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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题一 导数及其应用 导数及其运算一、学问导学1. 瞬时变化率：设函数 y f x 在 x 邻近有定义,当自变量在 x x 0 邻近转变量为 x 时,函数值相应地转变 y f x 0 x f x ,假如当 x 趋近于 0 时,平均变化率 y f x 0 x f x 0 趋近于一个x x常数 c（也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的肯定值越来越小,可以小于任意小的正数）,那么常数 c称为函数 f x 在点 x 的瞬时变化率；2. 导数：当 x 趋近于零时,f x 0 x f x 0 趋近于常数 c；可用符号“” 记作：当 x 0 时,xf x
2、 0 xx f x 0 c 或记作 lim x 0 f x 0 xx f x 0 c,符号“” 读作“ 趋近于”；函数在 x 的瞬时变化率,通常称作 f x 在 x x 0 处的导数,并记作 f x 0 ；3. 导函数：假如 f x 在开区间 a , b 内每一点 x 都是可导的,就称 f x 在区间 a , b 可导；这样,对开区间 a , b 内每个值 x ,都对应一个确定的导数 f x ；于是,在区间 a , b 内,f x 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y f x 的导函数；记为 f x 或 y （或 xy ）；4. 导数的四就运算法就：1）函数和（或差）的求导法就：设 f
3、 x ,g x 是可导的,就 f x g x f x g x 即,两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差）；2）函数积的求导法就：设 f x ,g x 是可导的,就 f x g x f x g x f x g x 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上其次个函数,加上第一个函数乘其次个函数的导数；名师归纳总结 3）函数的商的求导法就：设fx ,g x 是可导的,gx0,就fu在点 x 的对应点 u 处有导第 1 页,共 13 页fxgxfxf 2 xx gxgx gx在点 x 处有导数uxx, 函数y5. 复合函数的导数: 设函数u- - - - - - -精选学
4、习资料 - - - - - - - - - 数yufu, 就复合函数yfx在点 x 处有导数 , 且yxy uux.6. 几种常见函数的导数： 1C0 C 为常数 2（xn）nxn1nQ3sinx cosx 4xecosx sinxlnx11loga5 6logaxxxax e xex7 8alna二、疑难学问导析1. 导数的实质是函数值相对于自变量的变化率如y2. 运用复合函数的求导法就y xyuux, 应留意以下几点（1）利用复合函数求导法就求导后, 要把中间变量换成自变量的函数, 层层求导 .2 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆, 始终运算到最终, 常显现如下错误,c
5、os2xsin2x实际上应是2sin2x；3 求复合函数的导数,关键在于分清晰函数的复合关系,选好中间变量,如y 11x4选成31,uv4,v1w ,w3 x运算起来就复杂了；u3. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率. 导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时速度；对导数的几何意义与物理意义的懂得,有助于对抽象的导数定义的熟悉,应赐予足够的重视；4.fx 0 与fx 的关系0处的导数,即a,fx 0是函数在某一点的导数；afx表示函数f x在某fx 0表示fx 在xx给定区间a ,b内的导函数,此时fx是在b 上 x 的函数,即fx是在,b内任一点的导数；5. 导数与
6、连续的关系y如函数yfx在x 处可导,就此函数在点0x 处连续,但逆命题不成立,即函数fx在点x 处连续,未必在0x 点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件；6. 可以利用导数求曲线的切线方程名师归纳总结 由于函数yxfx在x,0x处的导数,表示曲线在点P x 0,fx 0处切线的斜率,因第 2 页,共 13 页此,曲线yf在点Px 0fx0处的切线方程可如下求得：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求出函数yfx在点x0x处的导数,即曲线yfx在点Px 0,fx0处切线的斜率；y（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下,
