《2022年高三数学专题复习应用题 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学专题复习应用题 2.pdf（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三数学专题复习应用题【考点概述】数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，三角是较为常见的模型，而立几，不等式，解几等模型也应在复习时引起重视。高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。【求解应用题的一般步骤】1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进
2、而明确其中的数量关系 (等量或大小关系 ) 2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共
3、 35 页【常见类型】类型一：函数应用题1.1 以分式函数为载体的函数应用题例 1. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x(万件 )间的关系为：10,623xcxpxc（c 为常数，且 0c6）. 已知每生产1 件合格产品盈利3 元，每出现1 件次品亏损1.5 元.（1）将日盈利额y(万元 )表示为日产量x(万件 )的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率次品数产品总数 100%) 解（ 1）若cx0，则)6(293623)6(3xxxxxxxxy，若cx，则03223)32(3xxxy，0)6(2)29(32xxxycxcx0（2）当cx0，则222)6()9)(3
4、(3)6() 1)(29()6)(49(23xxxxxxxxy若30c，则0y，函数在c,0上为增函数，)6(2)29(3,2maxcccycx若63c，在)3 ,0(上为增函数，在), 3(c上为减函数，当3x时，29max)3(fy. 综上，若30c，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若63c，则当日产量为3 万件时，日盈利额最大. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页1.2 以分段函数为载体的函数应用题例 2. 在等边ABC中,AB=6cm，长为 1cm 的线段DE两端点,D E都在边AB上，且由点A向点B
5、运动（运动前点D与点A重合），FDAB,点F在边AC或边BC上；GEAB,点G在边AC或边BC上，设ADxcm. （1）若ADF面积为1( )Sfx,由,DE EG GF FD围成的平面图形面积为2( )Sg x，分别求出函数( ),( )fxg x的表达式；（2）若四边形DEGF为矩形时0 xx，求当0 xx时, 设( )( )( )f xF xg x，求函数( )F x的取值范围. 解： （1）当03x时， F 在边 AC 上，0tan603FDxx，23( )2f xx；当35x时， F 在边 BC 上，0(6)tan603(6)FDxx, 3( )(6)2fxxx，23,032( )3
6、(6),352xxf xxxx当02x时， F、G 都在边 AC 上，0tan603FDxx，3(1)EGx33(1)3( )1322xxg xx；当23x时， F 在边 AC 上， G 在边 BC 上 ,3FDx, 3(5)EGx5 3( )2g x；当35x时， F、G 都在边 BC 上,3(6)FDx, 3(5)EGx11( )332g xx33,0225 3( ),2321133,352xxg xxxx. （2）052x当532x时，259( ),( )545xF xF x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页
7、当35x时，2226533( ),( )40211211xxxxF xFxxx518( ),5,1045F x的取值范围为例 3将一张长8cm，宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段 )将纸片分成两部分，面积分别为 S1cm2，S2cm2，其中 S1S2记折痕长为lcm（1）若 l4，求 S1的最大值；（2）若 S1S212，求 l 的取值范围解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD，AB8cm，AD 6cm，其中点A在面积为S1的部分内折痕有下列三种情形：折痕的端点M，N 分别在边AB，AD 上；折痕的端点M，N 分别在边AB，CD 上；折痕的端点M，N 分别在边AD，BC 上
8、（1）在情形、中MN6，故当 l4 时，折痕必定是情形设 AMxcm，ANycm，则 x2y216因为 x2 y2 2xy，当且仅当xy 时取等号，所以 S1xy4，当且仅当xy2时取等号即 S1的最大值为4（2）由题意知，长方形的面积为S6848因为 S1S212，S1S2，所以 S116，S232当折痕是情形时，设AM xcm， ANycm，则 xy16，即 y由0 x8，0 6，得x8所以 l )， x8设 f(x)x2， x0，则 f (x)2x )(x 4),x3)，x0故x（，4）4 （4，8）8 A B C D （情形）M N A B C D （情形）M N A B C D （情
9、形）M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页f (x) 0 f(x) 64 64 80 所以 f(x)的取值范围为 64，80，从而 l 的范围是 8，4；当折痕是情形时，设AM xcm， DNycm，则 (xy)616，即 y x由0 x8，0 x8，得 0 x所以 l )2)，0 x所以 l 的范围为 6， ；当折痕是情形时，设BNxcm，AMycm，则 (xy)816，即 y 4x由0 x6，04x6，得 0 x4所以 l， 0 x4所以 l 的取值范围为8，4综上， l 的取值范围为 6，4例 4. 如图
10、，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v0） ，雨速沿E移动方向的分速度为c cR，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vcS成正比，比例系数为1； （2）其他面的淋雨量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页之和，其值为12. 记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离100d，面积23SS=32. （1）写出y的表达式；（2）设 0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少 . 解： （）由题意知，
