《2022年高三一轮专题复习不等关系与一元二次不等式3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三一轮专题复习不等关系与一元二次不等式3.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7.1 不等关系与一元二次不等式1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号 、0. abba,bR；ab0. a2作商法ab0. a0. a b1. abba b1. aa b1. ab. bb,bc. ac；3可加性： ab. acbc,ab,cd. acb d；4可乘性： ab,c0. acbc,ab0,cd0. acbd；5可乘方： ab0. a nb nnN,n 1；6可开方： ab0. n an b nN,n 2. 4.“ 三个二次 ” 的关系名师归纳总结 判别式0 00的图象一
2、元二次方程ax2有两相异实根x1,有两相等实根x1x2没有实数根bxc0a0x2x1x2 b 2a的根ax2bx x|xx2 x|x x1 x|x R c0a0的解集ax2bx x|x1xx2 .c0的解集1.判定下面结论是否正确请在括号中打“ ” 或“ ” 名师归纳总结 1ab. ac2bc2. 第 2 页,共 16 页2ab0,cd0.a db c. 3如 ab0,就 ab.1 a0 的解集是 , x1x2, ,就方程 ax2bxc 0 的两个根是 x1 和 x2. 5如方程 ax2bxc0a 0没有实数根,就不等式ax2bxc0 的解集为 R. 6不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立
3、的条件是a0 且 b24ac0. 2.设 ab1B.a b1C.|a|bD.ab答案B 解析由题设得 aab0,所以有1 1 a不成立 . ab3.已知不等式ax2bx1 0 的解集是1 2, 1 3,就不等式x 2 bxa0 的解集是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A.2,3 B., 23, C. 3,1 D., 1 3 1 2,答案 A 解析 由题意知1 2,1 3是方程 ax 2bx10 的根,所以由根与系数的关系得2 1b a, 1 21 3 1 a.解得 a 6,b5,不等式 x 2bxa0 即为 x 25x60,解集为
4、2,3. 4.如不存在整数 x 满意不等式 kxk 24x40,就实数 k 的取值范畴是 _. 答案 1,4 解析 可判定 k0 或 k0. k 24 k 2 4于是原不等式即为 kxk x40. xk x40,1k4. 5.2022江苏 已知 fx是定义在 R 上的奇函数 .当 x0 时, fxx 24x,就不等式 fxx 的解集用区间表示为 _. 答案 5,05, x 24x,x 0解析 由已知得 f00,当 x0 时,fx fx x 24x,因此 fxx 24x,x0x0 xx 等价于 或x 24xx,x 24xx解得： x5,或 5xb1,cc b； aclog ab c. 其中全部正
5、确结论的序号是A.B.C.D.22022四川 设 a,b 为正实数 .现有以下命题：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 a 2b 21,就 ab1；如 1b学习必备欢迎下载ab|1,就 |ab|1；11,就 ab1；如 |a如|a 3b 3|1,就 |ab|b1,1 a1 b. 又 c cb,故结论 正确；函数 yx ccb,a clog bbclog abc,故 正确 . 正确结论的序号是 . 2中, a 2b 2abab1,a,b 为正实数,如 ab1,就必有 a b1,不合题意,故 正确 . 中,1 b1 aabab 1,只需 abab 即可
6、. 如取 a2,b2 3满意上式,但 ab4 31,故 错 . 中, a,b 为正实数,所以 ab| ab|1,且|ab| ab ab| ab|1,故 错. 中, |a 3b 3|a ba 2abb 2| |ab|a 2abb 21. 如|ab|1,不妨取 ab1,就必有 a 2 abb 21,不合题意,故 正确 . 思维升华 判定多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判定或反例说明 .常用的推理判定需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面摸索：不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或 数,当两边同时平方后不等号方向不肯定保持不变；当两边同时取倒数后不等号方向
7、不变等 . 0；不等式左边是正数,右边是负 不等式左边是正数,右边是负数,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1如 aln 2 2,bln 3 3学习必备欢迎下载 , cln 5 5,就A.abcB.cbln b2中,正C.cabD.bac2如1 a1 b0,就以下不等式：1 ab0； a1 ab确的不等式是 A.B.C.D.答案1C2C 解析1易知 a,b,c 都是正数,b a2ln 3 3ln 2log891,所以 ba；a c5ln 2 2ln 5log25321,所以 ac. 即 cab.应选 C. 2由1
8、a1 b0,可知 ba0. 0. 中,由于ab0,所以1ab故有11 ab,即 正确；ab中,由于baa0. 故 b|a|,即 |a|b0,故 错误；中,由于ba0,又1 a1 bb1 b,故 正确；b2a 20,中,由于baln a 2,故 错误 . x28x30 的解, 再求不等式的解集；2含参第 5 页,共 16 页由以上分析,知 正确 . 题型二一元二次不等式的解集例 2求以下不等式的解集：1x 28x30；2ax2a1x10,13,x2413. 所以方程 x 28x30 有两个不相等的实根x14又二次函数y x28x3 的图象开口向下,所以原不等式的解集为 x|413x413. 2如