7、求得切线方程为：yy 0fx0xx 0,假如曲线.fx在点Px 0,fx0的切线平行于y轴（此时导数不存在） 时,由切线定义可知, 切线方程为x0x三、经典例题导讲 例 1 已知y 1cos 2x 2, 就 y ., 导致错解错因： 复合函数求导数运算不娴熟, 其2x与 x 系数不一样也是一个复合的过程, 有的同学忽视了为:y2sin2x 1cos2x.正解： 设yu2,u1cos2x, 就yxyuu x2 u 1cos2 x 2 usin2x2x 2usin2x24sin2x 1cos2xy4sin2x1cos2x . 例 2 已知函数fx 1x21 x1判定 fx在 x=1 处是否可导？2
8、1x1 x1 2错解：lim x 01 1x2111 21,1f 11；22x分析：分段函数在“ 分界点” 处的导数,须依据定义来判定是否可导 . 解：lim x 0ylim x 01 1x2112 11122xx fx在 x=1 处不行导 .注：x0,指x 逐步减小趋近于0；x0,指x 逐步增大趋近于0；,与 x点评： 函数在某一点的导数,是一个极限值,即lim x0fx0xfx0, x 0,包括x0x0,因此,在判定分段函数在“ 分界点” 处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,假如都存在且相等,才能判定这点存在导数,否就不存在导数. 例 3 求y2x23在点P,15 和Q2
9、 ,9 处的切线方程；错因： 直接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 点 P 在函数的曲线上,因此过点P 的切线的斜率就是y 在x1处的函数值；点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线解：故y2x2,3y4x .yx144x ,又kPQy 09,即过点 P 的切线的斜率为4,故切线为：y4x1Tx 0y 0,就切线的斜率为设过点 Q 的切线的切点为x 022x 0264x 0,2x 028x 060 .x 03,1；x 02即切线 Q
10、T 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为：y4x,1y12x15点评 ： 要留意所给的点是否是切点如是,可以直接采纳求导数的方法求；不是就需设出切点坐标名师归纳总结 - - - - - - - 例 4 求证：函数yx1图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0 的切线方程 .x分析：由导数的几何意义知,要证函数yx1的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函x数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解： （1）yx1,y111,即对函数yx1定义域内的任一x ,其导数值都小于1,于是xx2x由导数的几何意义可知,函数yx1图象上各点处切线的斜率都小
11、于1.x（2）令110,得x1,当x1时,y112；当x1时,y2,x21曲线yx1的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为 ,12与1 ,2 ,切线方程分别为y2或xy2；点评：在已知曲线yfx切线斜率为 k 的情形下,要求其切线方程,需要求出切点,而切点的横坐标就是yf x 的导数值为 k 时的解,即方程fxk的解,将方程fx k的解代入yfx就可得切点的纵坐标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要留意的是方程fx k有多少个相异实根,就所求的切线就有多少条. 第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5 已知a0,函数fxx 3a,x,0,设x 10,记
12、曲线yfx在点Mx 1,fx 1处的切线为l . . （1）求 l的方程；（2）设l与x轴交点为x 2, 0 ,求证：111x 2a3；如x 1a3,就a3x 2x 1分析： 此题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程解： （1）f/xlim x0ylim x0xx 3ax3axxlim x03x2x3 x x2x 3xlim x 03x23xxx23x2fx 12 3 x 1切线 l 的方程为yfx 1fx 1xx 1即yx 13a 3x 12xx 1.（ 2）依题意,切线方程中令y=0 得,由知x 2x 1x 132a,x 2x 13 x 1a3x 12 3x 1 例 6 求