11、E移动时单位时间内的淋雨量为21|203cv，故)10|3(5)21|203(100cvvcvvy（）由（）知，当cv0时，15)103(5)1033(5vcvcvy；当10vc时，15)310(5)1033(5vccvvy故.10,15)310(5,0,15)103(5vcvccvvcy（1）当3100c时，y是关于 v 的减函数故当10v时，2320mincy（2） 当5310c时，在,0(c 上，y是关于 v 的减函数； 在10,(c上，y是关于 v 的增函数 故当时，cy50min例 5. 如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB=1 米，高 0.5 米， CD
12、=2a（a12）米上部CmD 是个半圆，固定点E 为 CD 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）， MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆（1）设 MN 与 AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数 Sfx ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页（2）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积解： （1） （一）102x时，由平面几何知识，得21121xaMN2
13、(21)1MNax， Sfx21(21)(1)4axax（二）2121ax时，221112()()222Sfxaxx2211()()22axx，22211(21)(1),0,),42( )1111()(),(,).2222axaxxSf xaxxxa（ 2） （一）102x时， Sfx41)1() 12(2xaxa12a，1102(21)22(21)aaaa，112(21)2aa112a，当0 x时，41)0()(maxfxf1a，当)12(21aax时，)12(4)12(21)(2maxaaaafxf（二）2121ax时，221112()()222Sfxaxx2211()()22axx222
14、222211()() 11122() () 2222xaxxaxa，等号成立22211()()22xax111(21)(,)222xaa1(21)2xa当时，2)(2maxaxfA112a时，21122()()24222aaa，1222a时当0 x，41)0()(maxfxf，C A B M N D E m m A B C D E M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页212a 时，当1(21)2xa，2)(2maxaxfB1a时，0) 12(434)12(421222aaaaaa当1(21)2xa时，2)(2
15、maxaxf综上，1222a时，当0 x时，41)0()(maxfxf，即 MN 与 AB 之间的距离为0 米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为41平方米22a时，当1(21)2xa时，2)(2maxaxf，即 MN 与AB之间的距离为1(21)2xa米时， 三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为221a 平方米1.3 以二次函数为载体的函数应用题例 6. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线 CDE （抛物线 CDE 与抛物线
16、ABC 在同一平面内） ，D 为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页B(2， 0)，单位：米（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 米到 6 米之间（包括4 米和 6 米） ，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C 与点 E 的水平距离，
17、即这两点横坐标差的绝对值）24yOxEDCBA解（ 1）设助跑道所在的抛物线方程为2000( )fxa xb xc，依题意：00000004,420,931,cabcabc解得，01a，04b，04c，助跑道所在的抛物线方程为2( )44fxxx（2）设飞行轨迹所在抛物线为2( )g xaxbxc（0a） ，依题意：(3)(3),(3)(3),fgfg得931,62,abcab解得26 ,95,baca22311( )(26 )95()1ag xaxa xaa xaa，令( )1g x得，22311()axaa，0a，31123axaaa，当31axa时，( )g x有最大值为11a，则运动员
18、的飞行距离2233daa，飞行过程中距离平台最大高度1111haa，依题意，246a，得123a，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 米到 3 米之间例 7. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构， 调整出 x (xN)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500 xa万元 (a0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
19、- - - - - - -第 9 页，共 35 页（2）在（ 1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解（ 1）由题意，得10(1000 x)(10.2x %)101000 ，即2x500 x0 ，又 x0，所以 0 x 500 即最多调整500 名员工从事第三产业（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500 xax万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000) 1500 xx万元，则310500 xax110(1000) 1500 xx，所以ax23500 x 1000 2x x21500 x，所以 ax22500
20、 x1000 x，即 a2500 x1000 x1 恒成立因为2500 x1000 x210002500 xx4，当且仅当2500 x1000 x，即 x500 时等号成立，所以a5 ，又a0，所以 0a5 所以 a 的取值范围为(0，5类型二：三角测量应用题2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题例 8. 如图， 两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮1O的半径为r2（r为常数），小飞轮2O的半径为r，rOO421.在大飞轮的边缘上有两个点A，A OOCB1 2 x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 35 页B，满足3
21、1ABO，在小飞轮的边缘上有点C设大飞轮逆时针旋转一圈， 传动开始时， 点B，C在水平直线21OO上 m （ 1）求点A到达最高点时A，C间的距离；（ 2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值. 解（ 1）以1O 为坐标系的原点，12O O 所在直线为x 轴，如图所示建立直角坐标系当点A 到达最高点时 ， 点A绕O1转 过6， 则 点C绕O2转 过3此 时A（ 0， 2r ） ， C93(,)22rr 2293()(2)252 322ACrrrr （2）由题意，设大飞轮转过的角度为 ，则小飞轮转过的角度为2 ，其中0,2 此时 B（2rcos，2rsin） ，C（4r rcos2，rsin2）
