2022年三角函数图像变换.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数 y A sin x 的图像变换1 结合详细实例,懂得 y=Asin（x）的实际意义,会用“ 五点法” 画出函数 y=Asin（x）的简图；会用运算机画图,观看并讨论参数A ,进一步明确A,对函数图象的影响；2 能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin（x）的图象；3教学过程中表达由简洁到复杂、特别到一般的化归的数学思想；1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下, 作出函数ysin x3和ysin x4的简图,并指出它们与ysinx图象之间的关系；图；解析：函数ysinx3的

2、周期为2,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简设x3Z,那么sinx3sinZ,xZ3当 Z 取 0、2,32,2时, x 取3、6、2、7、5；所对应的五点是函数363ysin x3,x3,5图象上起关键作用的点；3列表：x 3sin x327950 6363x30 23220 sinx1 0 1 4,可列出下表：类似地,对于函数y7x 35xx4444440 320 22sin0 1 0 1 4描点作图（如下）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习

3、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载ysin x3, xR 及利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出ysin x4, xR的简图（图略） ；ysinx的图象上全部的点向左平行移动由图可以看出,ysin x3的图象可以看作是把3 个单位而得到的,ysin x4的图象可以看作是把ysinx的图象上全部的点向右平行移动4 个单位得到的；留意：一般地,函数ysinx0 的图象,可以看作是把ysinx的图象上全部的点向左（当0 时）或向右（当0 时）平行移动| |个单位而得到的；推广到一般有：将函数yf 的图象沿 x 轴方向平移 | | a

4、个单位后得到函数yfxaa0 的图象；当a0 时向左平移,当a0 且 A 1）的图象,可以看作是把ysinx的图象上全部点A1 时）或缩短（当0A0 且 A 1）的图象,可以看作是把函数yf x 图象上的点的纵坐标伸 第 4 页,共 22 页 长（当 A1）或缩短（当0A0,0 ,x 0,）表示一个振动量时,A 就表示这个量振动时离开平稳位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间Tx2yf12,它叫做振动的频率；,它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数T叫做相位,叫做初相（即当x0 时的相位）；sin2x3的图象；例 1. 用两种方法将函数ysinx的图象变换为函

5、数分析 1：x2x2x62x13 第 5 页,共 22 页 解法 1：ysinx横坐标缩短到原先的2纵坐标不变ys i n2 x向左平移6个单位细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ys i n x6sin2x3精品资料欢迎下载分析 2：xxx32x3解法 2：ysin向左平移3个单位ys i n 3横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12纵 坐 标 不 变y s i n x 3点评： 在解法 1 中,先伸缩,后平移；在解法

6、2 中,先平移,后伸缩,表面上看来,两种变换方法中的平移是不同的（即 6 和 3 ）,但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一致的；练习：应选 D x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与 x 轴交点中最的图象选 D 例 2. 用五点法作出函数y2sin2x3的图象,并指出函数的单调区间； 第 6 页,共 22 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载分析： 按五点作图法的要求找

7、出五个点来,然后作图；解析：（ 1）列表列表时2x3取值为 0、2、3、2,再求出相应的x 值和 y 值；2（ 2）描点2xx 361230 750 126y 0 23220 2 -2 （3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如下列图：x利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展, 得到y2sin 2x3,R 的简图（图略） ；为可见在一个周期内,函数在12,7上递减,又因函数的周期为k,所以函数的递减区间、12k12,k7（,kZ）；同理,增区间为k-5,k12（Z）；12122点评： 五点法作图, 要抓住要害, 即抓住五个关键点,使函数式中的x取 0、2、32,然后求出相应

8、的x,y 值；例 3. 如图是函数yAsinx 的图象,确定A、的值；解析： 明显 A2 T5666 时, y0 6 第 7 页,共 22 页 6222Ty2s i n x解法 1：由图知当x0,3故有2x2所求函数解析式为yy2sin2x32sin2x的图象向左移解法 2：由图象可知将细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即得y2sin x6,即y2精品资料3欢迎下载sin2x3点评： 求函数yAsinx 的解析式难点在于

9、确定初相,一般可利用图象变换例 :4 试述如何由y=1 sin （2x+ 3 ）的图象得到 3y=sin x 的图象；解析 ：y=1 sin （2x+ 3 ）3横坐标扩大为原先的2 倍y1sin（x）纵坐标不变33图象向右平移个单位y1sinx3纵坐标不变3纵坐标扩大到原先的3 倍ysinx横坐标不变另法答案：（ 1）先将 y=（ 2）再将 y=（ 3）再将 y=1 sin （2x+ 3 ）的图象向右平移 3 个单位,得 6y=1 sin2 x 的图象；31 sin2 x 上各点的横坐标扩大为原先的 32 倍（纵坐标不变） ,得 y=1 sin x 的图象；31 sin x 图象上各点的纵坐标

10、扩大为原先的 33 倍（横坐标不变） ,即可得到y=sin x的图象；例 5： 函数 fx=Asin x+ 的图象如图2-15 ,试依图指出1fx的最小正周期；2 使 fx=0 的 x 的取值集合；3 使 fx0 的 x 的取值集合；4fx 的单调递增区间和递减区间；5 求使 fx 取最小值的 x 的集合；6 图象的对称轴方程；7 图象的对称中心解析：这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的表达,它 第 8 页,共 22 页 依据 fx=Asin x+ 的图象与函数y=sinx的图象的关系得出细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -注：得出函数精品资料fx欢迎下载fx 的最小正周期之后,讨论的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个周期中讨论,再延长到整个定义域中注：实际上fx 图象的对称轴方程为x=x 0,而其中 x0 使 fx0=1 或 fx0=-1 注： fx 的图象的对称中心为x 0,0 ,其中 x 0使 fx0=0 【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合才能的重要训练题,其中有两点要留意反思：周期性在讨论中的化简作用,三角函数的“ 多对一” 性练习：113 分已知函数fxAsin x