9、 a0,原不等式等价于x11. 如 a0,解得 x1. 如 a0,原不等式等价于 x1 ax10. 当 a1 时,1 a1,x1 ax11 时,1 a1,解 x1 ax10 得1 ax1；当 0a1,解 x1ax 10 得 1x 1a. 综上所述：当 a0 时,解集为 x|x1 ；当 a0 时,解集为 x|x1 ；当 0a1 时,解集为 x|1x1时,解集为 x|1 ax1. 思维升华 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类争论 . 1如二次项系数为常数,第一确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类争论,如不易分解因式,就可依据判别式符号进行分类争论；2如二次项系数为参
10、数,就应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再争论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；3对方程的根进行争论,比较大小,以便写出解集. 1 3,就不等式2x 2bxa0 的解为1 2x_. 名师归纳总结 2不等式x1 2x10 的解集为 _. 第 6 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案1 2,32 1 2,1 学习必备欢迎下载解析1由题意,知1 2和 1 3是一元二次方程ax2bx20 的两根且 a0,所以1 21 3 b,解得a 12. 1 2 1 32b 2就不等式 2x 2bxa0 即 2x 22x
11、120,其解集为 x|2x3. 名师归纳总结 2原不等式等价于x12x1 0* 第 7 页,共 16 页2x1 0由* 解得1 2x1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三不等式恒成立问题学习必备欢迎下载例 3 设函数 fx mx 2 mx1. 1如对于一切实数 x,fx0 恒成立,求 m 的取值范畴；2如对于 x1,3 ,fxm 5 恒成立,求 m 的取值范畴 . 思维启发 1分 m0 和 m 0 争论, m 0 可结合图象看 的条件；2可分别参数 m,利用函数最值求 m 的范畴 . 解 1 要使 mx 2mx10 恒成立,如 m 0,明显 1
12、0；如 m 0,就m0,. 4m0. m 24m0所以 4m0. 2要使 fxm5 在 x1,3 上恒成立,即m x123 4m60 时, gx在1,3 上是增函数,所以 gxmaxg3. 7m60,所以 m6 7,就 0m6 7；当 m 0 时, 60 恒成立；当 m0 时, gx在1,3 上是减函数,所以 gxmaxg1. m60,所以 m6,所以 m0. 名师归纳总结 综上所述： m 的取值范畴是 m|m0,2又由于 mx2x160,所以 m6 . x 2x 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于函数 y6x 2x16学习必备欢迎下载m6 7即
13、可 . 23 在 1,3 上的最小值为6 7,所以只需4x1 2所以, m 的取值范畴是 m|m0 恒成立,试求实数a的取值范畴 . x 2 2xa解 由于 x1, 时, fxx 0 恒成立,即 x 22xa0 恒成立 . 即当 x1 时, ax 22xgx恒成立 . 而 gx x 22x x1 2 1 在1, 上单调递减,所以 gxmaxg1 3,故 a3. 所以,实数 a 的取值范畴是 a|a3. 转化与化归思想在不等式中的应用典例： 10 分12022 江苏 已知函数 fxx2axba,bR的值域为 0, ,如关于 x的不等式 fx0 恒成立,就x 的取值范畴为 _. 第 9 页,共 1
14、6 页思维启发1考虑函数 fx、方程 fx0 和不等式的关系；2可把不等式看作关于a 的一次不等式 . 解析1由题意知 fx x 2 axb xa 22 2ba 4 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2fx的值域为 0, , ba 40,即 ba 4 . afx x2 2. 又fxc. xa 2 2c,即a 2cx0 对于任意的 a1,1恒成立,易知只需 f1x 25x 60,且 f1 x 23x20 即可,联立方程解得 x3. 答案 19 2 x|x3 温馨提示 此题解法中利用了转化与化归思想 . 1中利用“ 三个二次” 之
15、间的联系,将不等式、函数、方程之间相互转化；2中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式, 表达了主元与次元的转化 .利用转化与化归思想的原就是熟识化原就、简洁化原就、直观化原就、正难就反原就 . 方法与技巧1.判定不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特殊是对于有一定条件限制的挑选题,用特殊值验证的方法更简洁 . 2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法的主要步骤为作差 变形 判定正负 . 3.“ 三个二次 ” 的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0 时的情形 . 名师归纳总结 4.简洁的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式
16、的解法进行求解. 第 10 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载失误与防范1.不等式的性质应用要精确,特殊在不等式两边同乘以或同除以一个数时,肯定要搞清符号 . 2.对于不等式 ax 2bxc0,求解时不要遗忘争论 a0 时的情形 . 3.当 0 a 0的解集是 R 仍是 .,要留意区分 . A 组 专项基础训练时间： 40 分钟 一、挑选题1.下面四个条件中,使 ab 成立的充分而不必要的条件是 A.ab1 B.ab1 C.a 2b 2D.a 3b 3答案 A 解析 由 ab1,得 ab1b,即 ab,而由 ab 不能