22、 记点,B C 高度差为d，则|2 sinsin 2|drr即2 |sinsincos|dr设( )sinsincosf，0,2 ，则( )(1cos )(2cos1)f令( )(1cos )(2cos1)0f，得1cos2或 1则23，43，0 或 2 列表：0 2(0, )32324( , )33434( ,2 )32( )f+ 0 0 + ( )f0 极大值 f(23) 极小值 f(43) 0 当 23时， f( )取得极大值为3 34；当 43时， f( )取得极小值为3 34答：点 B，C 在传动中高度差的最大值max3 32dr 2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题精选学习资
23、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页例 9. 如图， 摩天轮的半径为m40，点O距地面的高度为m50，摩天轮做匀速转动，每min3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处. （1）试确定在时刻(min)t时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过m85？（3）求证：不论t为何值，( )(1)(2)f tf tf t是定值 . 2.3 以直角三角形为载体的三角应用题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页例 10如图
24、，矩形ABCD 中， AB=3，AD=2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为的方向射到边BC 上点1P后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA 和 AB 上的234PPP，处（ 1）若 P4与 P0重合，求tan的值；（ 2）若 P4落在 A、P0两点之间，且AP0=2设tan=t，将五边形P0P1P2P3P4的面积 S表示为 t 的函数，并求S的最大值解 ： （1）设00P Bx ，则10tanPBx，102tanPCx0122tantantanxPCP C=02tanx ，2023tanP Dx30(3)tan2P Dx，304(3) tanP Ax，404(3)
25、tanAPx由于4P 与0P 重合，403APP B，所以46tan，即2tan3（2）由（ 1） ，可知444tanAP因为 P4落在 A、P0两点之间，所以2tan13，即213tS=S四边形ABCD01P BPS122334PCPP DPP APSSS1126tan(2tan)122tan12144(4tan2)(44tan)42tan2tan245834 tantan123217tt由于213t，所以123217tt12322 17tt=324 51 故 S的最大值为324 51 例 11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和 CD，10 3ABm，3 3CDm，现用钢丝绳对这A
26、 B C D P1P0P2P3P4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 35 页两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（ 1）设两根钢管相距1m，在 AB 上取一点E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）则 BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（ 2）设两根钢管相距3 3 m，在 AB 上取一点E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、 B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则 BE多长时钢丝绳最短？解（ 1）设钢丝绳长为
27、ym，CFD，则3 313 31tancossincosy（其中002，0tan7 ） ，223 3cossinsincosy当 tan3时，即34BE时，min8y（2）设钢丝绳长为ym，CFD，则3 33 31cossinsincosy（其中00，012 33 3tan33 3）223 33 3cossin3 31sincoscossinsincossincosy令0y得sincos，当4时，即36BE时min6 322y例 12. 如图，将边长为3 的正方形ABCD 绕中心 O 顺时针旋转(02)得到正方形A B C D 根据平面几何知识，有以下两个结论：A E D C B F A E
28、D C B F 图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页 A FE对任意(02)，EAL，EA F，GBF，GBH，ICH ，ICJ，KDJ，KD L均是全等三角形（1）设 AEx，将 x 表示为的函数；（2）试确定，使正方形ABCD与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积解（ 1）在 Rt EAF 中，因为 A FE，AEx，所以 EFxsin，AFxtan由题意 AEAEx，BFAFxtan，所以 ABAEEFBFxxsinxtan3所以 x3sin1sin cos，(0，2) （2）S A
29、 EF12?A E?A F12?x?xtanx22tan(3sin1 sin cos)2?cos2sin9sin cos2(1sin cos )2令 t sin cos ，则 sin cos t212因为(0，2)，所以4(4，34)，所以 t2sin(4)(1，2S AEF9(t2 1)4(1t)294(12t1) 94(1221)正方形 ABC D 与正方形 ABCD 重叠部分面积SS正方形ABC D4SAEF9 9 (1221)18(21)当 t2，即4时等号成立2.4 以解三角形为载体的三角应用题例 13某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是ABBDl，3B的固定装置， AB 上可滑动
30、的点C 使CD垂直于底面（C不与LKJIHGFECDABOADBCDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页,A B重合），且CD可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕 D 在同一平面内旋转） ，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿DCA运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中DCB的大小 . （1）当变化时，试将货物运行的时间t表示成的函数（用含有v和l的式子）；（2）当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？解： （1）在BCD中,