12、 A0,0,| 2的 部 分图象如下列图1 求函数 fx的解析式；2 如何由函数y2sin x 的图象通过适当的变换得到函数fx 的 图 第 9 页,共 22 页 - - - - - - - - - 象,试写出变换过程解1由图象知 A 2. fx的最小正周期T412 6,故 2 T2. 将点 6,2 代入 fx的解析式,得sin 3 1. 又 |0,0,| 2,xR的一部分如下列图1 求函数 fx的解析式；解2 当 x 6, 2 3时,求函数 yfxfx2的最大值与 最 小值及相应的 x 的值1由图象知 A 2,T8, T2 8, 4. 又图象过点 1,0,2sin 4 0. |0,0,| 2

13、图象如下列图1 求函数 yfx的解析式；2 将函数 yfx的图象向右平移 4个单位,得到ygx的图象,求直线y6与函数 yfxgx的图象在 0, 内全部交点的坐标解1由题图知 A2,T ,于是 2 T2,将 y 2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度,得 y 2sin2x的图象于是 212 6,fx 2sin 2x 6 . 第 10 页,共 22 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载 6,同学易

14、错为2 依题意得 gx2sin 2 x 4 2cos 2x 6 . 故 y fxgx2sin 2x 62cos 2x 2 2sin 2x 12 . 由 2 2sin 2x 126,得 sin 2x 123 2 . 0x, 122x 120,0的最大值为3,最小正周期是2 7,初相是 6,就这个函数的解析式为 _ 答案 y3sin7x 6 解析 由题意,知A3,2 T27, 6,7 y3sin7x 66函数 fx3sin 2x 3的图象为 C,如下结论中正确选项_写出全部正确结论的编号图象 C 关于直线 x11 12对称；图象 C 关于点2 3, 0 对称；函数 fx在区间 12,5 12内是增

15、函数；由 y3sin2x 的图象向右平移 3个单位长度可以得到图象C. 答案 解析 f11 123sin3 2 3,正确；f2 33sin 0,正确；fx的增区间为k 12,k5 12 kZ,令 k0 得增区间 12, 5 12,正确；由 y 3sin2x 的图象向右平移 6个单位长度可以得到图象C,错误三、解答题7已知函数y Asin xA0,0,| 2的图象的一个最高点为2,22,由这个最高点到 第 13 页,共 22 页 相邻最低点,图象与x 轴交于点 6,0,试求这个函数的解析式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

16、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 解析 已知函数最高点为2,2精品资料欢迎下载2, A22. 又由题意知从最高点到相邻最低点,图象与x 轴相交于点 6,0,而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为1 4个周期长度,T4624,即 T16. 2T 8. y2 2sin 8x将点 6,0的坐标代入,有 2 2 8 60, sin3 40,又 | 2, 4. 函数的解析式为 y 2 2sin 8x48已知函数 fx2sin2x 6a1其中 a 为常数 1 求 fx的单调区间；2 如 x0,2时, fx的最大值为 4,求 a 的值；3

17、 求出访 fx取最大值时 x 的取值集合 解析 1由22k2x 6 2 2k kZ,解得 3kx 6k kZ 函数 fx的单调增区间为 3k, 6k k Z由 22k2x 63 22k,kZ,解得 6 kx2 3k,k Z. 函数 fx的单调减区间为 6k,2 3k kZ2 0x2, 62x 67 6,1 2 sin2x 6 1, fx的最大值为 2a14, a1. 3 当 fx取最大值时, 2x6 22k,kZ, 第 14 页,共 22 页 2x 3 2k,kZ细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳

18、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - x 6k,kZ. 精品资料欢迎下载当 fx取最大值时,x 的取值集合是 x|x 6k,kZ92022 北京文, 16函数 fx3sin2x 6的部分图象如下列图1 写出 fx的最小正周期及图中 x0、y0的值；2 求 fx在区间 2, 12上的最大值和最小值2 解析 1fx的最小正周期为 2 . x0,y0是最大值点,令 2x 2k,kZ,结合图象得 x07,y03. 6 2 62 由于 x 2, 12,所以 2x5,06 6于是,当 2x 60,即 x 12时, fx取得最大值 0；当 2x 6 2,即 x 3时

19、, fx取得最小值 3. 基础巩固一、挑选题1函数 y|cosx|的周期为 B 第 15 页,共 22 页 A 2C 2D 4 答案 B 解析 作出函数 y|cosx|的简图,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由图象可知,函数精品资料欢迎下载y |cosx|的周期为 .22022 浙江临海市杜桥中学高一月考要得到函数gxcosx 的图象,只需将fxcosx 4的图象 4cosx,应选A 向右平移 8个单位长度B向左平移 8个单位长度C向右平移 4个单位长度D向左平移 4个单位长度 答案 D 解析 将 fxcosx 4的图象向左平移 4个单位长度得到gxcosx 4D. 32022