17、得出 ab1,因此,使 ab 成立的充分而不必要的条件是 ab1. 2.2022陕西 设x表示不大于 x 的最大整数,就对任意实数 x, y 有 A. x x B.2 x 2x C. xy x y D.xy xy 答案 D 解析 特殊值法 .令 x 1.5,1.5 2, 1.5 1,故 A 错；2 1.53,21.5 2,故 B 错；令 x1.5,y0.5,xy2, xy 101,故 C 错. 3.已知 paa 2 1,q1 2 x 2 x,其中 a2, xR,就 p,q 的大小关系是 A.pq B.pq C.pq D.p q答案 A 解析 pa1 a21222 4,当且仅当 a 3 时取等号
18、 .由于 x 22 2,a2 a2所以 q1 2 x2 x1224,当且仅当 x 0 时取等号 .所以 p q. 4.2022安徽 已知一元二次不等式 fx0 的解集为 x|x 2,就 f10 1 x0 的解集为 A. x|x lg 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载B. x|1xlg 2 D. x|xlg 2 答案D 解析由已知条件010x2,解得 xlg1 2 lg 2. 5.如集合 A x|ax2ax 10 .,就实数 a 的取值范畴是A. a|0a4 B. a|0a4 C. a|00
19、得 0a4,所以 0a4. a 24a0二、填空题6.已知 a0, 1b” 连接 答案 abab 2a解析 由 1b0,可得 bb 21. 又 aab 2a. 7.函数 yx 2x12的定义域是 _. 答案 , 43, 解析 由 x 2x120 得x3x40,x4 或 x3. 8.已知不等式 x 22xk 210 对一切实数 x 恒成立,就实数 k 的取值范畴为 _. 答案 ,2 2, 解析 由题意,知 44 1 k 212,k 2或 k0 的解集是 x|1 2x0 的解集 . 第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解1 由题意知
20、 a0,即 2x 25x30,解得 3x0 的解集为 3,1 2. 10.1设 xy b,xy,求证：x a y b. 1解 方法一 x 2y 2xyx 2 y 2xy xyx 2y 2xy 2 2xyxy,xy0,x y0,x 2y 2xy x 2y 2xy. 方法二xy0,xyy 2,xy0. x 2y 2xy0,x 2y 2xy0,x 2y 2 xy x 2y 20x 2y 2 xyx 2y 22xy x 2y 2xy. x y bxay2证明. x a yb xa yb1 a1 b且 a,b0, ,ba0,又xy0, bxay0,bxay0,x x ay. B 组专项才能提升xa yb
21、yb时间： 30 分钟 1.如 a0 的解集是 A. , a5a, B. , 5aa, 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C.5a, a D.a, 5a 答案B 24ax5a20 得x5axa0,解析由 xa0,xa. 2.设函数 fxx 21,对任意 x3 2, ,f x m4m 2fxfx14fm恒成立, 就实数 m的取值范畴是 _. 答案 m|m2或 m32 32解析 依据题意得xm 214m 2x 21x1 214m 21. 在 x3 2, 上恒成立,即1 m 24m 2 3x 2x 1
22、 在 x3 2, 上恒成立 . 当 x3 2时函数 y 3 22 x1 取得最小值 5 3,所以1m 24m 25 3,即 3m 214 m 230,3 3解得 m2或 m2 . 2a33.设 fx是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,如 f11 ,f2a1,就实数 a 的取值范畴是_. 答案 1,2 3 解析fx3fx,f2f13f1 f1 1. 名师归纳总结 2a 3 1. a13a20. 3a 2a10,第 14 页,共 16 页a11a0,|a|1 恒成立的 x 的取值范畴 . 解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式 x3ax26x90. 令 fax3ax26x9. 由于 fa
23、0 在|a|1 时恒成立,所以1如 x 3,就 fa 0,不符合题意,应舍去 . f 1 0 x 27x1202如 x 3,就由一次函数的单调性,可得,即,解得 x4. f 1 0 x 25x605.某产品生产厂家依据以往的生产销售体会得到下面有关销售的统计规律：每生产产品 x百台,其总成本为 Gx万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1万 元 总 成 本 固 定 成 本 生 产 成 本 , 销 售 收 入 Rx 满 足 Rx 0.4x 24.2x0.8 0x5,10.2 x5假定该产品销售平稳,那么依据上述统计规律：1要使工厂有盈利,产品数量 x 应掌握在什么范
24、畴？2工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？解依题意得 Gx x2,设利润函数为fx,就 fxRxGx,0.4x 23.2x2.80x5. 所以 fx8.2xx51要使工厂有盈利,就有fx0,由于fx0.0 x5或x50.4x23.2x 2.808.2 x0.0x5或 5x8.2.0x5x28x701x7或 5x8.2. 1x5 或 5x8.2 . 1x5 时, fx8.2 5 3.2. 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大,此时只需求 x4 时,R 4 42.4万元 /百台 240元 /台. 名师归纳总结 所以工厂生产400 台产品时盈利最大,此时每台产品的售价为240 元 . 第 16 页,共 16 页- - - - - - -