31、3BCDBBDlsin(120)sinlBC，32sinlCDsin(120)sinlACABBCl，则sin(120)3333 sin2 sinACCDllltvvvvv，2()33（ 2）t3 cos3(1)6sin2 sinllvv33cos66sinllvv令3cos( )sinm，则213cos( )sinm令( )0m得1cos3，设01cos302(,)33，则0(,)3时，( )0m；02(,)3时( )0m1cos3时( )m有最小值2 2，此时648BCl. 答：当648BCl时货物运行时间最短. 例 14如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立
32、柱顶端O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为6设 S的眼睛距地面的距离按3米(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 米的彩杆MN 绕其中点O 在 S与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由解(1) 如图，作SC垂直 OB 于 C，则 CSB30 ， ASB60 又 SA3，故在 RtSAB中，可求得BA3，即摄影者到立柱的水平距离为3 米由 SC3， CSO30 ，在 R
33、tSCO 中，可求得OC3因为 BCSA3，故 OB23，即立柱高为23米 . (2) 方法一：连结SM，SN，设 ONa，OMb在 SON和 SOM 中，3)21b2,2 23 1)3)2 1a2,2 23 1)，得 a2b2 26cosMSN又 MSN (0， )，则 MSN故摄影者可以将彩杆全部摄入画面方法二提示 : 设 MOS ，建立 cos MSN 关于 的关系式，求出cosMSN 最小值为，从而得到MSN方法三提示 : 假设 MSN，设 ONa，OMb，联立 a2b226 和 a2b2ab4 消元，判断方程是否有解方法四提示：计算过S点作圆 O(1 为半径 )的两切线夹角大于60o
34、也可合理建系【说明】第 (1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三2.5 以圆（或圆弧）为载体的三角应用题例 15某园林公司计划在一块O为圆心 ,R(R为常数 ,单位为米 ) 为半径的半圆形 （如图） 地上种植花草树木 ,其中弓形CMDC区域用于观赏样板地,OCD区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售已知观赏样板地的成本是每平方米2 元,花木的利润是每平方米8 元,草皮的利润是每平方米3 元（1）设COD（单位：弧度）,用表示弓形CMDC的面积( )Sf弓；（2）园林公司应该怎
35、样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的的值MOSNBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页解： （1）212SR扇，21sin2OCDSR,21( )(sin )2SfR弓(0,)（2）设总利润为y元，草皮利润为1y元，花木地利润为2y，观赏样板地成本为3y221113()22yRR，221sin82yR，231(sin) 22yR, 222212311113()sin8(sin ) 22222yyyyRRRR213(510sin)2R设( )510sing(0,)( )510cosg1( )0,cos,
36、 ( )(0,23gg在)上为减函数；1( )0,cos, ( )()23gg,上为增函数当3时，( )g取到最小值 ,此时总利润最大答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3时，总利润最大. 2.6 以立体几何为载体的三角应用题例 16. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c千元，设该容器的建造费用为y千元（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器
37、的建造费用最小时的r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页解（ I）设容器的容积为V，由题意知23480,33Vr lrV又故322248044 203()333Vrlrrrrr由于2lr，因此02.r所以建造费用2224 202342()34,3yrlr crrr cr因此21604 (2),02.ycrrr（2）由（ 1）得3221608 (2)208 (2)(),02.2cycrrrrrc由于3,20,cc所以当3320200,.22rrcc时令320,2mc则0m，所以2228 (2)()().cyrmrrm
38、mr（1）当9022mc即时，易得rm是函数 y 的极小值点，也是最小值点。（2）当2m即932c时，当(0,2),0,ry时函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当932c时，建造费用最小时2;r当92c时，建造费用最小时320.2rc例 17. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ， 半径为 R （米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EDECEBEA,所在圆的圆心都是O 、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是 （弧度）；灯杆 EF 垂直于地面， 杆顶 E 到地面的距离为h （米）， 且hR；灯脚 FA1， FB1， FC1，
39、 FD1是正四棱锥F A1B1C1D1的四条侧棱，正方形 A1B1C1D1的外接圆半径为R（米） ，四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 （弧度）已知灯杆、灯脚造价都是每米a（元） ，灯托造价是每米3a（元），其中, ,R h a 都O AB C DE F A1 DC B1 1 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页为常数设该灯架的总造价为y（元）（1）求y关于的函数关系式；（2）当取何值时，y取得最小值？解（ 1）延长EF与地面交于1O ，由题意：11A FO，且1tanRFO，从而tanREFh，1sinRA F
40、，44()3tansinaRRyRha.44cos()3sinyRaha ，设44cos( )3sinf，令224sin312cos( )3sinf2(12cos)(72cos)=03sin.3. 当(0,)3时，0y；(,)32时，0y，设0,)2（，其中0tan1Rh，04. 0,)32（，3时，y最小 . 答：当3时，灯架造价取得最小值. 例 18.要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成
