,5F x 92545第 3 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 3x5时
7、,F x x26x,F 4x2x5x3302x112112F x的取值范畴为5,518,10线段 将纸片分成两部分,面积分45例 3将一张长8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕别为 S1cm2,S2cm 2,其中 S1S2记折痕长为lcm（1）如 l 4,求 S1 的最大值；（2）如 S1S212,求 l 的取值范畴解如下列图,不妨设纸片为长方形ABCD ,AB8cm,AD 6cm,其中点A 在面积为 S1 的部分内折痕有以下三种情形：折痕的端点M,N 分别在边 AB,AD 上；C D C 折痕的端点M,N 分别在边 AB,CD 上；折痕的端点M,N 分别在边 AD,BC
8、上D C D N N M N A M B A M B A （情形）B （情形）（情形）（1）在情形、中MN 6,故当 l4 时,折痕必定是情形设 AMxcm,ANycm,就 x2y216由于 x2 y2 2xy,当且仅当 xy 时取等号,所以 S1xy4,当且仅当 xy2时取等号即 S1的最大值为 4（2）由题意知,长方形的面积为 S6 848由于 S1S212,S1S2,所以 S116,S232当折痕是情形时,设 AM xcm, ANycm,就 xy16,即 y由0x8,得x80 6,所以 l , x8设 fxx2, x0,就 f x2x x 4,x3,x0故名师归纳总结 x（,4）4 （4
9、,8）8 第 4 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 0 fx 64 64 80 所以 fx的取值范畴为 64,80,从而 l 的范畴是 8 ,4；当折痕是情形时,设 AM xcm, DNycm,就 xy 616,即 y x由0x8,得 0x0 x8,所以 l 2,0x所以 l 的范畴为 6, ；当折痕是情形时,设 BNxcm,AM ycm,就 xy 816,即 y 4x由0x6,得 0 x404x6,所以 l, 0x4所以 l 的取值范畴为 8,4综上, l 的取值范畴为 6,4例 4. 如图,长方体物体E 在雨中沿面 P （面
10、积为 S ）的垂直方向作匀速移动,速度为v（v0）,名师归纳总结 - - - - - - -雨速沿 E 移动方向的分速度为c cR , E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1） P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量,假设其值与vc S成正比,比例系数为1；（ 2）其他面的淋雨量第 5 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 之和,其值为1d100,面积S3S=32 . 记y为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离22 . （1）写出 y 的表达式；（2）设 0v10,0c5,试依据 c 的不同取值范畴,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少 . 解：（）
11、由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为3|vc|1,故202y1003|vc|15 3|vc|10v202v（）由（）知,当 0 v c 时,y 5 3 c 3 v 10 5 3 c 10 15；v v当 c v 10 时,y 5 3 v 3 c 10 5 10 3 c 15v v5 3 c 10 15 , 0 v c ,故 y v5 10 3 c 15 , c v 10 .v（1）当 0 c 10 时, y 是关于 v 的减函数故当 v 10 时,y min 20 3 c3 2（2）当 10c 5 时,在 0 , c 上, y 是关于 v 的减函数； 在 c , 10 上, y 是关于 v
12、的增函数 故3当 时,y min 50c例 5. 如下列图的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB=1 米,高 0.5 米, CD =2a名师归纳总结 （a1 2）米上部CmD 是个半圆,固定点E 为 CD 的中点EMN 是由电脑掌握其外形变化的三第 6 页,共 35 页角通风窗（阴影部分均不通风）, MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆（1）设 MN 与 AB 之间的距离为x 米,试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数 Sfx ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当 MN 与
13、 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积D m C D M m N C E E 名师归纳总结 M A B N A B 2 x1,第 7 页,共 35 页解：（1）（一）0x1时,由平面几何学问,得MN 2 a1x2112MN22a1x1, Sfx2a1x2a1x14（二）1xa1时,Sfx12a2x12x1a2x12222222Sf x 2a12 x1 a1x,1,x10,1,.42a2x2x1x,a12222（ 2）（一）0x1时, Sfx2a1x2 a1x124a1,aa1122a10,a11122212a22a21 2a 1,当x0时,fxmax
14、f0 14a1,当x2 a11时,fxmaxf2aa14 a212 a212a（二）1xa1时,22Sfx12a2x12x1a2x12 x122222x12 a2x12 x12a2x12 1a2,222222等号成立x12a2x12x12a11,a122222当x1 22a1时,fxmaxa22A1 2a 1时,a211a2a2,242221 2a 2时当x0,fxmaxf0 1,24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2a 时,当x1 22a1,fx maxa222Ba1时,1a24a214a3a20f0 1,即 MN 与 AB 之间的距离为0 米时,