13、抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 可设Px ,x2为抛物线上任意一点,就可把点P 到直线的距离表示为自变量x的函数,然后求函数最小值即可, 另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线 x y 2 0的距离即为此题所求 . 解：依据题意可知, 与直线 x y 2=0 平行的抛物线 y=x 2 的切线对应的切点到直线 x y2=0 的距离最短,设切点坐标为（）,那么 y | x x 0 2 x | x x 0 2 x 0 1 , x 0
14、 121 1 切点坐标为 1, 1 ,切点到直线 xy2=0 的距离 d |2 4 2 | 7 2,2 4 2 8 抛物线上的点到直线的最短距离为 7 2 .82、导数的应用一、 学问导学1. 可导函数的极值（1）极值的概念设函数 f x 在点 x 邻近有定义,且如对 x 邻近的全部的点都有 f x f x 0 （或 f x f x 0 ）,就称f x 0 为函数的一个极大（小）值,称 x 为极大（小）值点 .（2）求可导函数 f x 极值的步骤 :求导数 f x ；求方程 f x 0 的根 .求方程 f / x 0 的根 .检验 f x 在方程 f x 0 的根的左右的符号,假如在根的左侧邻
15、近为正,右侧邻近为负,那么函数 y f x 在这个根处取得极大值；假如在根的右侧邻近为正,左侧邻近为负,那么函数 y f x 在这个根处取得微小值 .2. 函数的最大值和最小值名师归纳总结 （1）设yfx是定义在区间a,b上的函数,yf x 在a ,b内有导数,求函数yfx在a,b上fb第 6 页,共 13 页的最大值与最小值,可分两步进行. 求yfx在a,b内的极值 . 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小将yfx在各极值点的极值与fa、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 值. （2）如函数fx在a,b上单调增加,就fa为函数的最小值,fb为
16、函数的最大值；如函数fx在a,b上单调递减,就为函数的最大值,fb为函数的最小值. fa二、疑难学问导析1. 在求可导函数的极值时,应留意：（以下将导函数 f x 取值为 0 的点称为函数 f x 的驻点可导函数的极值点肯定是它的驻点,留意肯定要是可导函数；例如函数 y | x | 在点 x 0 处有微小值 f 0 =0,可是这里的 f 0 根本不存在,所以点 x 0 不是 f x 的驻点 . 1 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点；例如函数 f x x 3的导数 f x 3 x 2,在点 x 0 处有 f 0 0,即点 x 0 是 f x x 3的驻点, 但从 f x 在 ,
17、上为增函数可知, 点 x 0不是 f x 的极值点 . 2 求一个可导函数的极值时,经常把驻点邻近的函数值的争论情形列成表格,这样可使函数在各单调区间的增减情形一目了然 . 3 在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域 . 假如定义域是一个开区间,函数在定义域内可导（其实只要是初等函数,它在自己的定义域内必定可导）,并且按常理分析,此函数在这一开区间内应当有最大（小）值（假如定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就肯定有最大（小）. 记住这个定理很有好处） ,然后通过对函数求导,发觉定义域内只有一个驻点,那么立刻可以肯定在这个驻点处
18、的函数值就是最大（小）值；知道这一点是特别重要的,由于它在应用上较为简便,省去了争论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤 . 2. 极大（小）值与最大（小）值的区分与联系极值是局部性概念,最大（小）值可以看作整体性概念,因而在一般情形下,两者是有区分的 . 极大（小）值不肯定是最大（小）值,最大（小）值也不肯定是极大（小）值,但假如连续函数在区间 a , b 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,微小值就是最小值 . 三、经典例题导讲名师归纳总结 - - - - - - - 例 1 已知曲线S:y2x3x24x及点P00,求过点 P 的曲线 S 的切线方
19、程 . 3错解：y2x22x4,过点 P 的切线斜率kyx04,过点 P 的曲线 S 的切线方程为y4x. 错因： 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义. 在此题中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点P ,上述解法对求过点P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切线方程,熟悉不到位,发生了混淆. 正解： 设过点 P 的切线与曲线S 切于点Q x 0y 0,就过点P的曲线S的切线斜率kyxx 02x022x 04,又k PQy 0,2 x022x 04y 0；点 Q 在曲线 S 上,x0x 0第 7 页,共 13 页精选学习