41、角为（弧度），总费用为y（元） . （1）写出的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页（2）将y表示成的函数关系式；（3）当为何值时，总费用y最小 ? 解设圆锥的高为1h米，母线长为l米,圆柱的高为2h米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元 . （1）(0,).4（2）圆锥的侧面用料费用为4a rl,圆柱的侧面费用为22a rh,圆柱的地面费用为22a r, 则22422ya rla rha r=22(2)a rlhr=1222()cosra rrhr, =222(tan
42、 )cosra rrrr=222(tan )3cosa r. （3）设2( )tancosf,其中(0,).4则22sin1( )cosf，当6时，22sin1( )0;cosf当(0,)6时，22sin1( )0;cosf当(,)64时，22sin1( )0;cosf则当6时，( )f取得最小值，则当6时，费用y最小 . 例 19某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3在所有能用这种包装纸包装的正
43、三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值解: 正三棱锥展开如图所示当按照底边包装时体积最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页设正三棱锥侧面的高为h0，高为 h由题意得：36xh0 10，解得 h0 1036x则 hh02x212(1036x)2x2121001033x ，x(0,103) 所以，正三棱锥体积V13Sh1334x21001033x3x2121001033x设 yV2x448(1001033x)100 x44810 x5483，求导得 y 100 x31250 x4483，令 y 0，得
44、x83，当 x(0，8 3)时， y0，y 随着 x 的增加而增大，当 x(83， 103)时， y 0，y 随着 x 的增加而减小，所以，当x83 cm 时， y 取得极大值也是最大值此时 y15360，所以 Vmax3215 cm3答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm32.7 以追击问题为载体的三角应用题例 20 . 如图，AB是沿太湖南北方向道路,P为太湖中观光岛屿, Q 为停车场，5.2PQkm某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以13km/h 的速度沿方位角的方向行驶，135sin游船离开观光岛屿3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了
45、及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车 )假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/hDDOCABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页（1）设54sin，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q；（2） 设小船速度为10km/h ， 请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q 解(1) 如图，作PNAB,N为垂足135sin，4sin5，
46、在RtPNQ中，sinPQPN55.2213(km), cosPQQN=125.24.813(km) 在RtPNM中，21.54tan3PNMN(km) 设游船从P 到 Q 所用时间为1t h，游客甲从P经M到 Q 所用时间为2t h，小船的速度为1vkm/h，则1262513135PQt(h),21112.53.3516666220PMMQtvvv（h） 由已知：21120tt ，15112220205v，1253v小船速度为253km/h，游客甲和游船同时到达Q （2）在RtPMN中，2sinsinPNPM(km),2costansinPNMN(km)2cos4.8sinQMQNMN(km
47、)14cos10665sin5533sinPMQMt1335cos4165sin5522215sin(335cos)cos533cos165sin165sint, 令0t得：5cos33当5cos33时，0t；当5cos33时，0t cos在)2,0(上是减函数，当方位角满足5cos33时， t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q 例 21. 已知岛A南偏东30方向，距岛A 20海里的B处有一缉私艇，一艘走私船正从A处以30海里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以v海里每小时的航速匀速行驶，经过t小时截住该走私船. （1）为保证缉私艇在30 分钟内（含30 分钟）截住该
48、走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值；（2）是否存在v，使得缉私艇以v海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页2.8 以米勒问题为载体的三角应用题例 22. 如图，有一壁画，最高点A处离地面m4，最低点B处离地面m2.若从离地高m5. 1的C处观赏它，则离墙多远时，视角最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页例 23. 某兴
49、趣小组测量电视塔AE 的高度 H （单位：m） ， 如示意图， 垂直放置的标杆BC 的高度 h=4m，仰角 ABE= ， ADE= （1）该小组已经测得一组 、的值， tan =1.24 ，tan =1.20 ，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位： m），使 与 之差 较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为 多少时， -最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页类型三：数列应用题例 24. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清
50、理知共有2009 根.现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1 根)，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢？（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1 根),且不少于七层，（）共有几种不同的方案? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页（）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？解（ 1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以1 为首项、 1 为公差的等差数列，且剩余