15、22a4 2 a1当x1 22a1时,fx maxa22综上,1 2a 2时,当x0时,fx max24三角通风窗EMN 的通风面积最大,最大面积为1 平方米4a2时,当x1 22a1时,2fxmaxa2,即 MN 与AB之间的距离为x1 22a1米时, 三角通风窗EMN 的通风面积最大,2最大面积为1 a 平方米21.3 以二次函数为载体的函数应用题例 6. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图,助跑道 ABC 是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道猎取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处,飞行的轨迹是一段抛物线 CDE （抛物线 CDE 与抛物线 ABC
16、在同一平面内） ,D 为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨名师归纳总结 迹所在平面上建立如下列图的直角坐标系,x 轴在地面上,助跑道一端点A0,4,另一端点C3,1,点第 8 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B2, 0,单位：米（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）如助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态美丽,要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间（包括 4 米和 6 米）,试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范畴？（注：飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标
17、差的肯定值）y4ACDEBO 2 x2解（ 1）设助跑道所在的抛物线方程为 f a x b x c ,c 0 4,依题意：4 a 0 2 b 0 c 0 0, 解得,a 0 1,b 0 4,c 0 4,9 a 0 3 b 0 c 0 1,助跑道所在的抛物线方程为 f x 24 x 4（2）设飞行轨迹所在抛物线为 g x ax 2bx c （a 0）,依题意：f 3 g 3, 得9 a 3 b c 1,解得 b 2 6 ,f 3 g 3, 6 a b 2, c 9 a 5,g x ax 22 6 a x 9 a 5 a x 3 a 1 21 1,a a令 g x 1 得, x 3 a 1 2 1
18、2,a 0,x 3 a 1 13 2,a a a a a当 x 3 a 1时,g x 有最大值为 1 1,就运动员的飞行距离 d 3 23 2,a a a a飞行过程中距离平台最大高度 h 1 1 1 1,依题意,4 2 6,得 2 1 3,a a a a即飞行过程中距离平台最大高度的取值范畴为在 2 米到 3 米之间例 7. 某单位有员工 1000 名,平均每人每年制造利润 10 万元为了增加企业竞争力,打算优化产业结构, 调整出 x x N 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年制造利润为 10 a 3 x 万元 a5000,剩下的员工平均每人每年制造的利润可以提高 0.2x%（1）如
19、要保证剩余员工制造的年总利润不低于原先 名员工从事第三产业？1000 名员工制造的年总利润,就最多调整出多少名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）在（ 1）的条件下,如调整出的员工制造出的年总利润始终不高于剩余员工制造的年总利润,就a 的取值范畴是多少？2解（ 1）由题意,得 101000x10.2x %10 1000,即 x 500x0,又 x0,所以 0x 500即最多调整 500 名员工从事第三产业（2）从事第三产业的员工制造的年总利润为 10 a 3 x x 万元,从事原先产业的员工的年总利润为50021
20、01000 x 1 1x万元,就 10 a 3 xx 101000 x 1 1x,所以 ax3 x 10002x x500 500 500 50021x ,所以 ax2 2 x 1000 x,即 a 2 x 10001 恒成立500 500 500 x由于2 x 10002 2 x 10004,当且仅当 2 x 1000,即 x500 时等号成立,所以 a5,又500 x 500 x 500 xa0,所以 0a5所以 a 的取值范畴为 0, 5 类型二：三角测量应用题2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题名师归纳总结 例 8. 如图, 两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞y A BO 2 x C
21、第 10 页,共 35 页轮O 的半径为2 （ r 为常数）,小飞轮O 的半径为r ,O 1 O 1 O 24r.在大飞轮的边缘上有两个点A ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B ,满意BO 1A3,在小飞轮的边缘上有点C 设大飞轮逆时针旋转一圈, 传动开头时, 点 B ,C 在水平直线O 1O 2上 m x 轴,如下列图建立直角坐标系当点A 到达最高点（ 1）求点 A 到达最高点时A , C 间的距离；（ 2）求点 B , C 在传动过程中高度差的最大值. 解（ 1）以O 为坐标系的原点,O O 所在直线为时 , 点A绕O1 转 过, 就 点C绕O
22、2 转 过此 时A （ 0 , 2r ）, C9r,3r 6322AC9r22r3r2252 3r 221（2）由题意,设大飞轮转过的角度为,就小飞轮转过的角度为2,其中0,2 此时 B（2r cos,2r sin）,C（4r r cos2 ,r sin2）记点B C 高度差为 d ,就d|2 sinrsin 2|即d2 |sinsincos|设f sinsincos,0,2 ,就f 1cos 2cos令f 1cos 2cos10,得cos1或 1就2 3,4 3,0 或 22列表：0 0,22 32,44 3 ,2 432333f ；当 0 + 0 + 0 f 0 极大值 f 2 3 微小值
23、 f 4 3 当 2 3时, f取得极大值为3 34 3时, f取得微小值为3 344答：点 B, C 在传动中高度差的最大值dmax3 3 2r 2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9. 如图, 摩天轮的半径为40 m,点 O 距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处 . （1）试确定在时刻 t min 时点 P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P距离地面超过 85 m？（3）求证：不论