20、资料 - - - - - - - - - y02x03x024x0.,代入得2x022x 042x03xx024x0330名师归纳总结 - - - - - - -化简,得4x 03x020,x 00或0x3. 如x00,就k4,过点 P 的切线方程为y4x；34如x03,就k35,过点 P 的切线方程为y35 x .8过点 P 的曲线 S 的切线方程为y4x或48y35 x .8 例 2 已知函数fx ax33x2x1在 R 上是减函数,求a 的取值范畴 . 错解：fx 3 ax26x,1fx在 R 上是减函数,fx0在 R 上恒成立,3ax26x10对一切xR恒成立,0 ,即3612a0,a
21、3. 正解 :fx3 ax26x1,fx在 R 上是减函数,fx 0 在 R 上恒成立,0 且a0,即3612a0且a0,a3. 例 3 当x0,证明不等式1xxln1x x. 证明：fxlnx1 1xx,gxlnx1x,就fx 1x2,当x0时；fx在0 ,x内是增函数,fxf0 ,即ln1x1xx0,又gx1x,当x0时,gx0,gxx在0 ,内是减函数,gxg0,即ln1xx0,因此,当x0时,不等式1xxln1xx成立 . 点评： 由题意构造出两个函数fxlnx1 1xx,gx lnx1 x. 利用导数求函数的单调区间,从而导出fxf0及gxg0是解决此题的关键. 例 4 设工厂到铁路
22、线的垂直距离为20km,垂足为 B. 铁路线上距离B 为 100km处有一原料供应站C,现要在铁路 BC之间某处 D修建一个原料中转车站, 再由车站 D向工厂修一条大路. 假如已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么 ,D 应选在何处 , 才能使原料供应站C运货到工厂A 所需运费最省 . 解 ： 设 BD之间的距离为xkm,就|AD|=x22 20,|CD|=100x. 假如大路运费为a 元/km, 那么铁路运费为3a元 /km. 故从原料供应站C途经中转站D到工厂 A 所需总运费 y5为: y3a 100x+ a2 x400,0x100. 对该式求导 , 得5第 8 页,共 13
23、页精选学习资料 - - - - - - - - - y =3a + 5x2ax400=a5x3x2400, 令y0, 即得 252 x =9x2400 , 解之得5x2400x =15, 2x =-15 不符合实际意义 , 舍去 . 且 1x =15 是函数 y 在定义域内的唯独驻点 , 所以 x =15 是函数y 的微小值点 , 而且也是函数 y 的最小值点 . 由此可知 , 车站 D建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km处时 , 运费最省. 点评： 这是一道实际生活中的优化问题 , 建立的目标函数是一个复合函数 , 用过去的学问求其最值往往没有一般方法 , 即使能求出 , 也要涉及到
24、较高的技能技巧 . 而运用导数学问 , 求复合函数的最值就变得特别简洁 .一般情形下 , 对于实际生活中的优化问题, 假如其目标函数为高次多项式函数、简洁的分式函数简洁的无理名师归纳总结 - - - - - - -函数、简洁的指数、对数函数, 或它们的复合函数, 均可用导数法求其最值. 由此也可见 , 导数的引入 , 大大拓宽了中学数学学问在实际优化问题中的应用空间. 例 5 函数fx3x 33 ax,1gx fxax5,其中f x 是fx的导函数 .（ 1）对满意 1 a1 的一切 a 的值,都有gx 0,求实数 x 的取值范畴；（2）设 a 2 m ,当实数 m 在什么范畴内变化时,函数y
25、 fx的图象与直线y 3 只有一个公共点. 解：（1）由题意g x3 x2ax3 a5令x3x a3 x25,1a1对1a1,恒有g x0,即a010即32 xx20102 3 xx80解得2x13故x2,1 3时,对满意 1 a 1 的一切 a的值,都有g x0. （2）fx3 x22 3 m当m0时,fxx31的图象与直线y3只有一个公共点当m0时,列表：x, mmm,mmm,fx00fx极大微小第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx微小fx2m2m11名师归纳总结 - - - - - - -又 fx的值域是R,且在m,上单调递增当 xm时函数yfx