24、 t 为何值,f t f t 1 f t 2 是定值 . 2.3 以直角三角形为载体的三角应用题名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10如图,矩形ABCD 中, AB=3,AD=2,一质点从AB 边D P2 C 上的点 P 动身,沿与 AB 的夹角为 的方向射到边 BC 上点 P 1后,依次反射（入射角与反射角相等）到边 CD ,DA 和 AB 上 P3的 P 2, ,3 P 4 处P1（ 1）如 P4 与 P0 重合,求 tan 的值；A P4 P0 B （ 2）如 P4 落在 A、P0 两点之间,且 AP
25、0=2设 tan =t,将五边形 P0P1P2P3P4 的面积 S 表示为 t 的函数,并求 S的最大值解 ：（1）设 P B x ,就 PB x 0tan,PC 2 x 0 tanPC 2 x 0 tan 2 2P C = x ,P D 3 x 0tan tan tan tanP D 3 x 0 tan 2,P A 4 3 x 0 tan,AP 4 43 x 0 tan由于 P 与 P 重合,AP 4 P B 3,所以 46,即 tan 2tan 3（2）由（ 1）,可知 AP 4 4 4tan由于 P4 落在 A、P0 两点之间,所以 2tan 1,即2 t 13 3S=S四边形ABCD
26、S P BP 1 S PCP 2 S P DP 3 S P AP 41 1 2 1 2 1 46 tan 2 tan 1 4 4tan 2 4 4tan 42 2 tan 2 tan 2 tan58 34 tan 24tan32 17t 12由于2 t 1,所以 32 17t 1232 2 17t 12 =32 4 51 t 3 t t故 S 的最大值为 32 4 51 例 11. 如下列图,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD ,AB 10 3 m,CD 3 3 m,现用钢丝绳对这名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - -
27、 - 两根钢管进行加固,有两种方法：（1）如图（ 1）设两根钢管相距1m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）就 BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（ 2）设两根钢管相距 3 3 m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处,再将钢丝绳依次固定在 D 处、 B 处和 E 处,形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）就 BE多长时钢丝绳最短？A A E F C E F C B B D D 图 1 图 2 解（ 1）设钢丝绳长为 ym,CFD,就y tan 3 3cos 1sin 3 3cos 1（
28、其中 0 0 2,tan 0 7 ）,y 3 3cossin 2cos sin2当 tan 3 时,即 BE 4 3 时,y min 8（2）设钢丝绳长为 ym,CFD,就ysin 3 3cos 3 3 1 cos sin（其中 0 0,tan 0 12 33 3 3 3 3）y 3 3sin cos2 cos sin2 1 sin cossin 3 3cos 3 3 cos sin令 y 0 得 sin cos,当 4时,即 BE 6 3 时 y min 6 3 2 2例 12. 如图,将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 0 2得到正方形 ABCD依据平面几何学问,有以
29、下两个结论：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - AFE 对任意0 2, EAL, EAF, GBF, GB H, ICH , ICJ, KDJ , KDL均是全等三角形（1）设 AEx,将 x 表示为 的函数；（2）试确定,使正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积最小,并求最小面积A解（ 1）在 Rt EAF 中,由于 AFE ,AEx,AEFBBLG所以 EF x,AFxHDOKsintan由题意 AEAEx,BFAFx,DJICCtan所以 ABAEEFBFxx sinx tan39sin cos2所
30、以 x3sin,0, 2 1sin cos（2）S A EF 1 2.AE.AF 1 2.x. x tanx 22tan1 sin cos 3sin 2.cos 2sin21sin cos 令 t sin cos ,就 sin cos t212由于0, 2,所以4,3 4 ,所以 t2sin 41,24SAEF9t2 1 41t 29 41t1 9 412 21正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积当 tSS正方形ABCD4S AEF9 9 12 2118212,即 4时等号成立2.4 以解三角形为载体的三角应用题名师归纳总结 例 13 某运输装置如下列图,其中钢结构ABD 是 AB
31、BDl ,DC第 15 页,共 35 页B3的固定装置, AB 上可滑动的点C 使 CD 垂直于底面（ C 不与- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A B 重合）,且 CD 可伸缩（当CD 伸缩时,装置ABD 随之绕 D 在同一平面内旋转） ,利用该运输装置可以将货物从地面 D处沿D C A运输至A处,货物从D处至C处运行速度为 v ,从 C 处至 A 处运行速度为 3v 为了使运输货物的时间 t 最短,需在运输前调整运输装置中 DCB 的大小 . （1）当 变化时,试将货物运行的时间 t 表示成 的函数（用含有 v 和 l 的式子）；（2）当 t 最小
32、时, C 点应设计在 AB 的什么位置？解：（1）在BCD 中BCD,B3,BDlBClsin120,CD3 lO 的仰角和立柱底2sinsinACABBCllsin120,sin就tACCDllsin1203 l,323 vv3 v3 sin2 sin3（ 2） tlv13 cos3 ll3 l3cos6sin2 sin6 v6 vsin令m 3cos,就 m 13cossinsin2令m 0得cos1,设cos0103,2,333就3,0时,m 0；0,2时m 03cos1时m 有最小值 2 2 ,此时BC64l . 38答：当BC64l 时货物运行时间最短. 8例 14如图,摄影爱好者S 在某公园 A