26、的图象与直线y3只有一个公共点. 当 xm 时,恒有fxfm由题意得fm3即2m2m12m313解得m32,00,32综上, m 的取值范畴是32,32 . 例 6 如电灯 B 可在桌面上一点O的垂线上移动,桌面上有与点O距离为 a的另一点 A,问电灯与点0 的距离怎样,可使点A处有最大的照度？（BAO,BAr,照度与 sin成正比,与r2成反比）分析： 如图,由光学学问,照度y 与 sin成正比,与r2成反比,即yCsin（ C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最r2大的照度,只需求y 的极值就可以了. 解： 设 O 到 B 的距离为 x ,就sinx,rx2a2r于是yCsinCxC
27、x2x230x,yCa22x250. r2r32a2ax22当y0时,即方程a22x20的根为x 1a（舍）与x2a,在我们争论的半闭区间,0内,22所以函数yfx在点a取极大值, 也是最大值； 即当电灯与 O 点距离为a时,点 A 的照度 y 为最大 . 22（ 0,a ）2 a 2,y+ - y第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：在有关极值应用的问题中,绝大多数在所争论的区间上函数只有一点使得fx=0 且在该点两侧,fx 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,也是最大（小）值点. 【课后练习】一、与导数概念有关的问题【例 1】函数
28、 fx=xx- 1 x- 2 x- 100在 x= 0 处的导数值为A.0 B.1002C.200 D.100！解法一f0=lim x 0f0xf 0 = lim x 0x x1 x2100 0xx=lim x 0 x- 1 x-2 x- 100=（- 1）（- 2） （ -100）=100！选 D. 解法二设 fx=a101x101+ a100x100+ + a1x+a0,就 f0= a1,而 a1=（- 1）（-2 ）（- 100）=100！. 选 D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解,函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二. 是依据导数的四就运算求导法就使问题获解.
29、【例 3】如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加, 就圆半径 R=10 cm 时,圆面积增加的速度是解 S= R2,而 R=Rt,R =2 cm/s,tS = 2 R t=2 RtR =4 R,tS /R=10=4 R/R=10= 40cm2/s. 点评 R 是 t 的函数,而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（ R 是中间变量） ,此题易显现“ S=R 2, S=2 R,S/R=10=20 cm 2/s” 的错误.此题考查导数的物理意义及复合函数求导法就,须留意导数的物理意义是距离对时间的变化率,它是表示瞬时速度,因速度是向量,故变化率可以为负值 .2004 年高考湖北卷理科第 16 题
30、是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题,据资料反映：很多考生在求出距离对时间的变化率是负值后,却在写出答案时竟然将其中的负号舍去,以致痛失 4 分.二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线y=sinx 上一点 P 为切点的切线为直线l ,就直线 l 的倾斜角的范畴是A.0,3 , B. ,0 C.,3 D. 0,3 4442444解 设过曲线 y=sinx 上点 P 的切线斜率角为 ,由题意知, tan =y=cosx. cosx- 1,1, tan - 1,1 ,又 0 , , 0 ,3 ,. 44应选 A. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精
31、选学习资料 - - - - - - - - - 点评 函数 y=fx在点 x0 处的导数fx0表示曲线, y=fx在点（ x0,fx0）处的切线斜率,即k=tan为切线的倾斜角,这就是导数的几何意义.此题如不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范畴,极易出错.于“【例 5】 曲线 y=x3- ax 2 的切线通过点（0,1）,且过点（ 0,1）的切线有两条,求实数a 的值 . 解 点（ 0, 1）不在曲线上,可设切点为（m,m3- am 2）.而 y=3x 2-2 ax,k 切=3m 3-2 am,就切线方程为y=3m 3-2 amx- 2m3- am2. 切线过（ 0,1）, 2m 3- am 2+1=0.* 设（ *）式左边为fm, fm=0,由过（ 0,1）点的切线有2 条,可知 fm=0 有两个实数解,其等价fm有极值,且极大值乘以微小值等于0,且 a 0”